2013年研究生數(shù)學(xué)建模競賽優(yōu)秀論文選2013b題b10

1、 參賽 （由組委會填寫）第十屆華為杯全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽學(xué)校信息工程大學(xué)參賽隊號900050231.李晶隊員姓名2.高強(qiáng)3.丁永超 參賽 （由組委會填寫）第十屆華為杯全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽題 目功率放大器非線性特性及預(yù)失真建模摘要：隨著現(xiàn)代微波電路仿真技術(shù)與數(shù)字預(yù)失真技術(shù)的發(fā)展，功率放大器行為模型的研究已經(jīng)成為功率放大器研究領(lǐng)域的重要方向之一，而采用多項式結(jié)構(gòu)描述放大器的特性是行為模型研究中最主要的方法。本文主要研究了無記憶功率放大器和有記憶功率放大器的多項式結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)建模，放大器的預(yù)失真處理技術(shù)，以及非線性放大器對輸出信號頻譜的影響。 本文的主要工作及創(chuàng)新可概括如下。 1.構(gòu)建無記憶功率放

2、大器基于一般多項式及和多項式的正交、非正交模型，利用最小二乘(LS)算法求解模型參數(shù)。通過數(shù)據(jù)仿真可知，和多項式及正交和多項式模型優(yōu)于一般多項式模型，當(dāng)多項式為 12 階時，其歸一化均方誤差(NMSE) 達(dá)到-100dB；并且在階數(shù)較大時，正交和多項式模型性能優(yōu)于和多項式模型， 具有更高的穩(wěn)定性。 建立無記憶功率放大器的和多項式預(yù)失真模型，通過系統(tǒng)逆辨識獲取預(yù)失真處理器輸出端的理想信號，將整體系統(tǒng)簡化為預(yù)失真模塊處理過程。利用最小均方（LMS）和 LS 算法求解預(yù)失真模型參數(shù)，并對預(yù)失真補(bǔ)償效果進(jìn)行評價。實驗結(jié)果表明，本文構(gòu)建的預(yù)失真模型能夠使功放整體輸出具有較好的線性特性，且逼近理想特性曲線

3、。隨著多項式階數(shù)的增加，通過本文正交和多項式預(yù) 失真模型處理后，功放輸出的歸一化均方誤差（NMSE）和誤差矢量幅度（EVM） 2.1 逐漸減小，當(dāng)階數(shù)大于 10 時，正交和多項式模型 NMSE 小于-61dB，EVM 低于 0.1% 。 構(gòu)建有記憶功率放大器和多項式模型，并利用 LS 算法求解模型參數(shù)。仿真結(jié)果表明，隨著多項式階數(shù)和系統(tǒng)記憶深度的增加，系統(tǒng)模型的精度越高；當(dāng)多項式大于 5 階，系統(tǒng)記憶深度大于 5 時，系統(tǒng)的 NMSE 低于-45dB，而傳統(tǒng)多項式模型僅為-34dB。 建立有記憶功率放大器的預(yù)失真和多項式模型，根據(jù)線性約束、輸出幅度限制和功率最大化約束，獲取預(yù)失真處理器理想輸出

4、信號，通過 LS 算法解算其參數(shù)。通過 NMSE 和 EVM 分析可知，當(dāng)給定功率放大器的階數(shù)為 5，記憶深度為 5 時，解算得預(yù)失真器的多項式階數(shù)等于 5，記憶深度等于 3 時的系統(tǒng)最優(yōu)， 此時的 NMSE 等于-45dB，EVM 為 0.3%。為了使預(yù)失真系統(tǒng)能夠應(yīng)對實際運(yùn)用中放大器特性隨著環(huán)境變化導(dǎo)致的預(yù)失真失效的問題，本文提出一種基于功3.4.放逆辨識的自適應(yīng)預(yù)失真處理模塊，模塊求解采用最小均方算MS)。 5.通過周期圖法估計信號的功率譜密度，計算輸入輸出信號的相鄰信道比(ACPR)。輸入信號的 ACPR 等于-78.4687dB，未經(jīng)預(yù)失真處理的功放系統(tǒng)輸出信號的 ACPR 等于-3

5、7.2605dB，預(yù)失真處理后的功放輸出信號的 ACPR 等于-51.9625dB。 關(guān)鍵詞：正交多項式模型，系統(tǒng)逆辨識，最小二乘算法，最小均方算法，自適應(yīng)預(yù)失 真系統(tǒng) 2 1 問題重述信號的功率放大是電子通信系統(tǒng)的關(guān)鍵功能之一，其實現(xiàn)模塊稱為功率放大器（PA， Power Amplifier），簡稱功放。功放的輸出信號相對于輸入信號可能產(chǎn)生非線性失真。影響信息的正確傳遞和接收。目前已提出了各種技術(shù)來改善功放的非線性失真，如降低輸出功率方式、預(yù)失真技術(shù)等。其中預(yù)失真技術(shù)是被研究和應(yīng)用較多的一項新技術(shù)，其最新的研究成果已經(jīng)被用于實際的產(chǎn)品，但在新算法、實現(xiàn)復(fù)雜度、計算速度、效果精度等方面仍有相當(dāng)

6、的研究價值。 本題要求根據(jù)功放的非線性特性的當(dāng)前時刻輸出值是否與前某一時間段的輸入有關(guān)，分別構(gòu)建無記憶功放和有記憶功放非線性模型。并構(gòu)建預(yù)失真處理模型，使功放和預(yù)失真合成后整體輸入輸出效果呈線性?？傮w原則是使預(yù)失真和功放的聯(lián)合模型呈線性后誤差最小，同時滿足以下 2 個約束條件，一是預(yù)失真處理的“輸出幅度限制”即功放的輸入幅度需保持在一定范圍。二是預(yù)失真處理加載后，盡可能使功放的輸出“功率最大化”。 具體需要解決如下幾個問題。 1. 請根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，完成以下任務(wù)。 A. 建立功放的非線性特性的數(shù)學(xué)模型，然后用 NMSE 評價所建模型的準(zhǔn)確度。 B. 根據(jù)線性化原則以及“輸出幅度限制”和“功率最

