向量及向量的基本運(yùn)算.doc

1、l 向量及向量的基本運(yùn)算一、教學(xué)目標(biāo)：1理解向量的有關(guān)概念，掌握向量的加法與減法、實(shí)數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積及其運(yùn)算法則，理解向量共線的充要條件. 2會(huì)用向量的代數(shù)運(yùn)算法則、三角形法則、平行四邊形法則解決有關(guān)問(wèn)題不斷培養(yǎng)并深化用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題的自覺(jué)意識(shí).二、教學(xué)重點(diǎn)：向量的概念和向量的加法和減法法則三、教學(xué)過(guò)程：（一）主要知識(shí)：1）向量的有關(guān)概念向量：既有大小又有方向的量。向量一般用來(lái)表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫(xiě)字母表示，如：。向量的大小即向量的模（長(zhǎng)度），記作|。零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行。單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量。平行向量（共線向

2、量）：方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上。相反向量：我們把與向量長(zhǎng)度相等，方向相反的向量叫做的相反向量。記作-。相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量。相等向量經(jīng)過(guò)平移后總可以重合，記為。2）向量加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。設(shè)，則+=。向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”。 說(shuō)明：（1）； （2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；3)向量的減法 相反向量：與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。記作,零向量的相反向量仍是零向量。關(guān)于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=。向量減法：向量加上的相反

3、向量叫做與的差，記作：。求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。的作圖法：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量（、有共同起點(diǎn)）。注：（1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線，而差向量是另一條對(duì)角線，方向是從減向量指向被減向量。 （2） 三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。4)實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（）；（）當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，方向是任意的。數(shù)乘向量滿足交

4、換律、結(jié)合律與分配律。實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：設(shè)、為實(shí)數(shù)，則 ()=() (+) =+ (+)=+5)兩個(gè)向量共線定理向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=。6)平面向量的基本定理如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。7)特別注意:（1）向量的加法與減法是互逆運(yùn)算。（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件。（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況。（4）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線條的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只與其

5、相對(duì)位置有關(guān)。（二）主要方法：1充分理解向量的概念和向量的表示； 2數(shù)形結(jié)合的方法的應(yīng)用；3用基底向量表示任一向量唯一性；4向量的特例和單位向量，要考慮周全 （三）例題分析：例1、判斷下列各命題是否正確(1)零向量沒(méi)有方向 (2)若(3)單位向量都相等 (4) 向量就是有向線段(5)兩相等向量若共起點(diǎn),則終點(diǎn)也相同 (6)若，則；(7)若，則 (8)若四邊形ABCD是平行四邊形,則(9)已知A（3，7），B（5，2），將按向量=（1，2）平移后得到的向量的坐標(biāo)為（3，3）(10）的充要條件是且；解：(1) 不正確，零向量方向任意, (2) 不正確，說(shuō)明模相等,還有方向 (3) 不正確，單位向量

6、的模為1,方向很多 (4) 不正確，有向線段是向量的一種表示形式 (5)正確， （6）正確，向量相等有傳遞性 （7）不正確，因若，則不共線的向量也有，。(8) 不正確, 如圖 （9）不正確，=（1，2），平移公式是，將A（3，7），B（5，2）分別代入可求得，故=（6,4）（4,9）=（2,5）。（10）不正確，當(dāng)，且方向相反時(shí)，即使，也不能得到； 點(diǎn)評(píng)正確理解向量的有關(guān)概念例2、如圖平行四邊形ABCD的對(duì)角線OD,AB相交于點(diǎn)C，線段BC上有一點(diǎn)M滿足BC=3BM,線段CD上有一點(diǎn)N滿足CD3CN,設(shè)解： . 點(diǎn)評(píng)根據(jù)向量的幾何加減法則,能對(duì)圖形中的向量進(jìn)行互相表示練習(xí): ABC中,用.如圖

7、解：例3、一條漁船距對(duì)岸4km，以2km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向劃去，到達(dá)對(duì)岸時(shí)，船的實(shí)際航程為8km ，求河水的流速解：設(shè)表示垂直于對(duì)岸的速度,表示水流速度,則為實(shí)際速度航行時(shí)間為4km2km/h=2h在ABC中所以, 河水的流速為 點(diǎn)評(píng)求合力或分力,合速或分速問(wèn)題用向量解是一種常見(jiàn)問(wèn)題,要善于運(yùn)用平行四邊形和三角形法則例4、在ABC中，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，用向量的方法證明：DE平行且等于0.5BC分析:要證明DE平行且等于0.5BC,只要解：如圖又D,E為中點(diǎn)即所以DE平行且等于0.5BC點(diǎn)評(píng)幾何問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題的證明,往往會(huì)變的簡(jiǎn)單明了練習(xí): 已知G是ABC的重心，求證：證明：以向量為鄰邊作平行四邊形GBEC，則，又由G為ABC的重心知，從而，。例5、設(shè)是不共線的向量,已知向量,若A,B,D三點(diǎn)共線,求k的值分析:使解：, 使得點(diǎn)評(píng)共線或平行問(wèn)題,用向量或坐標(biāo)平行的充要條件解決例3 經(jīng)過(guò)重心的直線與分別交于點(diǎn)，A設(shè)，求的值。解：設(shè)，則，由共線，得存在實(shí)數(shù)，使得，即從而，消去得：（四）鞏固練習(xí)：1已知梯形中，分別是、的中點(diǎn)，若，用，表示、解：（1）（2）（3）2 （1）設(shè)兩個(gè)非零向量、不共線，如果, 求證：三點(diǎn)共線.（2）設(shè)、是兩個(gè)不共線的向量，已知,若三點(diǎn)共線，求的值.（1）證明：因?yàn)?/p>