高中數(shù)學(xué)壓軸題精選

1、2007年高考壓軸題集錦1(安徽卷) 如圖，曲線的方程為以原點為圓心以為半徑的圓分別與曲線和軸的正半軸相交于點與點直線與軸相交于點（）求點的橫坐標(biāo)與點的橫坐標(biāo)的關(guān)系式（）設(shè)曲線上點的橫坐標(biāo)為，求證：直線的斜率為定值xyBAOaD2(安徽卷) 某國采用養(yǎng)老儲備金制度公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金，數(shù)目為，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加，因此，歷年所交納的儲備金數(shù)目是一個公差為的等差數(shù)列與此同時，國家給予優(yōu)惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復(fù)利這就是說，如果固定年利率為，那么，在第年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)椋诙晁患{的儲備金就變?yōu)?，以表示到第年末所累計的儲備金總額（）寫出與的

2、遞推關(guān)系式；（）求證：，其中是一個等比數(shù)列，是一個等差數(shù)列3(北京卷)已知集合，其中，由中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合：，其中是有序數(shù)對，集合和中的元素個數(shù)分別為和若對于任意的，總有，則稱集合具有性質(zhì)（I）檢驗集合與是否具有性質(zhì)并對其中具有性質(zhì)的集合，寫出相應(yīng)的集合和；（II）對任何具有性質(zhì)的集合，證明：；（III）判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論4（福建卷）等差數(shù)列的前項和為（）求數(shù)列的通項與前項和；（）設(shè)，求證：數(shù)列中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列5（福建卷）已知函數(shù)（）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（）設(shè)函數(shù)，求證：6(廣東卷) 已知是實數(shù)，

3、函數(shù)如果函數(shù)在區(qū)間上有零點，求的取值范圍7(廣東卷)已知函數(shù)，、是方程的兩個根()，是的導(dǎo)數(shù)設(shè)，.(1)求、的值；(2)證明：對任意的正整數(shù)有；（3）記,.求數(shù)列的前項和8（湖北卷）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，其中設(shè)兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：（）9（湖北卷）已知為正整數(shù)，（I）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，；（II）對于，已知，求證，求證，；（III）求出滿足等式的所有正整數(shù)10（湖南卷）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的動直線與雙曲線相交于兩點（I）若動點滿足（其中為坐標(biāo)原點），求點的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點，使為常數(shù)？若存在，求

4、出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由11（湖南卷）已知（）是曲線上的點，是數(shù)列的前項和，且滿足，（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；（II）確定的取值集合，使時，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；（III）證明：當(dāng)時，弦（）的斜率隨單調(diào)遞增12（江蘇卷）數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若，記為數(shù)列的前項的和（1）若，求證：；（4分）（2）若，求證：為整數(shù)，且數(shù)列中的每一項都是數(shù)列的項；（8分）（3）是否存在這樣的正數(shù)，使等比數(shù)列中有3項成等差數(shù)列，若存在，寫出一個的值；若不存在，請說明理由（4分）13（江蘇卷）設(shè)是不全為的實數(shù)，函數(shù)，若有實數(shù)根，且都是的根，反之，的實根都是的根（1）求的值；（3分）（2）若

5、，求的取值范圍；（6分）（3）若，求的取值范圍（7分）2007年高考壓軸題集錦（答案）1本小題綜合考查平面解析幾何知識，主要涉及平面直角坐標(biāo)系中的兩點間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點與曲線方程的關(guān)系，考查運算能力與思維能力、綜合分析問題的能力本小題滿分12分xyBAOaD解：（）由題意知，因為，所以由于，故有（1）由點的坐標(biāo)知，直線的方程為又因點在直線上，故有，將（1）代入上式，得，解得（）因為，所以直線的斜率為所以直線的斜率為定值2本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念和基本方法，考查學(xué)生閱讀資料、提取信息、建立數(shù)學(xué)模型的能力、考查應(yīng)用所學(xué)知識分析和解決實際問題的能力本小題滿分

6、14分解：（）我們有（），對反復(fù)使用上述關(guān)系式，得 ，在式兩端同乘，得，得即如果記，則其中是以為首項，以為公比的等比數(shù)列；是以為首項，為公差的等差數(shù)列3（I）解：集合不具有性質(zhì)集合具有性質(zhì)，其相應(yīng)的集合和是，（II）證明：首先，由中元素構(gòu)成的有序數(shù)對共有個因為，所以；又因為當(dāng)時，時，所以當(dāng)時，從而，集合中元素的個數(shù)最多為，即（III）解：，證明如下：（1）對于，根據(jù)定義，且，從而如果與是的不同元素，那么與中至少有一個不成立，從而與中也至少有一個不成立故與也是的不同元素可見，中元素的個數(shù)不多于中元素的個數(shù)，即，（2）對于，根據(jù)定義，且，從而如果與是的不同元素，那么與中至少有一個不成立，從而與中也

7、不至少有一個不成立，故與也是的不同元素可見，中元素的個數(shù)不多于中元素的個數(shù)，即，由（1）（2）可知，4本小題考查數(shù)列的基本知識，考查等差數(shù)列的概念、通項公式與前項和公式，考查等比數(shù)列的概念與性質(zhì)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法以及推理和運算能力滿分12分解：（）由已知得，故（）由（）得假設(shè)數(shù)列中存在三項（互不相等）成等比數(shù)列，則即，與矛盾所以數(shù)列中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列5本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識，考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題、解決問題的能力滿分14分解：（）由得，所以由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，由得，