7、大化”約束，建立預(yù)失真模型。寫出目標(biāo)誤差函數(shù)，計算線性化后最大可能的幅度放大倍數(shù)，運(yùn)用評價指標(biāo)參數(shù)NMSE/EVM 評價預(yù)失真補(bǔ)償?shù)慕Y(jié)果。 2. 數(shù)據(jù)文件 2 給出了某功放的有記憶效應(yīng)的復(fù)輸入-輸出數(shù)據(jù)，請完成以下任務(wù)。A建立功放的非線性特性的數(shù)學(xué)模型，然后用 NMSE 評價所建模型的準(zhǔn)確度。B根據(jù)線性化原則以及“輸出幅度限制”和“功率最大化”約束，以框圖的方式 建立預(yù)失真處理的模型實現(xiàn)示意圖（提示：可定義基本實現(xiàn)單元模塊和確定其之間關(guān)系， 組成整體圖），然后計算預(yù)失真模型相關(guān)參數(shù)。運(yùn)用評價指標(biāo)參數(shù) NMSE/EVM 評價預(yù)失真補(bǔ)償?shù)挠嬎憬Y(jié)果。 3. 拓展研究 相鄰信道功率比（Adjacent

8、 Channel Power Ratio，ACPR）是表示信道的帶外失真的參數(shù)，衡量由于非線性效應(yīng)所產(chǎn)生的新頻率分量對鄰道信號的影響程度。如果題 2 所附的數(shù)據(jù)采樣頻率30.7212 MHz，傳輸信道按照 20MHz 來算，鄰信道也是 20MHz。根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，請計算功放預(yù)失真補(bǔ)償前后的功率譜密度，并用圖形的方式表示三類信號的功率譜密度（輸入信號、無預(yù)失真補(bǔ)償?shù)墓β史糯笃鬏敵鲂盘?、采用預(yù)失真補(bǔ)償?shù)墓?率放大器輸出信號），最后用 ACPR 對結(jié)果進(jìn)行分析評價。 3 2 符號說明2.1系統(tǒng)輸入輸出符號x(t) / z(t) ：復(fù)合系統(tǒng)的連續(xù)輸入/輸出信號形式； x(n) / z(n) ：復(fù)合系統(tǒng)

9、的離散輸入/輸出信號形式； zd (n) ：復(fù)合系統(tǒng)期望輸出信號； yd (n) ：預(yù)失真處理器期望輸出信號； e(n) ：系統(tǒng)誤差； y(n) ：預(yù)失真處理器離散輸出； 2.2函數(shù)符號F (x)：預(yù)失真處理器特性函數(shù)；G(x) ：功放特性函數(shù)； Ex：求期望運(yùn)算 2.3常量符號K ：多項式階數(shù)； N ：信號采樣點數(shù)； M ：有記憶系統(tǒng)記憶深度； NMSE：歸一化均方誤差； EVM：誤差矢量幅度； xb ：復(fù)合系統(tǒng)任意輸入點； xa ：與 xb 對應(yīng)的預(yù)失真處理器輸出點； Aa ：與 xb 對應(yīng)的復(fù)合系統(tǒng)輸出點； Ba ：功放最大輸出點； Ca ：功放最大輸入，預(yù)失真處理器最大輸出點；Gn /

10、 Gh ：無/有記憶功放增益； ：變量的估計值。 H ：變量的共軛轉(zhuǎn)置 2.4矩陣符號由于本文存在多種模型，各個模型的輸入矩陣、輸出向量和參數(shù)向量的形式是相同的，那么，本文中所有輸入輸出系統(tǒng)的矩陣向量用相同的加粗字母表示，利用字母的角標(biāo)區(qū)分不同的模型。 X XX ：系統(tǒng)多項式模型輸入信號構(gòu)成的矩陣； Z XX ：系統(tǒng)輸出向量； 4 H XX ：系統(tǒng)多項式模型未知參數(shù)向量； x XXi ： X XX 的第i 列向量。 RdX ：自適應(yīng)預(yù)失真系統(tǒng)的輸入輸出互相關(guān)向量； RXX ：自適應(yīng)預(yù)失真系統(tǒng)的輸入自相關(guān)矩陣； i ： xi 對應(yīng)的正交基向量； XX 用不同的字母表示不同的模型，下面給出角標(biāo)含義

11、說明；n ：無記憶一般多項式模型； nO ：無記憶正交一般多項式模型； nA ：無記憶和多項式模型； nAO ：無記憶正交和多項式模型； nAP ：無記憶預(yù)失真處理器和多項式模型； nAOP ：無記憶預(yù)失真處理器正交和多項式模型； hA ：有記憶和多項式模型； hAO ：有記憶正交和多項式模型； hAP ：有記憶和多項式模型； hAOP ：有記憶正交和多項式模型； 5 3 問題分析3.1 無記憶功放問題分析無記憶功放的功率特性建模問題的關(guān)鍵在于建立一個合理的模型結(jié)構(gòu)，通過輸入、輸出信號來估計模型參數(shù)，從而得到功放的非線性特性模型。問題背景給出的多項式模型是一種比較直觀和實用的逼近非線性特性的函

