輔助角公式在高考三角題中的應(yīng)用

1、輔助角公式在高考三角題中的應(yīng)用對(duì)于形如y=asinx+bcosx的三角式，可變形如下：y=asinx=bcosx。由于上式中的與的平方和為1，故可記=cos，=sin，則由此我們得到結(jié)論：asinx+bcosx=，（*）其中由來確定。通常稱式子（*）為輔助角公式，它可以將多個(gè)三角式的函數(shù)問題，最終化為y=Asin()+k的形式。下面結(jié)合近年高考三角題，就輔助角公式的應(yīng)用，舉例分類簡析。一. 求周期例1 （2006年上海卷選）求函數(shù)的最小正周期。解：所以函數(shù)y的最小正周期T=。評(píng)注：將三角式化為y=Asin()+k的形式，是求周期的主要途徑。二. 求最值例2. （2003年北京市）已知函數(shù)f(x

2、)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若，求f(x)的最大值和最小值。解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=。由。當(dāng)，即x=0時(shí)，最小值；當(dāng)時(shí)取最大值1。從而f(x)在上的最大值是1，最小值是。三. 求單調(diào)區(qū)間例3. （2005年江西?。┮阎蛄?，令，求函數(shù)f(x)在0，上的單調(diào)區(qū)間。解：先由。反之再由。所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。評(píng)注：以向量的形式給出條件或結(jié)論，是近兩年來三角命題的新趨勢，但最終仍要?dú)w結(jié)為三角式的變形問題。而化為y=Asin(x+)+k的形式，是求單調(diào)區(qū)間的通法。四. 求值域例4. 求函

3、數(shù)的值域。解：所以函數(shù)f(x)的值域是-4，4。五. 畫圖象例5. （2003年新課程）已知函數(shù)f(x)=2sinx(sinx+cosx)，畫出函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上的圖象。解：由條件。列表如下02112描點(diǎn)連線，圖象略。六. 圖象對(duì)稱問題例6. 如果函數(shù)y=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，那么a=( )（A）（B）（C）1（D）-1解：可化為知時(shí)，y取得最值，即七. 圖象變換例7（2000年全國）已知函數(shù)該函數(shù)的圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？解：可將函數(shù)y=sinx的圖象依次進(jìn)行下述變換：（1）向左平移，得到y(tǒng)=sin(x+)的圖象；（2）將（1）中所得圖象上

4、各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，得y=的圖象；（3）將（2）中所得圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，橫坐標(biāo)不變，得y=sin(2x+)的圖象；（4）將（3）中所得圖象向上平移個(gè)單位長度，得到y(tǒng)=sin(2x+)+的圖象。綜上，依次經(jīng)過四步變換，可得y=的圖象。八. 求值例8. 已知函數(shù)f(x)=+sinxcosx。設(shè)（0，），f()=，求sin的值。解：f(x)=sin。由f()=sin()，得sin()=。又（0，）。而sin，故+，則cos(+)=。sin=sin=sin=。評(píng)注：化為一種角的一次式形式，可使三角式明晰規(guī)范。在求sin時(shí)，巧用湊角法：=（+）-，并且判斷出+的范圍，進(jìn)而求出cos(+)的確切值，使整個(gè)求值過程方向明確，計(jì)算簡捷。九. 求系數(shù)例9. （2005年重慶）若函數(shù)f(x)=的最大值為2，試確定常數(shù)a的值。解：f(x)=，其中角由sin=來確定。由已知有，解得a=。十. 解三角不等式例10. （2005年全國）已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2x，x，求使f(x)為正值的x的集合。解