系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1.ppt

1、第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,所謂系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型就是描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。建立起控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上對控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、設(shè)計、綜合，是控制系統(tǒng)的基本研究方法。,本章主要內(nèi)容 1）線性微分方程式的建立及微分方程線性化的方法 2）拉普拉斯變換及傳遞函數(shù)概念 3）系統(tǒng)方塊圖和信號流程圖的概念,第一節(jié) 引 言,一、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,數(shù)學(xué)模型就是系統(tǒng)的輸出與輸入間的數(shù)學(xué)表達(dá)式。分為靜態(tài)模型和動態(tài)模型。 靜態(tài)模型：在靜態(tài)條件下得到的方程。一般用代數(shù)方程來表示。 動態(tài)模型：在動態(tài)條件下得到的方程。一般用微分方程式來描述。,工程上常用的數(shù)學(xué)模型包括微分方程、傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程，微分方程是基本的

2、數(shù)學(xué)模型，是列寫傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)。,系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以從理論分析和試驗的方法來獲取，兩種方法是相輔相成的。理論分析可以大致確定數(shù)學(xué)模型的階次、參數(shù)與結(jié)構(gòu)，而試驗的方法可以最終確定數(shù)學(xué)模型的形式。,從理論上建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，常稱為理論建模。這往往是困難的。為建立一個系統(tǒng)的理想的數(shù)學(xué)模型，必須注意到以下幾點：,1、必須對元件或系統(tǒng)的構(gòu)造、工作情況有足夠的了解。,分布參量集中化。,非線性因素線性化。,時變參量定?；?。,3、不同元件或系統(tǒng)應(yīng)采用與之相應(yīng)的物理定律來建立輸入與輸出的關(guān)系。如機械系統(tǒng)常用牛頓定律、電氣系統(tǒng)采用基爾霍夫定律等。這是建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。,2、忽略一些次要的因素，進(jìn)行合理的簡化。

3、,忽略次要因素或數(shù)值上比較小的因素。,二、線性系統(tǒng),如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性的，這種系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。一個系統(tǒng)，無論是用代數(shù)方程還是用微分方程來描述，其組成項的最高指數(shù)稱為方程的次數(shù)。一次微分方程叫做線性微分方程；除此以外非一次的微分方程稱為非線性微分方程。,微分方程中，無論是因變量或者是它的導(dǎo)數(shù)，都不高于一次方，并且沒有一項是因變量與其導(dǎo)數(shù)之積，則此微分方程就是線性微分方程。用這種方程描述的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。,下列微分方程描述的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。,下列微分方程描述的系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。,1.線性系統(tǒng)的齊次性,如果系統(tǒng)在輸入x(t)作用下的輸出為y(t)，并記為,x(t) y(t),則 kx(t)

4、 ky(t),稱為齊次性。式中k為常數(shù)。,線性系統(tǒng)具有齊次性。,線性系統(tǒng)最重要的特性，就是疊加原理。,若系統(tǒng)在輸入x1(t)作用下的輸出為y1(t),而在另一個輸入x2(t)作用下的輸出為y2(t)，并記為,x1(t) y1(t) x2(t) y2(t),則以下關(guān)系,x1(t) + x2(t) y1(t) + y2(t) 稱為疊加性或疊加原理,疊加原理說明，兩個不同的輸入函數(shù)，同時作用于系統(tǒng)的響應(yīng)，等于兩個輸入函數(shù)單獨作用的響應(yīng)之和。因此，線性系統(tǒng)對幾個輸入量的響應(yīng)，可以一個一個的處理，然后對它們的響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行疊加。,2.線性系統(tǒng)的疊加性,三.非線性系統(tǒng),用非線性方程表示的系統(tǒng)，叫做非線性系統(tǒng)