12、數(shù)模型，多項式模型構(gòu)建的關(guān)鍵是輸入數(shù)據(jù)基函數(shù)的構(gòu)建，合理的基函數(shù)可以提高模型的精度，降低計算復(fù)雜度。本文選擇以多項式模型為參考，通過施密特正交化方法構(gòu)建輸入數(shù)據(jù)的正交基向量，構(gòu)建無記憶功放非線性特性的正交多項式模型。對于參數(shù)的求解，根據(jù)構(gòu)建矩陣與未知參數(shù)之間的關(guān)系，最小二乘算S)是最直觀和理想的求解算法。 在功放特性已知的條件下，預(yù)失真處理的原則是使預(yù)失真和功放的聯(lián)合模型呈線性后的誤差最小。現(xiàn)有的預(yù)失真處理算法有很多，包括查詢表方式1，Volterra 級數(shù)法2， 基于 Hammerstein 模型的預(yù)失真方法3，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有記憶功率放大器預(yù)失真方法 4等。但是這些算法大多是在預(yù)失真處理模

13、塊輸出已知的情況下對其建模并實現(xiàn)參數(shù)辨 識。因此，本文構(gòu)建預(yù)失真模型關(guān)鍵是如何有效利用輸出幅度限制和功率最大化這兩個限制條件，通過已知的系統(tǒng)輸入、輸出估計出預(yù)失真模塊的理想輸出信號，然后再利用LS 算法估計模型參數(shù)。 本題的建模中限定預(yù)失真處理的輸出幅度不大于所給出的功放輸入幅度的最大值， 由于無功放放大特性的單調(diào)性，本題輸出幅度的限制可以轉(zhuǎn)化為預(yù)失真處理后功放的輸 出幅度不大于給出的功放輸出幅度最大值。因此，根據(jù)線性化原則，預(yù)失真處理后功放輸出的理想特性曲線為原點和給定輸出幅度最大點確定的直線段。本題同時約束預(yù)失真加載后盡可能使功放的輸出“功率最大化”，當(dāng)理想特性曲線確定時，功率最大化約束條

14、件和輸出幅度限制是統(tǒng)一的。 由功放輸出理想特性曲線確定預(yù)失真輸出的理想值，可根據(jù)給定的輸出和輸入擬合放大器的逆辨識模型，將功放輸出理想特性曲線代入求取預(yù)失真輸出的理想值，但是逆辨識模型擬合的精度會影響預(yù)失真輸出理想值的精確程度。由題目中的圖 2 可知，功放的輸入輸出曲線單調(diào)遞增，根據(jù)單調(diào)函數(shù)的特性，預(yù)失真輸出的理想值可以通過逆向?qū)?yīng)的方法精確獲得。 3.2 有記憶功放問題分析對于有記憶系統(tǒng)的建模，可通過無記憶非線性系統(tǒng)和有記憶線性系統(tǒng)級聯(lián)的方式構(gòu)建，如 Hammerstein 模型。將級聯(lián)之后的系統(tǒng)參數(shù)化簡合并，使之成為已知矩陣和未知參數(shù)相乘的形式，通過兩步最小二乘算法求解5。由于該模型需要兩

15、步估計，增加了模型復(fù)雜度和參數(shù)估計的誤差，所以本文選擇題設(shè)背景模型。 6 由背景材料可知，有記憶功放也可利用多項式構(gòu)建模型。利用輸入輸出信號構(gòu)建模型的輸入矩陣和輸出向量，采用最小二乘算法求解多項式未知參數(shù)，進(jìn)而獲得有記憶功放模型。 求有記憶預(yù)失真處理器模型可參考無記憶預(yù)失真處理器的建模方法。為了實現(xiàn)預(yù)失真處理器的模型參數(shù)估計，需要已知一組預(yù)失真處理器的輸入輸出數(shù)據(jù)。由于復(fù)合系統(tǒng)是線性的，那么可知復(fù)合系統(tǒng)的輸入是其輸出端信號除以系統(tǒng)線性增益。因此，以題中 給出的功放輸出數(shù)據(jù)作為復(fù)合系統(tǒng)的輸出，則根據(jù)整體線性關(guān)系可求出復(fù)合系統(tǒng)的輸入， 又根據(jù)功放本身的特性可知功放的輸入，也就是預(yù)失真處理器的輸出，

16、就是題中給出的輸入數(shù) 據(jù)。這樣就得到了預(yù)失真處理器的輸入輸出數(shù)據(jù)，進(jìn)而利用 LS 算法求得模型參數(shù)。 由于在實際應(yīng)用中，溫度、電壓以及功率放大管老化等因素會造成非線性功率放大器工作點發(fā)生改變，即使非線性功率放大器響應(yīng)特性曲線隨時間改變6。因此，設(shè)計預(yù)失真器時須考慮預(yù)失真器的模型參數(shù)也能隨功率放大器特性的改變而自適應(yīng)的改變。參照無記憶功放預(yù)失真建模分析可知，根據(jù)線性化約束、預(yù)失真器輸出幅度限制和最大輸出功率約束，輸出、輸入信號幅度比值的最大值為復(fù)合系統(tǒng)理想線性增益。將輸入信號乘以理想增益即可得到復(fù)合系統(tǒng)的理想輸出信號，理想輸出信號經(jīng)過功放的逆系統(tǒng)，得到預(yù)失真器的理想輸出信號。輸入信號經(jīng)過預(yù)失真器

