高等數(shù)學(xué)-09章重積分

1、高等數(shù)學(xué)-09章重積分 高等數(shù)學(xué)教案 9 重積分 第九章 重積分 教學(xué)目的： 1. 理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分的中值定理。 2. 掌握二重積分的（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）計(jì)算方法。 3. 掌握計(jì)算三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算方法。 8、會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等）。 教學(xué)重點(diǎn)： 1、 二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）； 2、 三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算。 3、二、三重積分的幾何應(yīng)用及物理應(yīng)用。 教學(xué)難點(diǎn)： 1、 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分； 2、 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分； 3、 物

2、理應(yīng)用中的引力問題。 9? 1 二重積分的概念與性質(zhì) 一、二重積分的概念 1? 曲頂柱體的體積 設(shè)有一立體? 它的底是xoy面上的閉區(qū)域d? 它的側(cè)面是以d的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面? 它的頂是曲面z?f(x? y)? 這里f(x? y)?0且在d上連續(xù)? 這種立體叫做曲頂柱體? 現(xiàn)在我們來討論如何計(jì)算曲頂柱體的體積? 首先? 用一組曲線把d分成n個(gè)小區(qū)域 ? 1? ? 2? ? ? ? ? ? n ? 分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線? 作母線平行于z軸的柱面? 這些柱面把原來的曲頂柱體分為n個(gè)細(xì)曲頂柱體? 在每個(gè)? i中任取一點(diǎn)(? i ? ? i)? 以f (? i ? ?

3、 i)為 高而底為? i的平頂柱體的體積為 f (? i ? ? i) ?i (i?1? 2? ? ? ? ? n )? 這個(gè)平頂柱體體積之和 n v?f(?i,?i)?i? i?1高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 9 重積分 可以認(rèn)為是整個(gè)曲頂柱體體積的近似值? 為求得曲頂柱體體積的精確值? 將分割加密? 只需取極限? 即 n v?lim?f(?i,?i)?i? ?0i?1其中?是個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值? 2? 平面薄片的質(zhì)量? 設(shè)有一平面薄片占有xoy面上的閉區(qū)域d? 它在點(diǎn)(x? y)處的面密度為?(x? y)? 這里?(x? y)?0且在d上連續(xù)? 現(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量m? 用一組

4、曲線把d分成n個(gè)小區(qū)域 ? 1? ? 2? ? ? ? ? ? n ? 把各小塊的質(zhì)量近似地看作均勻薄片的質(zhì)量? ?(? i ? ? i)? i ? 各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值? n m?(?i,?i)?i? i?1 將分割加細(xì)? 取極限? 得到平面薄片的質(zhì)量 n m?lim?(?i,?i)?i? ?0i?1其中?是個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值? 定義 設(shè)f(x? y)是有界閉區(qū)域d上的有界函數(shù)? 將閉區(qū)域d任意分成n個(gè)小閉區(qū)域 ? 1? ? 2? ? ? ? ? ? n ? 其中? i表示第i個(gè)小區(qū)域? 也表示它的面積? 在每個(gè)? i上任取一點(diǎn)(? i? ?i)? 作和 n ?f(

5、?i,?i)?i? i?1如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值?趨于零時(shí)? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域d上的二重積分? 記作?f(x,y)d? 即 d高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 9 重積分 ?df(x,y)d?lim?0i?1?f(?i,?i)?i? nf(x? y)被積函數(shù)? f(x? y)d?被積表達(dá)式? d?面積元素? x? y積分變量? d積分區(qū)域? 積分和? 直角坐標(biāo)系中的面積元素? 如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線來劃分d? 那么除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外? 其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域? 設(shè)矩形閉區(qū)域?i的邊長(zhǎng)為?xi和?yi? 則?i