5、。,雖然許多物理關(guān)系常以線性方程來表示，但是在大多數(shù)情況下，實際的關(guān)系并非是真正線性的。事實上，對物理系統(tǒng)進(jìn)行仔細(xì)研究后可以發(fā)現(xiàn)，即使對所謂的線性系統(tǒng)來說，也只是在一定的工作范圍內(nèi)或忽略去那些影響較小的非線性因素所引起的誤差，工程上又允許的話，這一系統(tǒng)就可以作為線性系統(tǒng)來處理。圖 2 - 1為工程上常見的非線性特性曲線。,當(dāng)輸入信號較小而工作在線性區(qū)時，可看作線性元件；當(dāng)輸入信號較大而工作在飽和區(qū)時，就必須作為非線性元件來處理。在實際系統(tǒng)中，有時還人為的引入飽和特性，以便對控制信號進(jìn)行限幅，保證系統(tǒng)或元件在額定或安全情況下運行。,飽和非線性,當(dāng)輸入信號在一定范圍內(nèi)變化時，具有飽和特性的環(huán)節(jié)其輸

6、入輸出呈線性關(guān)系；當(dāng)輸入信號x的絕對值超出其線性范圍后，輸出信號不再隨輸入信號變化而保持在一常值上。具有飽和特性的元件如放大器、調(diào)節(jié)器等。,只有當(dāng)輸入信號幅值大于某一數(shù)值時才有輸出，且與輸入呈線性關(guān)系。例如各種測量元件的不靈敏區(qū)，調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機構(gòu)的死區(qū)，以及彈簧預(yù)緊力等。當(dāng)死區(qū)很小時，或?qū)ο到y(tǒng)的性能不會產(chǎn)生不良影響時，可將它作為線性特性處理；當(dāng)死區(qū)較大時，將使系統(tǒng)靜態(tài)誤差增加，有時還會造成系統(tǒng)低速不平滑性。在工程實踐中，為了提高系統(tǒng)的抗干擾能力，有時故意引入或增大死區(qū)。,死區(qū)非線性,死區(qū)特性又稱不靈敏特性，圖中橫坐標(biāo)為輸入，縱坐標(biāo)為輸出。由此可見，當(dāng)輸入信號在零附近變化時，系統(tǒng)輸出為零。,間隙

7、非線性,傳動機構(gòu)的間隙也是控制系統(tǒng)中一種常見的非線性特性現(xiàn)象。在機械傳動中，由于加工精度的限制及運動件相互配合的需要，總會有一定的間隙存在。例如齒輪傳動，為保證轉(zhuǎn)動靈活不發(fā)生卡死現(xiàn)象，必須容許有少量間隙。,由于間隙的存在，當(dāng)機構(gòu)做反向運動時，主動齒輪（其轉(zhuǎn)角為輸入信號x(t)）總要轉(zhuǎn)過間隙量2 x的空行程后才能推動從動齒輪（其轉(zhuǎn)角為輸出信號y(t) ）轉(zhuǎn)動，形成如圖所示的環(huán)狀間隙特性。,在機械傳動中，摩擦是必然存在的物理因素。例如執(zhí)行機構(gòu)由靜止?fàn)顟B(tài)啟動，必須克服機構(gòu)中的靜摩擦力矩y1 。啟動之后，又要克服機構(gòu)中的動摩擦力矩y2 。一般靜摩擦力矩大于動摩擦力矩。如圖所示。相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為,摩擦

8、間隙非線性,非線性系統(tǒng)重要的特性，是不能應(yīng)用疊加原理。因此，對包含有非線性系統(tǒng)的問題求解，其過程通常是非常復(fù)雜的。為了繞過由非線性系統(tǒng)而造成的數(shù)學(xué)上的難關(guān)，常需引入“等效”線性系統(tǒng)來代替非線性系統(tǒng)。如飽和非線性（圖a）和死區(qū)非線性（圖b）。這種等效線性系統(tǒng)，僅在一定的工作范圍內(nèi)是正確的，而對于那些本質(zhì)的非線性（圖c、 圖d） ，則用線性化處理的數(shù)學(xué)模型來近似的表示非線性系統(tǒng)。在第三節(jié)中，將介紹線性化處理的方法。,第二節(jié) 線性微分方程式的建立,一建立線性微分方程式的步驟,1、首先將系統(tǒng)劃分為若干個環(huán)節(jié)，確定每一環(huán)節(jié)的輸入信號和輸出信號。確定輸入信號和輸出信號時，應(yīng)使前一環(huán)節(jié)的輸出信號是后一環(huán)節(jié)的