17、的輸出實際信號，利用實際輸出信號與理想輸出信號的誤差值自適應(yīng)的調(diào)整預(yù)失真器的模型參數(shù)。由于功放的輸入輸出信號均已知，可直接構(gòu)造多項式模型，將輸入輸出互換，利用 LS 算法得到功放逆系統(tǒng)模 型參數(shù)。預(yù)失真器參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整可用 LMS 算法實現(xiàn)。 3.3 相鄰信道功率比問題分析由于功放的非線性特性，通過功放的信號會產(chǎn)生新的頻率分量，從而對其鄰道信號產(chǎn)生影響。相鄰信道功率比（Adjacent Channel Power Ratio, ACPR）是表示信道的帶外失真的參數(shù)，衡量由于非線性效應(yīng)所產(chǎn)生的新頻率分量對鄰道信號的影響程度。 由于計算相鄰信道功率比需要輸入輸出信號的功率譜密度，那么本題關(guān)鍵在于求

18、功率譜密度的方法。而功率譜密度函數(shù)的計算最簡單常用的是周期圖法，分為直接法、間接法兩種。直接法先求信號的頻譜，再取頻譜和其共軛的乘積，得到功率譜；間接法是 通過對信號的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行 Fourier 變換計算7。 7 4 模型建立與求解4.1 無記憶功放無記憶模型是基于器件的無記憶假設(shè)，即認(rèn)為放大器當(dāng)前的輸出信號僅取決于當(dāng)前的輸入信號，而與歷史輸入信號無關(guān)。無記憶模型的研究己較為成熟，最常用的無記憶模型是多項式模型。 4.1.1 無記憶功放非線性特性的數(shù)學(xué)模型A 多項式模型 功放的某一時刻的輸出僅與此時刻的輸入相關(guān)，稱之為無記憶功放，其特性表示為 Kz(t) =h x (t)t 0,T k(1

19、)kk =1式中 K 表示非線性的階數(shù)（即多項式次數(shù)）， hk 為各次冪的系數(shù)。如果對功放的輸入和輸出進(jìn)行離散采樣之后分別為 x(n) / z(n) ，且采樣過程滿足 Nyquist 采樣定理，那么式(1)可表示為如下離散多項式， Kz(n) =h x (n) = h x(n) + h x (n) +k2+ h xK (n)n = 0,1,2, N(2)k12Kk =1在函數(shù)逼近理論中， z(n) 是用函數(shù)組x(n), x2(n), x3(n), xK (n)生成的 K 維空間里的這組基的線性組合表示，可通過最小二乘算法估計其參數(shù)。首先構(gòu)建已知參數(shù)矩陣，并將式(2)寫為矩陣形式 Z n = X

20、 n H n x(1)(3)xK (1) x2(2) x2(1)x2 (2) x(2)= ，H = h , h ,., h T ，其中，Z =z(1), z(2),., z(N) ，XTnnn12K x(N )x2 (N )x2(N) 其中 N 為輸入數(shù)據(jù)長度， K 為多項式的階數(shù)。 對于式(3)所示的線性參數(shù)估計問題，典型的方法為最小二乘(LS)算法。為求解多項2式的系數(shù)，假設(shè)存在一組參數(shù) H 使得 Z = X n H ，滿足使Zn- Zn最小的參數(shù) H即為 nnnn2所求參數(shù)。即2H = arg(minnn H nZn- X)(4)H n2對式(4)的右邊展開，有8 2n H n= (Zn

21、 - X n H n )H (Zn - X n H n )Zn- X(5)2H- HH= ZH Z- ZH XH XH Z+ HHHXXnnnnnnnnnnnn其一階導(dǎo)等于零時，所對應(yīng)的 H 為所求參數(shù)。對式(5)求關(guān)于 H 的導(dǎo)，可得 nn2H= -2XH Z+ 2XH X2(6)Hnnnnnn并另其等于零，-2X nH Z + 2X H X H = 0(7)nnnn求解得到H n = ( X nH X )-1 X H Z(8)nnn由于常采用復(fù)輸入-輸出信號，為了方便計算，將式(2)寫成“和多項式”模型。k -1z(n) = hk x(n) x(n)+ hKx(n) x(n) K-1 n

22、= 0,1, 2, N(9)= h1x(n) + h2 x(n) x(n) +k =1采用最小二乘算法對上述模型進(jìn)行求解，其解的形式同式(8)，為H= (X H X)-1 X H Z(10)nAnA nAnA nA x(1)x(1) x(1) K-1x(2) x(2) K-1x(1) x(1)x(2) x(2)= x(2) , Z= Z 。其中， XnAnAn x(N )x(N ) x(N ) K-1x(N ) x(N)B 正交多項式模型 由題設(shè)背景可知，如果將矩陣 X n 和 X nA 用函數(shù)空間的一組正交基構(gòu)造，系統(tǒng)將獲得更好的性能，且解算也將更加方便。 對于函數(shù)空間的正交化，文獻(xiàn)8給出了

23、一種方法，但是該算法需要已知輸入信號幅的統(tǒng)計特性，根據(jù)其概率密度函數(shù)，進(jìn)行正交化處理。下面給出一種典型的正交化算法 施密特正交化算法9，該算法不需要已知輸入信號的統(tǒng)計特性，直接通過向量的正交化方法得到一組正交基向量。 假設(shè)矩陣 X n 由 K 個列向量組成， 即 X n =xn1, xn2 ,., xnK 。尋找一組正交基 1, 2 ,., K ，使其與 xn1, xn2 ,., xnK 等價。其正交化過程， 1 = xn1(11)xn2 , 1 = x-(12)2n21 , 119Z n - X n H n xnK , 1xnK , 2xnK , K -1 = x- - -(13)K -1K

24、nK12 , , , K -1K -11122將正交化之后的向量構(gòu)成的矩陣 X nO = 1, 2 ,., K 作為函數(shù)空間，構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模型 X nO H nO = Z nO(14)其最小二乘解為H nO = ( X nO H X)-1 XH ZnOnOnO(15)其中， Z nO = Z n 。 對于 X nA 對應(yīng)的函數(shù)空間， 假設(shè)其正交化之后的正交基向量構(gòu)成矩陣 X nAO =xnAO1, xnAO2 ,., xnAOK ，那么其最小二乘解為 H)-1 X H= ( X H XZ(16)nAOnAOnAOnAO nAO其中， Z nAO = Z n 。 C 模型的準(zhǔn)確度評價對于模型的數(shù)