6、?xi?yi? 因此在直角坐標(biāo)系中? 有時(shí)也把面積元素d? 記作dxdy? 而把二重積分記作 ?df(x,y)dxdy 其中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素? 二重積分的存在性? 當(dāng)f(x? y)在閉區(qū)域d上連續(xù)時(shí)? 積分和的極限是存在的? 也就是說函數(shù)f(x? y)在d上的二重積分必定存在? 我們總假定函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域d上連續(xù)? 所以f(x? y)在d上的二重積分都是存在的? 二重積分的幾何意義? 如果f(x? y)?0? 被積函數(shù)f(x? y)可解釋為曲頂柱體的在點(diǎn)(x? y)處的豎坐標(biāo)? 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積? 如果f(x? y)是負(fù)的? 柱體就在xoy 面的

7、下方? 二重積分的絕對(duì)值仍等于柱體的體積? 但二重積分的值是負(fù)的? 二? 二重積分的性質(zhì) 性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù)? 則 ?c1f(x,y)?c2g(x,y)d?d?c1?f(x,y)d?c2?g(x,y)d? dd 性質(zhì)2如果閉區(qū)域d被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域? 則在d上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和? 例如d分為兩個(gè)閉區(qū)域d1與d2? 則 ?df(x,y)d?f(x,y)d?f(x,y)d? d1d2 性質(zhì)3 ?1?d?d?dd(?為d的面積)? 性質(zhì)4 如果在d上? f(x? y)?g(x? y)? 則有不等式 ?df(x,y)d?g(x,y)d? d 特殊地有 高

8、等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 9 重積分 |?f(x,y)d?|?|f(x,y)|d? dd 性質(zhì)5 設(shè)m、m分別是f(x? y)在閉區(qū)域d上的最大值和最小值? ?為d的面積? 則有 m?f(x,y)d?m? d 性質(zhì)6(二重積分的中值定理) 設(shè)函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域d上連續(xù)? ? 為d的面積? 則在d上至少存在一點(diǎn)(? ?)使得 9? 2 二重積分的計(jì)算法 一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 x?型區(qū)域? d ? ?1(x)?y?2(x)? a?x?b ? y ?型區(qū)域? d ? ?1(x)?y?2(x)? c?y?d ? 混合型區(qū)域? 設(shè)f(x? y)?0? d?(x? y)| ?1(x)

9、?y?2(x)? a?x?b? 此時(shí)二重積分?f(x,y)d?在幾何上表示以曲面z?f(x? y)為頂? 以區(qū)域d為底的曲頂 d?df(x,y)d?f(?,?)? 柱體的體積? 對(duì)于x0?a? b? 曲頂柱體在x?x0的截面面積為以區(qū)間?1(x0)? ?2(x0)為底、以曲線z?f(x0? y)為曲邊的曲邊梯形? 所以這截面的面積為 a(x0)?2(x0)?1(x0)f(x0,y)dy? 根據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的方法? 得曲頂柱體體積為 v?a(x)dx?aabbb?2(x)?1(x)?2(x)f(x,y)dydx? f(x,y)dydx? 即 v?f(x,y)d?da?1(x)可記

10、為 高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 9 重積分 ?df(x,y)d?dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy? 類似地? 如果區(qū)域d為y ?型區(qū)域? d ? ?1(x)?y?2(x)? c?y?d ? 則有 ?df(x,y)d?dy?cd?2(y)?1(y)f(x,y)dx? 例1? 計(jì)算?xyd? 其中d是由直線y?1、x?2及y?x所圍成的閉區(qū)域? d 解? 畫出區(qū)域d? 方法一? 可把d看成是x?型區(qū)域? 1?x?2? 1?y?x ? 于是 ?xyd?d21?xydydx?12x21y2x1x4x229123?1? x?1dx?(x?x)dx?12224282x注? 積分還可以寫成?xyd?dx?xydy?xdx?ydy? d1111x 解法2? 也可把d看成是y?型區(qū)域? 1?y?2? y?x?2 ? 于是 ?xyd?d21?xydxdy?y2212y3y429x222y?ydy?(2y?)dy?y?1? 12288 例2? 計(jì)算?y1?x2?y2d? 其中d是由直線y?1、x?1及y?x所圍成的閉