浙教版八年級(jí)三角形中幾種模型.docx

1、一、手拉手模型：1手的判別：判斷左右，將等腰三角形頂角頂點(diǎn)朝上，左邊為左手頂點(diǎn)，右邊為右手頂點(diǎn)。2手拉手的定義兩個(gè)頂角相等且有共頂點(diǎn)的等腰三角形形成的圖形。（左手拉左手，右手拉右手）3手拉手基本結(jié)論ABCABC(SAS)BAB=BOBAO平分BOC 二、例題例1、在直線ABC的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形ABD和BCE，連接AE與CD，證明：（1） ABEDBC（2） AE=DC（3） AE與DC的夾角為60。（4） AGBDFB（5） EGBCFB（6） BH平分AHC（7） GFAC變式練習(xí)1、如果兩個(gè)等邊三角形ABD和BCE，連接AE與CD，證明：（1） ABEDBC（2） AE=DC（3）

2、AE與DC的夾角為60。（4） AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H,BH平分AHC變式練習(xí)2：如果兩個(gè)等邊三角形ABD和BCE，連接AE與CD，證明：（1） ABEDBC（2） AE=DC（3） AE與DC的夾角為60。（4）AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H,BH平分AHC變式訓(xùn)練3：兩個(gè)等腰三角形ABD與BCE，其中AB=BD,CB=EB,ABD=CBE=a 連接AE與CD. 問（1）ABEDBC是否成立？（2）AE是否與CD相等？（3）AE與CD之間的夾角為多少度？（4）HB是否平分AHC？例2：如圖，兩個(gè)正方形ABCD和DEFG，連接AG與CE，二者相交于H問：（1）ADGCDE是否成立？（2）AG是否與CE

3、相等？（3）AG與CE之間的夾角為多少度？（4）HD是否平分AHE？例3：如圖兩個(gè)等腰直角三角形ADC與EDG，連接AG,CE,二者相交于H.問 （1）ADGCDE是否成立？（2）AG是否與CE相等？（3）AG與CE之間的夾角為多少度？（4）HD是否平分AHE？二、半角模型1、條件：2、思路：截長(zhǎng)補(bǔ)短 旋轉(zhuǎn)例1、在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動(dòng)，且滿足MN=BM +DN，求證：.MAN=.AM、AN分別平分BMN和DNM.例2拓展：在正方形ABCD中，已知MAN=，若M、N分別在邊CB、DC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)， .試探究線段MN、BM 、DN之間的數(shù)量關(guān)系. .求證：AB=AH

4、.例3.在四邊形ABCD中，B+D=，AB=AD，若E、F分別在邊BC、CD上，且滿足EF=BE +DF.求證：練習(xí)鞏固1：（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EAF45，試判斷BE、DF與EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果：；（2）如圖2，若把(1)問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜛BCD中，ABAD，BD180，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且EAF=BAD”，則（1）問中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）在（2）問中，若將AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)分別E、F運(yùn)動(dòng)到BC、CD延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3所示，其它條件不變，則（1）

5、問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)給出結(jié)論并予以證明.練習(xí)鞏固2：已知：正方形中，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N （1）如圖1，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，有當(dāng) 繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，如圖2，請(qǐng)問圖1中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明，如果不成立，請(qǐng)說明理由；（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段和之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并證明練習(xí)鞏固3：在等邊的兩邊，所在直線上分別有兩點(diǎn)為外一點(diǎn)，且，探究：當(dāng)點(diǎn)分別愛直線上移動(dòng)時(shí)，之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)與等邊的周長(zhǎng)的關(guān)系（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上，且時(shí)，之間的數(shù)量關(guān)系式_；此時(shí)_（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上，且時(shí)，猜想(1)問的兩

6、個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)分別在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，若，則_(用表示)練習(xí)鞏固4：如圖，已知在正方形ABCD中，=45，連接BD與AM，AN分別交于E、F兩點(diǎn)。求證：（1）MN=MB+DN； （2）點(diǎn)A到MN的距離等于正方形的邊長(zhǎng)； （3）的周長(zhǎng)等于正方形ABCD邊長(zhǎng)的2倍； （4）； （5）若=20，求； （6）若，求； （7）； （8）與是等腰三角形； （9）。三、三垂直模型（一線三等角）（K型）1、常見的一線三垂直的模型。例1：如圖，正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點(diǎn)，且AEBF，垂足為點(diǎn)G求證：AE=BF變式訓(xùn)練：等腰RtABC中，AC=AB，BA

7、C90，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AFBD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接DF，求證：1=2。例2：.如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)(不與點(diǎn)AB重合)，連接PD并將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90得到線段PE，PE交邊BC于點(diǎn)F連接BE、DF。求證：ADP=EPB；求CBE的度數(shù)；例3：等腰直角ABC，其中AB=AC，BAC=90，過B、C作經(jīng)過A點(diǎn)直線L的垂線，垂足分別為M、N（1）你能找到一對(duì)三角形的全等嗎？并說明（2）BM，CN，MN之間有何關(guān)系？若將直線l旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，其他條件不變，那么上題的結(jié)論是否依舊成立？四、角平分線模型1、邊垂直如圖，P是MON的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PAOM于

8、點(diǎn)A，PBON于點(diǎn)B。 結(jié)論：PB=PA例1：（1）如圖，在ABC中，C=90，AD平分CAB，BC=6，BD=4，那么點(diǎn)D到直線AB的距離是 ；（2）如圖，1=2，+3=4。 求證：AP平分BAC。例2：如圖，ABC的外角ACD的平分線CP與內(nèi)角ABC的平分線BP交于點(diǎn) P，若BPC=40，則CAP= 。例3：如圖，在四邊形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC。 求證：BAD+BCD=180。2、翻折全等（對(duì)稱）如圖，P是MON的平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)A是射線OM上任意一點(diǎn)，在ON上截取OB=OA，連接PB。 結(jié)論：OPBOPA。例1：（1）如圖所示，在ABC中，AD是ABC的外角平分

9、線，P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由；（2）如圖所示， AD是ABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變，試比較 PC-PB與AC-AB的大小，并說明理由。例2：已知，在ABC中，A=2B，CD是ACB的平分線，AC=16，AD=8。 求線段BC的長(zhǎng)。例3：如圖所示，在ABC中，A=100，A=40，BD是ABC的平分線，延長(zhǎng)BD至E，DE=AD。求證：BC=AB+CE。例4：已知，在ABC中，AB=AC，A=108，BD平分ABC。 求證：BC=AB+CD。3、角平分線+垂線等腰（三線合一）如圖，P是MO的平分線上一點(diǎn)，APOP于P點(diǎn)，延長(zhǎng)AP于點(diǎn)B。 結(jié)論

10、：AOB是等腰三角形。例1：如圖，已知等腰直角三角形ABC中，A=90，AB=AC，BD平分ABC，CEBD，垂足為E。求證：BD=2CE。例2：如圖，在ABC中，BE是角平分線，ADBE，垂足為D。 求證：2=1+C。例3：（1）如圖，BD、CE分別是ABC的外角平分，過點(diǎn)A作ADBD、AECE，垂足分別為D、E，連接DE。求證：(1)AB+AC+BC=MN（2）如圖，BD、CE分別是ABC的內(nèi)角平分，其它條件不變。上述結(jié)論是否成立？ 成立請(qǐng)說明理由，若不成立，那MN與ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并進(jìn)行證明。 （3）如圖，BD是ABC的內(nèi)角平分，CE是ABC的外角平分，其它條件不變。MN與ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并進(jìn)行證明。 4、角平分線+平行線等腰（底角相等）如圖，P是MO的平分線上