25、值計算結(jié)果，一般采用 NMSE 和 EVM 等參數(shù)評價其準(zhǔn)確度，其具體的定義如下。歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error, NMSE)用來表征計算精度， 其表達(dá)式為。 N z(n) - z(n) 2NMSE = 10log n=1N(17)10| z(n) |2n=1如果用 z 表示實際信號值， z 表示通過模型計算的信號值，NMSE 就反映了模型與物理實際模塊的接近程度。功放前加載預(yù)失真處理后，也可用 NMSE 判斷整體模型輸出值與理想輸出值的近似程度。 誤差矢量幅度 (Error Vector Magnitude, EVM)定義為誤差矢量信號平均功率的均方

26、根和參照信號平均功率的均方根的比值，以百分?jǐn)?shù)形式表示。如果用Z 表示理想的信號輸出值， e 表示理想輸出與整體模型輸出信號的誤差，可用 EVM 衡量整體模型對信號的幅度失真程度。 E| e2 | 100%EVM =(18)E| Z 2 |4.1.2 建立無記憶功放預(yù)失真模型首先，根據(jù)線性模型的要求，復(fù)合系統(tǒng)的輸出特性為一條自原點出發(fā)的直線。10 其次，根據(jù)輸出幅度約束條件，預(yù)失真處理的輸出幅度不大于所給出的功放輸入幅度最大值，即是預(yù)失真系統(tǒng)的輸出值得最大幅度必須小于或等于圖 2 中曲線對應(yīng)的橫坐標(biāo)的最大值 1.05。因為復(fù)合系統(tǒng)特性是直線，而功放特性為凹函數(shù)，所以預(yù)失真處理器特性是凸函數(shù)曲線。

27、由于輸出幅度限制，特性曲線是在斜率等于1 的直線下方的凸函數(shù)， 且其輸出的最大值max( y(n) ) 1.05，如圖 1 所示， 預(yù)失真器特性曲線y(n)451.05x(n)越大越好。因為功放輸入端為預(yù)失真處理器的輸出端，當(dāng)且僅當(dāng)預(yù)失真處理器的輸出最大值等于實際輸入信號的最大值時，復(fù)合系統(tǒng)輸出的功率最大。至此可知，復(fù)合系統(tǒng)的輸出是一條由原點到功放輸出 最大幅度點的連線。復(fù)合系統(tǒng)的輸出特性曲線如圖2 所示。Ba功 放特性曲線復(fù)合系統(tǒng)特性曲線CaAay(n) 預(yù)失真器特性曲線45xax(n)xb1.05圖 2 無記憶復(fù)合系統(tǒng)輸出特性曲線圖復(fù)合系統(tǒng)的理想最大增益為原點到 Ba 點的連線的斜率。設(shè)為

28、Gn ，那么 11 G =n = 1,2,., N(19)n將已知數(shù)據(jù)代入式(19)計算得到Gn = 1.8265 ，那么，復(fù)合系統(tǒng)的理想輸出 zd (n) 通過已知 輸入信號和理想增益得到。 zd (n) = Gx(n)設(shè)預(yù)失真處理器的特性函數(shù)為 F (x) ，功放的特性函數(shù)為G(x) ，如圖的復(fù)合系統(tǒng)特性為 GF(xb ) = Aa又因為在功放系統(tǒng)中，圖 2 中的 xa 點有 G(xa ) = Aa結(jié)合式(21)和式(22)可知， F(xb ) = xa此時， xa 即為復(fù)合系統(tǒng)輸入為 xb 時的預(yù)失真處理器的輸出信號。 (20)2 所示的 xb 點(21)(22)(23)以上分析可知，任

29、意輸入信號 x(n) 都可通過式(21)-(23)的方法求出一一對應(yīng)的預(yù)失真處理器的輸出 y(n) 。 為預(yù)失真處理器構(gòu)建和多項式特性模型，如式(9)，那么，預(yù)失真處理器的輸出特性 函數(shù)表示為 ZnAP = X nAP H nAP(24) x(1)x(1) x(1) K-1x(2) x(2) K-1x(1) x(1)x(2) x(2)= x(2)其中，ZnAP = y(0), y(1),., y(N)T，X nAP ，HnAP x(N )x(N ) x(N ) K-1x(N ) x(N)為預(yù)失真處理器的特性參數(shù)。通過最小二乘算法可以直接獲得 H nAP 的估計值。H= ( X H X)-1 X

30、 HZ(25)nAPnAPnAPnAP nAP也可用 X nA 的正交基 X nAO =xnAO1, xnAO2 ,., xnAOK 作為新的已知矩陣，估計得到新的參數(shù)估計值。 4.2 有記憶功放從時域角度來看，記憶效應(yīng)是指放大器當(dāng)前的輸出信號不僅取決于當(dāng)前的輸入信號， 而且還與過去的輸入信號有關(guān)。文獻(xiàn)10從頻域的角度，將記憶效應(yīng)定義為放大器的幅度和相位特性隨著輸入信號包絡(luò)頻率的變化而改變的現(xiàn)象。 12maxz(n)maxx(n) 4.2.1 有記憶功放非線性特性的數(shù)學(xué)模型許多有記憶非線性系統(tǒng)可以用無記憶非線性增益與線性系統(tǒng)的組合來描述。這類模型有三種組態(tài)。Wiener 模型，Hammerst