9、輸入信號。,2、寫出每一環(huán)節(jié)（或元件）輸出信號和輸入信號相互關(guān)系的運動方程式，找出聯(lián)系輸出量與輸入量的內(nèi)部關(guān)系，并確定反映這種內(nèi)在聯(lián)系的物理規(guī)律。而這些物理定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式就是環(huán)節(jié)（或元件）的原始方程式。在此同時再做一些數(shù)學(xué)上的處理，如非線性函數(shù)的線性化，忽略一些次要因素等 。,3.消去中間變量，列出各變量間的關(guān)系式。最后得到只包含輸入量和輸出量的方程式。,4.化成標(biāo)準(zhǔn)形式，即輸出量放在方程式的左端，而輸入量放在方程式的右端，且各階導(dǎo)數(shù)項其階次依次按冪排列,* 建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)： 機械運動： 牛頓定理、能量守恒定理 電 學(xué)： 歐姆定理、基爾霍夫定律 熱 學(xué)： 傳熱定理、熱平衡定律,機械系統(tǒng)設(shè)

10、備大致分兩類：平移的和旋轉(zhuǎn)的。它們之間的區(qū)別在于前者施加的力而產(chǎn)生的是位移，而后者施加的是扭矩產(chǎn)生的是轉(zhuǎn)角。牛頓定律和虎克定律等物理定律是建立機械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ),二舉例,1機械系統(tǒng)的微分方程式,機械運動系統(tǒng)的三要素,質(zhì)量 M,彈簧 K,阻尼 B,機械運動的實質(zhì)： 牛頓定理、能量守恒定理,實例,（1）平移運動 如圖所示機械系統(tǒng)。求其微分方程，圖中Xi 表示輸入位移，Xo 表示輸出位移，假設(shè)輸出端無負(fù)載效應(yīng)。（c、c1、c2為阻尼系數(shù)，k1、k2為彈性系數(shù)）,解：（1）對圖a所示系統(tǒng)，由牛頓定律有,即,消除中間變量x有,（2）對圖b所示系統(tǒng)，引入一中間變量x并由牛頓定律有：,(3)對圖c所示系

11、統(tǒng)，由牛頓定律有,即,（2）機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng) 圖2-3 所示的轉(zhuǎn)動慣量為J的轉(zhuǎn)子與彈性系數(shù)為k的彈性軸和阻尼系數(shù)為B的阻尼器連接。假設(shè)外部施加扭矩m(t),則系統(tǒng)產(chǎn)生一個偏離平衡位置的角位移(t) ?，F(xiàn)研究外扭矩m(t)和角位移(t)的關(guān)系。,圖2-3 具有慣性矩、扭矩和阻尼器的旋轉(zhuǎn)系統(tǒng),列出系統(tǒng)原始方程：在平衡位置時，外加扭矩m(t)應(yīng)與慣性矩m1(t)阻尼矩m2(t)和彈性阻力矩m3(t)平衡，即,（2-3）,式中,所以系統(tǒng)的運動方程式為,（2-4）,2電氣系統(tǒng)的微分方程 電氣系統(tǒng)和元件種類繁多，但根據(jù)有關(guān)電、磁及電路的基本定律，無論其結(jié)構(gòu)多么復(fù)雜，總可以建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型的。電氣系統(tǒng)的微分

12、方程主要根據(jù)基爾霍夫定律和電磁感應(yīng)定律等基本物理規(guī)律列寫,圖2-4 所示的系統(tǒng)中， ui(t)為輸入電壓， uo(t)為輸出電壓。,根據(jù)基爾霍夫定律和歐姆定律，有,（2-5）,（2-6),（2-7）,（2-8）,圖2-4無源電路,將方程聯(lián)立求解，消去中間變量i1(t)、 i2(t)、 i3(t)后，即可得到以ui(t)為輸入量，以uo(t)為輸出量的電路微分方程式，即：,（2-9）,第三節(jié) 非線性系統(tǒng)的線性化,實際上，所有元件和系統(tǒng)都不同程度地具有非線性特性，例如：元件的死區(qū)、傳動的間隙和摩擦，在大輸入信號作用下元件的輸出量的飽和以及元件存在的非線性函數(shù)關(guān)系等等,由于非線性有各種不同的類型，所

