第1學(xué)期模擬試卷2解析1_h

1、第 1 學(xué)期模擬試卷 2 答案一、填空題（每小題 3 分 ，共計(jì) 15 分）e, x 1= 11, 1 1, xe2.數(shù)列(-1)n 1 ,) 的上確界supx =xn =(n =1, 2, 2 nn下確界infxn= -1.13. 函數(shù)f (x) = 2 x -1x 0 中是跳躍間斷點(diǎn).12 x +1x1已知f ( x )- 2，則lim=.4.0f (x - 2x) - f (x) 4x000p 3 11+ x211f (x) =+f (x)dx, 則 f (x)dx =35.設(shè) x.00二、單項(xiàng)選擇題（每小題 3 分，共計(jì) 15 分）2.3. 4. 5.1. 三、計(jì)算或證明題（每小題 9

2、 分，共計(jì) 54 分） 1 1-.1，求極限：limln(1+ x) x0 ln(x+1+ x2 ) 1- 1ln(1+ x) - ln(x + 1+ x2 )解：lim lim ln(1+ x)x0 ln(x+1+ x2 )x0ln(x + 1+ x2 )ln(1+ x)第 1 頁，共 6 頁 1 - 1 1+ x1+ xx + 1+ x21+ x2limx0 1 x 1 1+ln(1+ x) + ln(x + 1+ x )21+ xx + 1+ x21+ x211-1+ x1+ x2= lim111+ xx0ln(1+ x) + ln(x + 1+ x2 )1+ x21+ x2 -(1+

3、x)= limx0 (1+ x)ln(1+ x) + 1+ x2 ln(x + 1+ x2 )x-1= - 1.21+ x2 x= limx0ln(1+ x) +1+ln(x +1+ x2 ) +11+ x2x0xn2. 設(shè) x = 1, x = 1+, x= 1+,.證明lim x 存在，n+1011+ x1+ xnn0n并求之. 證： 先證xn 單調(diào)增加.顯然x1 x0，設(shè)n = k時(shí)成立，即xk xk -1， xkxk -1當(dāng)n = k +1時(shí)，x- x =(1+) -（1+)k +1k1+ x1+ xk -1k= xk (1+ xk -1 ) - xk -1 (1+ xk ) =- x

4、k -1xk 0, 所以x 單調(diào)增加；(1+ x )(1+ x)(1+ x )(1+ xn)k -1xn-1k -1kk= 1+ 2, 所以由單調(diào)增加有界數(shù)列必有極限得x 收斂.顯然 xn1+ xnn-1lim x= lim(1+ nxn令lim x = a,則lim x) = 1+n0n+1n1+ xn1+ limxnn0n0n0n05 舍去)., 得a = 1+5 (a = 1-aa = 1+即1+ a223. 由方程arctan y = ln(x2 + y2 )確定了函數(shù)y = y(x), 求dy. x解: 兩邊對x求微分得: 第 2 頁，共 6 頁1y1d () = d (x + y2

5、2)y2xx2+ y21+ x2x2y x2111(-dx +dy) =x d (x2+ y2)x2 +y2+ y2 2+ y2x21x2x2y1(-x2 +y2x2dx +dy) =x(xdx + ydy)+ y2x2- ydx + xdy = xdx + ydydy = x + y dx.x - ysin 2x 2 1 4. 設(shè) 2xf (x)dx = x + C, 求dx.f (x)cos2 x .解:因?yàn)?xf (x) = 1+ cos 2x = 1+ 2 cos2x -1, 所以f (x) =x 1 dx = xdx =x sec2 xdx =xd tan x2f (x)cos x=

6、 x tan x - tan xdx = x tan x - sin xdx = x tan x + ln cos x + C.cos x5. 設(shè)x 0,常數(shù)a e，證明：（a + x）aaa+ x .a證：設(shè)f (x) = a ln(a + x) - (a + x) ln a， f (x) =而f (0) = 0，故f (x) 0.所以a ln(a + x) - (a + x) ln a 0， a ln(a + x) (a + x) ln a， ln(a + x)a ln aa+x， - ln a 0, 即f (x)單調(diào)增加.a + x 0)上是一致連續(xù)的，但在(0,1)上非一致連續(xù).x證:

7、 設(shè)0 c x, x0 0,要使 第 3 頁，共 6 頁sin 1 -sin1x02 cos( 1 +) sin( 1 -)11=x2x2x02x2x0= 2 cos( x + x0 ) sin( x - x0 )x - x0 e, 2c22xx2xx2xx000 0, 存在d = c2e 0,當(dāng) x - x 0 d時(shí),1x0有sin 1 - sin 0)上是一致連續(xù)的.xx11x =p , x =p ,n為正整數(shù),nn2np +2np -21xn2= 1- (-1)= 2sinxn= p 0,(n )x - x p 24nn4n2p 2 -所以對小于2的任意e 0,不能找到一致連續(xù)定義中的d

8、 , 使得當(dāng) xn - xn d時(shí),1xn esinxn四、應(yīng)用題（每小題 8 分，共計(jì) 16 分）1.假設(shè)某種商品的需求量Q是單價(jià) p(單位:元)的函數(shù):Q = 12000 - 80 p ;商品的總成本為C 是需求量Q的函數(shù): C = 25000 +50Q ;每單位商品需要納稅 2 元,試求使銷售利潤最大時(shí)商品單價(jià)和最大利潤額. 解:設(shè)利潤函數(shù)為L(p),則 L(p)=(12000 - 80 p) p - (25000 + 50(12000 - 80 p) - 2(12000 - 80 p)由L(x) = 12000 -160 p + 4000 +160 = 0, 得唯一駐點(diǎn)p = 101,所以由問題的實(shí)際意義,當(dāng)p = 101時(shí), 利潤最大, 最大利潤為L(101)=167080. 第 4 頁，共 6 頁x - x02.求位于曲線y = ex下方，該曲線過原點(diǎn)的切