31、ein 模型和 wiener-Hammerstein 模型。這一類模型中無記憶非線性子系統(tǒng)用于描述功率放大器的非線性，線性子系統(tǒng)用于模擬放大器的 記憶效應(yīng)11。Hammerstein 模型模型如圖 3 所示， z(n)x(n)圖 3 Hammerstein 模型針對該 Hammerstein 模型參數(shù)辨識算法是兩步法11。該方法首先對兩組未知參數(shù)的乘積進(jìn)行估計，然后再從中將兩組未知參數(shù)估計分離。 本文結(jié)合背景材料，直接利用多項式建模，參照無記憶方法模型求解，可通過一步 LS 算法估計出模型的參數(shù)。 有記憶系統(tǒng)是在無記憶系統(tǒng)的基礎(chǔ)上增加記憶效應(yīng)，那么其系統(tǒng)寫為 K Mz(n) = hkmxk (

32、n - m) = h10x(n) + h11x(n -1) +. + h1M x(n - M )k =1 m=0+h20 x2 (n) + h21x2 (n -1) +. + h2M x2 (n - M )(26)+. + h xK (n) + h xK (n -1) +. + hxK (n - M )K 0n = 0,1,2,., NK1KM為了便于計算將式(26)寫為“和記憶多項式”模型K Mz(n) = h kxm(n - m) | x(n - m) |k-1k =1 m=0n = 0,1,2,., N(27)采用 4.1.1 節(jié)的解算思想，構(gòu)建已知輸入信號矩陣和未知參數(shù)向量，將式(27

33、)寫為矩 陣運(yùn)算形式， ZhA = X hA H hA(28)其中，x(n - M )x(n- M +1)x(n - M ) K-1 x(n - M )x(n+1- M)K-1x(n+1- M)x(n - M ) K-1 x(n - M )x(n)x(n) x(n)x(n+1) x(n+1)x(n) x(n)x(n+1) x(n+1) x(n +1)x(n+1- M)K-1x(n+1- M) XhA = x(n + N)x(n + N - M ) K-1 x(n + N - M )x(n - M + N)x(n + N) x(n + N)x(n + N) x(n + N)x(n + N - M

34、) K-1 x(n + N - M )H hA = h10hKM h1Mh20h2MhK 0利用式(11)-(13)的施密特正交化方法，對 X hA 的列向量進(jìn)行正交化處理。正交化之后的函數(shù)空間正交基構(gòu)成的矩陣為 X hAO ，其對應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)為 H hAO ，即可通過最小二乘算法對其參數(shù)進(jìn)行辨識。 H)-1 X H= ( X H XZ(29)hAOhAOhAOhAO hAO13線性子系統(tǒng) 無記憶非線性增益 4.2.2 建立無記憶功放預(yù)失真模型A 直接級聯(lián)預(yù)失真處理 類似于無記憶功放模型，因為有記憶功放的復(fù)合系統(tǒng)為線性，所以復(fù)合系統(tǒng)的輸出與輸入信號的幅度比值為常數(shù)，該常數(shù)為有記憶功放的增益。

35、根據(jù)輸出幅度限制和功率最大化約束，可知，復(fù)合功放系統(tǒng)的輸入輸出幅度比值為 一條由原點出發(fā)至比值最大點之間的連線。假設(shè)有記憶功放復(fù)合系統(tǒng)的增益為常數(shù)Gh ， 根據(jù)約束條件，可得 G =(30)h功放復(fù)合系統(tǒng)的原理如圖所示，圖 4 預(yù)失真技術(shù)原理圖對應(yīng)于題設(shè)附錄給出的數(shù)據(jù)，假設(shè)本系統(tǒng)的輸出為 zh (n) ，功率放大器 PA 的輸入端為 yh (n) ，即該組數(shù)據(jù)均已知。通過 5.2.1 的分析可知，可以通過這組數(shù)據(jù)求出 PA 的特性參數(shù)。根據(jù)復(fù)合系統(tǒng)的線性關(guān)系，當(dāng)復(fù)合系統(tǒng)的輸出端為 zh (n) 時，系統(tǒng)的輸入端即 預(yù)失真處理器輸入端的輸入信號為 xh (n) = zh (n) Gh(31)由此

36、可得預(yù)失真處理器兩端的輸入輸出數(shù)據(jù) xh (n) 和 yh (n) 。構(gòu)建預(yù)失真系統(tǒng)的多項式模型，并化為矩陣形式ZhAP = X hAP H hAP(32)其中，XhAP 由 xh(n) 構(gòu)成的矩陣，ZhAP 由 yh (n) 組成的向量，HhAP 是未知參數(shù)向量。式(32)利用 LS 算法求解參數(shù)。 = ( XXHH)X H Z(33)hAPhAPhAPhAP hAP對式(32)的求解，亦可采用正交化處理之后的正交基構(gòu)成的矩陣進(jìn)行求解。B 自適應(yīng)預(yù)失真處理模擬預(yù)失真的方法是在輸入信號和功放之間插入一個非線性發(fā)生器，通過控制其相位和幅值，可以有效刪除射頻功放的交調(diào)失真。但是，隨著工作條件和工作

37、環(huán)境的變化，14maxz(n)maxx(n) 信號預(yù)失真器和功放的特性會發(fā)生變化，線性效果將會下降12。為了保持好的線性效果， 就需對預(yù)失真信號發(fā)生器的幅度和相位進(jìn)行自適應(yīng)控制。 本文參數(shù)文獻(xiàn)13和文獻(xiàn)14的自適應(yīng)預(yù)失真模型，設(shè)計出一種適用于題設(shè)已知條 件的自適應(yīng)預(yù)失真系統(tǒng)，系統(tǒng)流程如圖5 所示。x(n)y(n)z(n)x(n)G(x)max( z(n) )G-1(x)1 max( x(n) )1e(n)Ghzd (n)yd (n)x(n)G-1(x)32圖 5 有記憶預(yù)失真系統(tǒng)流程圖圖 5 所示流程圖由三個主要模塊構(gòu)成，分別為求功放逆系統(tǒng)模塊、求理想輸出模塊和預(yù)失真器參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整模塊。下面