13、以也沒有解析求解的通用方法。,具有本質(zhì)非線性特性的系統(tǒng)，只能用非線性理論去處理。,對于非線性函數(shù)的線性化方法有兩種。一種是忽略非線性因素。如果非線性因素對系統(tǒng)的影響很小，就可以忽略。如死區(qū)、磁滯以及某些干摩擦等，一般情況下就可以忽略。另一種方法就是切線法，或稱微小偏差法。,在工作中，控制系統(tǒng)各個變量偏離其平衡值一般都比較小，因此，對于具有非本質(zhì)非線性特性的系統(tǒng)，可以采用小偏差線性化的方法求取近似的線性微分方程以代替原來的非線性微分方程。,切線法： 如果工程中存在著一些元件（或系統(tǒng)）其輸出與輸入的靜態(tài)關(guān)系如圖2-5所示。系統(tǒng)在平衡點A(x0、y0)工作，當(dāng)輸入量x在平衡點A附近很小范圍內(nèi)變化時，

14、輸入與輸,圖2-5 非線性特性線性化的幾何意義,出關(guān)系可以近似用切于A點的一段直線BC來代替實際的曲線BC,這種代替雖然存在誤差，但在工程實際中，其誤差是允許的。,若BC的斜率為k，則輸入與輸出關(guān)系可以表示為:,式中y為在平衡點A附近輸出量的變化；,x為在平衡點A附近輸入量的變化；,由此可見，一個非線性系統(tǒng)，如果在平衡點附近工作時，就可以用線性關(guān)系描述其輸出與輸入的關(guān)系。,當(dāng)非線性關(guān)系可以用解析關(guān)系描述時，且仍然在平衡點附近工作，系統(tǒng)的線性關(guān)系應(yīng)該如何表達(dá)呢？下面就來分析此種情況。,非線性關(guān)系如果可用下述解析形式表達(dá)時,（2-11）,平衡工作點為A(x0、y0) ,則（2-11）式在平衡點展成

15、泰勒級數(shù)為,（2-12 ）,假設(shè)(x-x0) 很小，則可以忽略高次項，而只保留一次項，則（2-12）可以寫成,（2-13）,式中,所以，式（2-13）變?yōu)椋?（2-14）,即,如果輸出量y為兩個輸入量x1與x2的函數(shù)時，即,（2-15）,為了得到線性系統(tǒng)的近似線性關(guān)系，仍然在平衡點展成泰勒級數(shù)，即：,（2-16）,當(dāng)系統(tǒng)在平衡點附近工作，忽略高次項，于是（2-16）式可以寫成 :,（2-17）,式中,( 2-17)式又可以寫成：,為了書寫方便起見，增量y與x均可以用變量y與x代替，但在理解時，應(yīng)看作在工作點附近小范圍內(nèi)的關(guān)系。,這樣，（2-10）式、（2-14）式與（2-18）則可以分別寫成為

16、,（2-19）,（2-20）,這里需指出，前面所講過的線性化方法只能用在沒有間斷點、折斷點的非線性特性，即所謂非本質(zhì)非線性特性。,例2-1 圖2-6為一液面系統(tǒng)。Qr為流入液量， Qc為流出液量 , h為液面高度，S為容器截面積，在h變動內(nèi)為恒值。列出液面波動的運動方程式。,解：系統(tǒng)原始方程式：,以Qr為輸入量，以h為輸出量。根據(jù)物質(zhì)守恒定律可得,由流量公式可知,式中決定于流通管道面積及其結(jié)構(gòu)形式的參數(shù)。結(jié)構(gòu)一定時，在Qc變化的一定范圍內(nèi)，可近似地認(rèn)為恒值,顯然式（2-23）是一個非線性方程式。,對上式進(jìn)行線性化處理，首先確定額定工作點和靜態(tài)方程式：額定工作點為（Qr0、h0),靜態(tài)方程式為：

17、,將非線性函數(shù) 線性化：,代入(2-21)式中消去Qc,可得液面運動方程式,（2-23）,將方程式的瞬時值用它的額定值和微小增量之和來表示,從上式減去靜態(tài)方程式，可得式（2-23）的線性化方程式：,線性化有如下特點：,（1）線性化是相對某一額定工作點進(jìn)行的。工作點不同，得到的線性化微分方程的系數(shù)也不同；,（2）若使線性化具有足夠的精度，調(diào)節(jié)過程中變量偏離工作點的偏差信號必須足夠?。?（3）線性化后的運動方程是相對額定工作點以增量來描述的。因此，可以認(rèn)為其初始條件為零；,（4）線性化只能運用沒有間斷點、折斷點和非單值關(guān)系的函數(shù)，對具有本質(zhì)非線性元件的非線性系統(tǒng)是不適用的。,第四節(jié) 拉普拉斯變換,