8、故的單調(diào)遞減區(qū)間是（）由可知是偶函數(shù)于是對任意成立等價于對任意成立由得當(dāng)時，此時在上單調(diào)遞增故，符合題意當(dāng)時，當(dāng)變化時的變化情況如下表：單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在上，依題意，又綜合，得，實數(shù)的取值范圍是（）， 由此得，故6解析1：函數(shù)在區(qū)間-1，1上有零點，即方程=0在-1，1上有解， a=0時，不符合題意，所以a0,方程f(x)=0在-1，1上有解或或或或a1.所以實數(shù)a的取值范圍是或a1.解析2：a=0時，不符合題意，所以a0,又=0在-1，1上有解，在-1，1上有解在-1，1上有解，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)-1，1上的值域；設(shè)t=3-2x，x-1，1，則，t1,5,，設(shè)，時，此函數(shù)g(t

9、)單調(diào)遞減，時，0,此函數(shù)g(t)單調(diào)遞增，y的取值范圍是，=0在-1，1上有解或。7解析：（1），是方程f(x)=0的兩個根，； （2），=，有基本不等式可知（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），同，樣，（n=1,2,）， （3），而，即，同理，又。8本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力解：（）設(shè)與在公共點處的切線相同，由題意，即由得：，或（舍去）即有令，則于是當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為（）設(shè)，則故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是故當(dāng)時，有，即當(dāng)時，9本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和基本的運

10、算技能，考查分析問題能力和推理能力解法1：（）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）當(dāng)時，原不等式成立；當(dāng)時，左邊，右邊，因為，所以左邊右邊，原不等式成立；（）假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即，則當(dāng)時，于是在不等式兩邊同乘以得，所以即當(dāng)時，不等式也成立綜合（）（）知，對一切正整數(shù)，不等式都成立（）證：當(dāng)時，由（）得，于是，（）解：由（）知，當(dāng)時，即即當(dāng)時，不存在滿足該等式的正整數(shù)故只需要討論的情形：當(dāng)時，等式不成立；當(dāng)時，等式成立；當(dāng)時，等式成立；當(dāng)時，為偶數(shù)，而為奇數(shù)，故，等式不成立；當(dāng)時，同的情形可分析出，等式不成立綜上，所求的只有解法2：（）證：當(dāng)或時，原不等式中等號顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)，且時，

11、（）當(dāng)時，左邊，右邊，因為，所以，即左邊右邊，不等式成立；（）假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即，則當(dāng)時，因為，所以又因為，所以于是在不等式兩邊同乘以得，所以即當(dāng)時，不等式也成立綜上所述，所證不等式成立（）證：當(dāng)，時，而由（），（）解：假設(shè)存在正整數(shù)使等式成立，即有又由（）可得，與式矛盾故當(dāng)時，不存在滿足該等式的正整數(shù)下同解法110解：由條件知，設(shè)，解法一：（I）設(shè)，則則，由得即于是的中點坐標(biāo)為當(dāng)不與軸垂直時，即又因為兩點在雙曲線上，所以，兩式相減得，即將代入上式，化簡得當(dāng)與軸垂直時，求得，也滿足上述方程所以點的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點，使為常數(shù)當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方

12、程的兩個實根，所以，于是因為是與無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時=當(dāng)與軸垂直時，點的坐標(biāo)可分別設(shè)為，此時故在軸上存在定點，使為常數(shù)解法二：（I）同解法一的（I）有當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根，所以 由得當(dāng)時，由得，將其代入有整理得當(dāng)時，點的坐標(biāo)為，滿足上述方程當(dāng)與軸垂直時，求得，也滿足上述方程故點的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點點，使為常數(shù)，當(dāng)不與軸垂直時，由（I）有，以上同解法一的（II）11解：（I）當(dāng)時，由已知得因為，所以 于是 由得 于是 由得， 所以，即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列（II）由有，所以由有，所以，而 表明：數(shù)列和分別是以，為首項，6為公差的等差數(shù)列，所以

13、，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列且對任意的成立且即所求的取值集合是（III）解法一：弦的斜率為任取，設(shè)函數(shù)，則記，則，當(dāng)時，在上為增函數(shù)，當(dāng)時，在上為減函數(shù)，所以時，從而，所以在和上都是增函數(shù)由（II）知，時，數(shù)列單調(diào)遞增，取，因為，所以取，因為，所以所以，即弦的斜率隨單調(diào)遞增解法二：設(shè)函數(shù)，同解法一得，在和上都是增函數(shù)，所以，故，即弦的斜率隨單調(diào)遞增12本小題主要考查等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識，考查運用方程、分類討論等思想方法進行分析、探索及論證問題的能力滿分16分解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題設(shè)得，且由得，所以，故等式成立（2）（）證明為整數(shù)：由得，即，移項得因，得，故為整數(shù)（）證明數(shù)列中的每一項都是數(shù)列中的項：設(shè)是數(shù)列中的任一項，只要討論的情形令，即，得因，當(dāng)時，為或，則為或；而，否則，矛盾當(dāng)時，為正整數(shù)，所以為正整數(shù)，從而故數(shù)列中的每一項都是數(shù)列中的項（3）取，所以，成等差數(shù)列13本小題主要考查函數(shù)、方程、不等式的基本知識，考查綜合運用分類討論、等價轉(zhuǎn)化等思想方法分析問題及推理論證的能力滿分16分解：（1）設(shè)為方程的一個根，即，則由題設(shè)得于是，即所以，（2）由題意及（1）知，由得是不全為零的實數(shù)，且，則方程就是方程就是（）當(dāng)時，方程、的根都為，符合題意（）當(dāng)，