38、對三個部分分別介紹。 1 求功放逆系統(tǒng) 當(dāng)功放系統(tǒng)的輸入 x(n) 和輸出 z(n) 已知時，可以求得多項式模型下的功放系統(tǒng)的參數(shù)；即由Gx(n) = z(n) ，得到G(x) 的參數(shù) H 。如果假想一個系統(tǒng)G (x) ，將輸出信 hA-1號 z(n) 作為輸入，得到的輸出為原系統(tǒng)的輸入 x(n) ，求解其參數(shù)；即由G-1z(n) = x(n) ， 得到G-1(x) 的參數(shù) H。 H為G(x) 逆系統(tǒng)的多項式模型參數(shù)。 hAinvhAinv2 求復(fù)合理想輸出 根據(jù)復(fù)合系統(tǒng)線性化要求，其理想輸出與輸入幅值比為直線；根據(jù)最大輸出幅度約束條件預(yù)失真器的輸出端最大只能為輸入信號的最大值；根據(jù)輸出功率最

39、大化原則，當(dāng)預(yù)失真器輸出最大時，功率最大。此時復(fù)合系統(tǒng)的輸入輸出特性曲線為從原點到輸入輸出最大幅度比對應(yīng)的點的連線。即復(fù)合系統(tǒng)增益為式(30)所示的Gh ，因為系統(tǒng)輸入已知， 那么得到復(fù)合系統(tǒng)的理想輸出為 zd (n) = Ghx(n)(34)3 預(yù)失真器參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整 -1通過模塊 2 得到復(fù)合系統(tǒng)的理想輸出，將理想輸出 zd (n) 通過功放逆系統(tǒng)G (x) ， 可以得到復(fù)合系統(tǒng)的理想預(yù)失真器輸出 yd (n) ， 15預(yù)失真器 G-1z (n) = y (n) (35)dd當(dāng)實際的輸入信號經(jīng)過預(yù)失真系統(tǒng)時，得到一個實際的預(yù)失真器實際輸出 y(n) ，求取實 際輸出與理想輸出的差值 e(n

40、) = y(n) - yd (n)然后利用e(n) 自適應(yīng)調(diào)整預(yù)失真器的參數(shù)。 目前預(yù)失真中常用的自適應(yīng)算法包括最小均方算 MS)、遞歸最小二乘算法(RLS) 及這兩種算法的各種變形和優(yōu)化算法14。本文采用 LMS 算法實現(xiàn)預(yù)失真器參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整。 已知輸入信號為 xh (n) ， 根據(jù)和多項式模型， 構(gòu)建已知輸入信號向量 X P(n) =x h(n),., x h(n - M ), x h(n) x h(n) ,., x h(n - M ) x (hn - M ) ,., x (hn) x (hn) K-1 ,., x (hn - M ) x (hn - M ) K-1 ， 預(yù)失真器的 期

41、 望 輸 出 信 號 為 輸 出 為 yd (n) ，構(gòu)造 預(yù) 失 真 器 模 型 參 數(shù) 為 (36)H=h ,., h , h ,., h,., h ,., hT ，則預(yù)失真器的實際輸出信號為hAP101M202MK1KMy(n) = H hAPTX P (n)(37)估計誤差為 e(n) = yd (n) - y(n)(38)將式(38)帶入式(37)中得 e(n) = yd (n) - H hAPTX P (n)(39)計算得到均方誤差 e (n) = E y (n) - 2R H+ HE2HH RH(40)dXdhAPhAPXXhAP其中 RXd 為輸入信號與期望信號的互相關(guān)向量，

42、RXX 為輸入信號向量的自相關(guān)矩陣。 LMS 算法是將當(dāng)前時刻預(yù)失真系數(shù)向量加上一個負(fù)均方誤差梯度，使系統(tǒng)誤差向 著梯度方向收斂，取一個迭代因子，對待估計的參數(shù)更新，即 H hAP (n +1) = H hAP (n) - mE e 2(n)(41)其中， m 為迭代因子。其值的大小影響著迭代系統(tǒng)的收斂速度和穩(wěn)定性， m 值越大收斂越快，越不穩(wěn)定； m 值越小收斂越慢，越穩(wěn)定。 LMS 算法需要用瞬時值的梯度矢量，那么 2Ee (n)2E e(n) X(n)e (n) = -E2(42)HhAPhAP因為在實際估計中，瞬時數(shù)據(jù)只有一組，期望不可求，那么利用瞬時-2e(n) X P (n) 來代

43、替-2Ee(n) X h (n)，即可得到 LMS 的迭代公式為 H hAP (n +1) = H hAP (n) - me(n) X P (n)(43)LMS 算法的優(yōu)點是運(yùn)算簡便,但收斂速度受到一定的限制。m 的選擇影響系統(tǒng)的收16 斂速度和穩(wěn)定性，但是m 的選取必須滿足70 m 1lmax(44)其中， lmax 為 RXX 的最大特征值。 4.3 計算相鄰信道功率比ACPR 表示信道的帶外失真的參數(shù)，衡量由于非線性效應(yīng)所產(chǎn)生的新頻率分量對鄰道信號的影響程度。其定義為 f3s( f )dfACPR = 10logf2(45)10f2s( f )dff1其中s( f ) 為信號的功率譜密度