18、利用拉普拉斯變換，可將微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，使求解大為簡化，因而拉普拉斯變換成為分析工程控制系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)方法之一。,一.拉普拉斯變換的定義,設(shè)f(t)是實變量t的單值函數(shù)，在t0的任一有限區(qū)間上是連續(xù)的或至少是分段連續(xù)的。并且當(dāng)t趨于無窮大時，f(t)是指數(shù)級數(shù)的。即存在一個正實數(shù)，在t趨于無窮大時，它使函數(shù)e- tf(t)趨近于零。則f(t)的拉普拉斯變換F(s)定義為：,2-25,式中S是一個實部大于的復(fù)變量。L為拉氏變換運算符。通常稱f(t)為原函數(shù)、 F(s)為拉氏變換函數(shù)或原函數(shù)的象函數(shù)。 拉氏變換定義式中，其積分的下限為零。但是，若函數(shù)f(t)在t=0處有突跳，這就存在積分下限

19、是從正的一邊趨向于零，還是從負(fù)的一邊趨向于零，即積分下限是取0+還是0-的問題。因為對于這兩種下限，f(t)的拉氏變換是不同的。我們采用如下標(biāo)記區(qū)分這種差別：,例2-2 求 的拉氏變換。,u(t)為單位階躍函數(shù)，見圖2-7（a）。即,（a） 單位階躍函數(shù) 圖-7函數(shù)曲線,解：利用（2-25）式，可得,注：當(dāng)u(t)不為單位階躍函數(shù)，為,時，,例2-3 求單位斜坡函數(shù)f(t)=t的拉氏變換。,單位斜坡函數(shù)如圖2-7（b） 所示，定義為,解：利用（2-25）式，可得,利用分部積分公式,令,（b）單位斜坡函數(shù) 圖2-7函數(shù)曲線,所以,例2-4求單位脈沖函數(shù)的拉氏變換。,單位脈沖函數(shù)如圖-7（c）所示

20、。定義為,并且,式中f(0)表明t=0時刻的f(t)的函數(shù)值。,（c）單位脈沖函數(shù) 圖2-7函數(shù)曲線,且(t)有如下特性,解：因這種函數(shù)在t=0有突跳，L+(t)不能反映它在0-,0+區(qū)間的特性，故應(yīng)取L-(t)。利用（2-25）式求得的拉氏變換為,注：,例2-5求指數(shù)函數(shù)f(t)=eat的拉氏變換,解：利用（2-25）式，可得,例2-6求正弦函數(shù)f(t)=sint的拉氏變換。,解：利用（2-25）式，可得,由歐拉公式,所以,表2-1常用函數(shù)的拉氏變換表,二.拉氏變換的主要定理,1線性定理,設(shè)Lf1(t)=F1(s),，Lf2(t)=F2(s)，k1，k2為常數(shù) ，則,（2-27）,線性定理說

21、明某一時間內(nèi)，函數(shù)為幾個時間函數(shù)的代數(shù)和，其拉氏變換等于每個時間函數(shù)拉氏變換代數(shù)和。,2微分定理,設(shè)Lf(t)=F(s)，則有,(2-28),式中f(0+)表示當(dāng)t在時間坐標(biāo)軸的右端趨于零時的f(t)值，相當(dāng)于初始條件,證明：由（2-25）式可得：,利用分部積分法， 則,令 ,則,故,同理，可進(jìn)一步推出f(t)的各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為:,（2-29）,式中 分別為各階導(dǎo)數(shù)在時間坐標(biāo)軸的右端趨于零時的 的 值，如果所有這些初值為零，則,（2-30）,例-7 試求下面微分方程式的拉氏變換式已知各階導(dǎo)數(shù)初值為零。,解：利用線性定理和微分定理，可得,1.積分定理,（ 2-31）,式中 為 在t時間坐標(biāo)軸

