勾股定理(講義)

1、勾股定理一、知識(shí)歸納1勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，斜邊為，那么2勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形3勾股定理的應(yīng)用已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊在中，則，知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系二、題型題型一：直接考查勾股定理例. 在中，已知，求的長(zhǎng) 已知，求的長(zhǎng)解： 題型二：應(yīng)用勾股定理建立方程例.在中，于，已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)之比為，斜邊長(zhǎng)為，

2、則這個(gè)三角形的面積為已知直角三角形的周長(zhǎng)為，斜邊長(zhǎng)為，則這個(gè)三角形的面積為例.如圖中，求的長(zhǎng)例4.如圖，,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積題型三：實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用勾股定理例5.如圖有兩棵樹(shù)，一棵高，另一棵高，兩樹(shù)相距，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵數(shù)的樹(shù)梢，至少飛了三、勾股定理的逆定理知識(shí)歸納1. 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有下面關(guān)系：a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中為斜邊。2. 常用的平方數(shù)112_，122_，132_，142_，152_，162_，172_，182_，192_，202_，252_注意.如果三角形三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角

3、形，其中為斜邊。勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和與較長(zhǎng)邊的平方作比較，若它們相等時(shí)，以，為三邊的三角形是直角三角形；若，時(shí)，以，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時(shí)，以，為三邊的三角形是銳角三角形； 3. 勾股數(shù)： 滿足a2b2c2的三個(gè)正整數(shù)叫做勾股數(shù)（注意：若a，b，c、為勾股數(shù)，那么ka，kb，kc同樣也是勾股數(shù)組。）記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；8,15,17等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)） *附：常見(jiàn)勾股數(shù)：3,4,5； 6,8

4、,10； 9,12,15； 5,12,134判斷直角三角形： （1）有一個(gè)角為90的三角形是直角三角形。 （2）有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。 （3）如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2 ，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（經(jīng)典直角三角形：勾三、股四、弦五）注：用勾股定理逆定理判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：（1）確定最大邊（不妨設(shè)為c）；（2）若c2a2b2，則ABC是以C為直角的三角形；若a2b2c2，則此三角形為鈍角三角形（其中c為最大邊）；若a2b2c2，則此三角形為銳角三角形（其中c為最大邊）5.直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（2）在

5、直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 （3）在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30。題型四：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個(gè)三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三邊長(zhǎng)為，判定是否為 ，解：例7.三邊長(zhǎng)為，滿足，的三角形是什么形狀？解題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用例8.已知中，邊上的中線，求證：證明：練習(xí)1已知一個(gè)Rt的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)是 2如圖，圓錐的底面半徑為6cm，高為8cm，那么這個(gè)圓錐的母線L是_3直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5 和12，則斜邊上的高為_(kāi)4. 已知等腰三角形的腰長(zhǎng)是6cm，底

6、邊長(zhǎng)是8cm，那么這個(gè)等腰三角形的面積是 .5如圖所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為8，正方形A的面積是10，B的面積是11，C的面積是13，則D的面積之為_(kāi).6如圖，C、D分別是一個(gè)湖的南、北兩端A和B正東方向的兩個(gè)村莊，CD= 6 km，且D位于C的北偏東30方向上，則AB_km第9題4312ABCD8cml(第2題)第6題867. 如圖,有兩棵樹(shù),一棵高8米,另一棵高2米,兩樹(shù)相距8米,一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢,則它至少要飛行_米. 8如圖，直線 L過(guò)正方形 ABCD 的頂點(diǎn) B , 點(diǎn)A、C 到直線 L 的距離分別是 1 和 2

7、 , 則正方形的ABCD的面積是 .9. 如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)4、寬3、高12，則圖中陰影部分的三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)。AB1A1BQP第11題圖10某校為了籌備校園藝術(shù)節(jié)，要在通往舞臺(tái)的臺(tái)階上鋪上紅色地毯如果地毯的寬度恰好與臺(tái)階的寬度一致，臺(tái)階的側(cè)面如圖所示，臺(tái)階的坡角為，臺(tái)階的高為2米，那么請(qǐng)你幫忙算一算需要米長(zhǎng)的地毯恰好能鋪好臺(tái)階（結(jié)果精確到，取，）（第10題圖）11有一圓柱體高為10cm，底面圓的半徑為4cm，AA1、BB1為相對(duì)的兩條母線。在AA1上有一個(gè)蜘蛛Q，QA=3cm；在BB1上有一只蒼蠅P，PB1=2cm。蜘蛛沿圓柱體側(cè)面爬到P點(diǎn)吃蒼蠅，最短的路徑是 cm。（結(jié)果用帶和根號(hào)的式子表

8、示）12如圖，如果以正方形ABCD的對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF，再以對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去，已知正方形ABCD的面積為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為，（n為正整數(shù)），那么第8個(gè)正方形的面積 _二、看準(zhǔn)了再選13“數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù)，如圖中數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)是”，這種利用圖形直觀說(shuō)明問(wèn)題的方式體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法叫（）代入法 換元法 數(shù)形結(jié)合的思想方法 分類討論的思想方法24cm32cm第17題14下列幾組數(shù)中不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度的是（）A B C D15兩只小鼴鼠在地下打洞，一只朝正東方挖，每分鐘挖8cm，另一只朝正南方挖，每分鐘挖6cm

9、，10分鐘之后兩只小鼴鼠相距（ ）A. 50cm B. 100cm C. 140cm D. 80cm16如圖一個(gè)圓桶兒，底面直徑為24cm,高為32cm,則桶內(nèi)能容下的最長(zhǎng)的木棒為（ ）A. 20cm B. 50cm C. 40cm D. 45cm17若等邊ABC的邊長(zhǎng)為4cm，那么ABC的面積為（ ）A2cm2 B4cm2 C6cm2 D8cm218如圖（2），在直角坐標(biāo)系中，OBC的頂點(diǎn)O（0，0），B（-6，0），且OCB=90，OC=B則點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是( ) A（3，3） B.（-3，3） C.（-3，-3） D.（3，3）19如圖所示：數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值

10、是（ ）A+1 B-+1 C-1 D20直角三角形的周長(zhǎng)為24，斜邊長(zhǎng)為10，則其面積為（ ）A96 B49 C24 D48yA1ABCOx第23題21.老李家有一塊草坪如圖所示.已知AB=3米,BC=4米,CD=12米,DA=13米,且ABBC,這塊草坪的面積是( )A24米2. B.36米2. C.48米2. D.72米2.22在一塊平地上，李大爺家屋前9米遠(yuǎn)處有一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)風(fēng)中，這棵大樹(shù)從離地面6米處折斷倒下，量得倒下部分的長(zhǎng)是10米出門在外的李大爺擔(dān)心自己的房子被倒下的大樹(shù)砸到大樹(shù)倒下時(shí)能砸到李大爺?shù)姆孔訂?？?qǐng)你通過(guò)計(jì)算、分析后給出正確的回答（）一定不會(huì)可能會(huì) 一定會(huì)以上答案都不對(duì)23如圖，在直角坐標(biāo)系中，將矩形OABC沿OB對(duì)折，使點(diǎn)A落在A1處，已知OA=，AB=1，則點(diǎn)A1的坐標(biāo)是（ ）。A、() B、() C、() D、()三、想好了再規(guī)范的寫(xiě)24、已知：在四邊形ABCD中，AB=3cm, BC