44、函數(shù)， f1, f2 為傳輸信道， f2 , f3 為相鄰信道。功率譜密度函數(shù)的計算最簡便常用的是周期圖法，分為直接法、間接法兩種。下面分別給出兩種方法的計算公式。 直接法先計算數(shù)據(jù)的 Fourier 變換（即頻譜）， N -1X N(w) = x(n)e- jnw(46)n=0然后取頻譜和其共軛的乘積，得到功率譜N -1 1N 1NPx (w) =X N(w) 2 = x(n)e- jnw(47)n=0間接法則先根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計樣本自相關(guān)函數(shù)N -1x (k) = 1 R, M(48)x(n + k)x*(n), k = 0,1,Nn=0其中1 M N ，且 R (-k) = R (k) 。

45、然后計算自相關(guān)函數(shù)的 Fourier 變換，得到功率譜*xxMxRP (w) =(k)e- jkw(49)xk =-M本題選用直接法計算信號的功率譜密度，此方法原理簡單，操作方便，工程實現(xiàn)容易，是實際求解中廣泛應(yīng)用的一種方法7。 根據(jù)假設(shè)，本文數(shù)據(jù)采用頻率 Fs = 30.7212MHz，傳輸信道按照 20MHz 計算，鄰信道也是 20MHz。因此分別對輸入信號、無預(yù)失真補(bǔ)償?shù)墓β史糯笃鬏敵鲂盘柡筒捎妙A(yù)失真補(bǔ)償?shù)墓β史糯笃鬏敵鲂盘栕?Fourier 變換，進(jìn)而得到功率譜。 得到三類信號的功率譜密度之后，根據(jù) ACPR 的定義表達(dá)式(45)，求出三類信號的ACPR，并用所求的 ACPR 對結(jié)果進(jìn)

46、行分析評價。 17 5 結(jié)果仿真與分析5.1 無記憶功放5.1.1 無記憶功放特性函數(shù)求解A 多項式模型 根據(jù)文章 5.1.1 節(jié)的分析，可知估計參數(shù)需要以下 2 個步驟。通過已知輸入數(shù)據(jù) x =x(1), x(2),., x(N)T ， 構(gòu)建數(shù)據(jù)矩陣 X = x, x2,., x K 和 1)nx K -1；X nA =x, xx ,., x2)通過式(8)和式(10)分別得到相應(yīng)多項式階數(shù)條件下的模型系數(shù)。利用 MATLAB 軟件計算，計算得出 7 階多項式模型估計參數(shù) 表 1 無記憶 7 階多項式模型參數(shù)從表 1 結(jié)果可以看出，在無記憶多項式功放系統(tǒng)中，其模型參數(shù)均為實數(shù)。 同時仿真得到

47、，多項式模型為 19 階條件下的實際輸入輸出信號幅值對比曲線圖。圖6 為一般多項式模型的擬合結(jié)果，圖7 為和多項式模型的擬合結(jié)果。擬合曲線 擬合曲線 22 1.51.5 實際數(shù)據(jù) 擬合數(shù)據(jù) 實際數(shù)據(jù) 擬合數(shù)據(jù) 11 0.50.5000.6|x(n)|00.20.40.811.200.20.40.6|x(n)|0.811.2圖 6 無記憶多項式模型擬合圖 7 無記憶和多項式模型擬合由圖 6 可以看出，采用一般多項式模型進(jìn)行擬合時，在輸入數(shù)據(jù)幅度較小時可以得到比較好的結(jié)果，這是因為此時功率放大器的非線性比較弱，而隨著輸入數(shù)據(jù)幅度變大， 功率放大器的非線性加強(qiáng)，擬合的結(jié)果也隨之惡化。由圖 7 可知，

48、采用和多項式進(jìn)行擬合的結(jié)果要明顯好于一般多項式的擬合結(jié)果，此方法在功率放大器非線性較強(qiáng)時也會得 到較高的擬合精度。 18|z(n)|z(n)|參數(shù) H nh1h2h3h4h5h6h7數(shù)值 3.0116-0.27781.9415-4.6023-3.20408.8443-3.8001 B 正交模型 將矩陣 X 和矩陣 X A 通過式(11)-(13)的施密特正交化方法實現(xiàn)正交化。對已知的無記憶模型中，當(dāng)多項式階數(shù) K = 7 時，XA 的正交化向量與已知向量之間的關(guān)系如表 1 所示。 表 2 正交基與原向量關(guān)系表A1 = xA2 = x x- 0.6317xA3 = x x 2 - 0.4740x

49、 x-0.8729xA4 =x x 3 - 0.3873x x 2 - 0.9975x-0.6702xxA5 = xA6 = xx 4 - 0.3332x x 3 -1.0254xx 2 -1.3809x+0.3384xxx 5 - 0.2970xx 4 -1.0239xx 3 -1.8657xx 2 - 0.8795x x+ 2.3962x經(jīng)過正交化處理之后的新矩陣，通過式(15)和式(16)分別得到相應(yīng)多項式階數(shù)條件下的模型系數(shù)。通過軟件求解得到擬合曲線。圖 8 為一般多項式模型經(jīng)過正交化之后的 擬合結(jié)果，圖 9 為和多項式模型經(jīng)過正交化處理之后的擬合結(jié)果。 由圖 7 圖 8 可以看出，一般多項式模型經(jīng)正交化后還是沒有克服其強(qiáng)非線性時擬合 效果較差的缺點，而和多項式經(jīng)過正交處理后擬合效果與處理前相比變化亦不大。 擬合曲線 擬合曲線 22 1.51.5實際數(shù)據(jù) 擬合數(shù)據(jù) 實際數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù) 11 0.50.5 000.6|x(n)|00.20.40.811.200.20.40.6|x(n)|0.811.