22、的右端趨于零時的f(t)的值，相當(dāng)于初始條件。,證明： 由（2-25）式可得,設(shè)Lf(t)=F(s)，則有,利用分部積分法，令,則有,故,同理，對于多重積分的拉氏變換可得:,式中 為式中f(t)的各重積分在t=0+時的值，如果這些初值為零，則有,（2-33）,初值定理,設(shè)f(t)及其一階導(dǎo)數(shù)均為可拉氏變換的，則f(t)的初值為,（2-34）,證明： 由微分定理得知,由于s時，e-st1所以,所以,應(yīng)用初值定理可以確定系統(tǒng)或元件的初始狀態(tài)。,例-8求 的初值。,解：可以由 直接求出初值，亦可按初值定理求出。,直接法可得,初值定理， ，所以 ， 由上可見，兩種算法結(jié)果是一致的。,終值定理,設(shè)f(t

23、)及其一階導(dǎo)數(shù)均為可拉氏變換的，則f(t)的終值為 :,（2-35）,證明：由微分定理得知,即,所以,由于s時，e-st1所以,應(yīng)用終值定理，可以確定系統(tǒng)或元件的穩(wěn)態(tài)值。但要注意，如果當(dāng)t， 極限不存在，則不能應(yīng)用終值定理。如正弦函數(shù)等周期函數(shù)，它們的極限不存在，因此就不能使用終值定理。,例2-9已知 ，求f(t)的終值。,解：利用終值定理,6、時域位移定理（延遲定理）,設(shè)Lf(t)=F(s) ，對任一正實數(shù)a有,（2-36）,式中f(t-a)為函數(shù)f(t)延遲時間a之后的函數(shù)，如圖2-8所示，當(dāng)ta時f(t)=0。,圖2-8延遲函數(shù),證明：設(shè)(t-a)=,則：,、復(fù)域位移定理（位移定理）,設(shè)

24、Lf(t)=F(s) ，對任一常數(shù)a（實數(shù)或復(fù)數(shù)），有,（2-37）,證明：,此定理常常在計算有指數(shù)函數(shù)項的復(fù)合函數(shù)的拉氏變換時用到。,例2-10求 的拉氏變換。,解：可直接運用復(fù)域位移定理及正弦函數(shù)的拉氏變換求得,可求得,8.相似定理,設(shè)Lf(t)=F(s) ，對任一常數(shù)a，則,（2-38）,證明：,令,卷積定理,兩個時間函數(shù)f1(t)，f2(t)積分的拉氏變換可由下式得到,（2-39）,式中,證明略。,三.拉普拉斯反變換,已知象函數(shù)F(s),求出與之對應(yīng)的原函數(shù)f(t)就稱為拉氏反變換，可以寫成,（2-40）,簡寫為,對于比較簡單的象函數(shù)，可以利用表2-1查出其原函數(shù)。但在工程中經(jīng)常遇到的

25、都是比較復(fù)雜的象函數(shù)，此時，通常先利用部分分式展開法將復(fù)雜的象函數(shù)展開成簡單的象函數(shù)之和，再利用表2 - 1，分別查出各個原函數(shù)，其和即為所求。,如某一原函數(shù)f(t)的象函數(shù)為F(s),可以把F(s)分解成一些分量之和，即,式中的 又很 容易由表 2-1得到所對應(yīng)的原函數(shù) ， ，,即：,控制工程中，象函數(shù)F(s)通?？梢员硎居欣矸质叫问剑?（2-41）,為把（2-41）式表示成部分分式，先要把A(s) 寫成因式形式，即,（2-42）,多項式A(s)的根即 稱F(s)的極點，此極點可為實數(shù)亦可為復(fù)數(shù)，（2-41）式可以寫成部分分式形式,（2-43）,由于極點-p1 ， -p2 ， -p3 ， ， -pn可為實數(shù)或復(fù)數(shù)，所以系數(shù) A1 ， A2 ， A3 ， ， An -1， An也可為實數(shù)或復(fù)數(shù)。這些系數(shù)有的書又稱留數(shù)。求留數(shù)的方法可分為下面三種情況研究。,1.不同實數(shù)極點情況,2.包含有共軛極點的情況,3.包含多重極點的情況,1.不同實數(shù)極點情況