二次函數(shù)公式

1、二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總1.定義：一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)的性質(zhì)(1)拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是軸.(2)函數(shù)的圖像與的符號(hào)關(guān)系.當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)3.二次函數(shù) 的圖像是對(duì)稱(chēng)軸平行于(包括重合)軸的拋物線.4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；.6.拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn).決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下；相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)

2、，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.8.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法(1)公式法：，頂點(diǎn)是，對(duì)稱(chēng)軸是直線.(2)配方法：運(yùn)用配方法將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱(chēng)軸是.(3)運(yùn)用拋物線的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ(chēng)性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失9.拋物線中，的作用(1)決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與中的完全一樣.(2)和共同決定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線,故：時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為軸；(即、同號(hào))時(shí),

3、對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè)；(即、異號(hào))時(shí),對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè).(3)的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0，)：，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn); ,與軸交于正半軸；,與軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)，則 .10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開(kāi)口向上當(dāng)時(shí)開(kāi)口向下(軸)(0,0)(軸)(0, )(,0)(,)()11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 (1)一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式. (2)頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式. (3)交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，

4、通常選用交點(diǎn)式：.12.直線與拋物線的交點(diǎn) (1)軸與拋物線得交點(diǎn)為() (2)與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,). (3)拋物線與軸的交點(diǎn)二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在軸上)拋物線與軸相切；沒(méi)有交點(diǎn)拋物線與軸相離.(4)平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同(3)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(5)一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來(lái)確定：方

5、程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí)與沒(méi)有交點(diǎn).(6)拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故 13二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：(1)一元二次方程就是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)y的值為0時(shí)的情況(2)二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)時(shí)自變量的值，即一元二次方程的根(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根14.二次函數(shù)的應(yīng)用：(1)二次函數(shù)常用來(lái)解決最優(yōu)化問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題實(shí)際上就是求函數(shù)的最大(小)值；(2)二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實(shí)際問(wèn)題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系；運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題中的最大(小)值15.解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的基