極坐標系方程.ppt

1、4.1.1 直角坐標系,數(shù) 軸,空間直角坐標系,平面直角坐標系,R,（x,y),（x,y，z),建系是為了定點的位置，因此，在所建的坐標系中，應滿足： （1）任意一點都有確定的坐標與它對應； （2）依據(jù)一個點的坐標就能確定該點的位置。,從這向南 5000米。,請問：去萬里 怎么走？,請分析上面這句話，他告訴了問路人什么？,從這向南走5000米！,出發(fā)點,方向,距離,在生活中人們經常用方向和距離來表示一點的位置。這種用方向和距離表示平面上一點的位置的思想，就是極坐標的基本思想。,一、極坐標系的建立：,在平面內取一個定點O，叫做極點。,引一條射線OX，叫做極軸。,再選定一個長度單位和角度單位及它的

2、正方向（通常取逆時針方向）。,這樣就建立了一個極坐標系。,O,二、極坐標系內一點的極坐標的規(guī)定,對于平面上任意一點M，用 表示線段OM的長度，用 表示從OX到OM 的角度， 叫做點M的極徑， 叫做點M的極角，有序數(shù)對（，）就叫做M的極坐標。,特別強調：表示線段OM的長度，即點M到極點O的距離；表示從OX到OM的角度，即以OX（極軸）為始邊，OM 為終邊的角。,平面上一點的極坐標是否唯一？ 若不唯一，那有多少種表示方法？ 坐標不唯一是由誰引起的？ 不同的極坐標是否可以寫出統(tǒng)一表達式？,特別規(guī)定： 當M在極點時，它的極坐標=0，可以取任意值。,想一想？,三、點的極坐標的表達式的研究,如圖：OM的長

3、度為4，,請說出點M的極坐標的其他表達式。,思：這些極坐標之間有何異同？,思考：這些極角有何關系？,這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說它們是終邊相同的角。,本題點M的極坐標統(tǒng)一表達式：,極徑相同，不同的是極角,四、1、負極徑的定義,說明：一般情況下，極徑都是正值；在某些必要情況下，極徑也可以取負值。,對于點M（，）負極徑時的規(guī)定：,1作射線OP，使XOP= ,2在OP的反向延長 線上取一點M，使OM= ,四、2、負極徑的實例,在極坐標系中畫出點 M（3，/4）的位置,1作射線OP，使XOP= /4,2在OP的反向延長線上取一點M，使OM= 3,四、3、負極徑的實質,從比較來看，負極徑比正

4、極徑多了一個操作，將射線OP“反向延長”。,而反向延長也可以看成是旋轉 ，因此，所謂“負極徑”實質是管方向的。這與數(shù)學中通常的習慣一致，用“負”表示“反向 ”。,六、極坐標系下點與它的極坐標的對應情況,1給定（,）,就可以在極坐標平面內確定唯一的一點M。,2給定平面上一點M，但卻有無數(shù)個極坐標與之對應。,原因在于：極角有無數(shù)個。,一般地,若(,)是一點的極坐標,則(,+2k)、,+(2k+1)都可以作為它的極坐標.,如果限定0,02或 ,那么除極點外,平面內的點和極坐標就可以一一對應了.,曲線的極坐標方程,一、定義：如果曲線上的點與方程f(,)=0有如下關系 ()曲線上任一點的坐標(所有坐標中

5、至少有一個)符合方程f(,)=0 ； ()方程f(,)=0的所有解為坐標的點都在曲線上。 則曲線的方程是f(,)=0 。,探 究,如圖，半徑為a的圓的圓心坐標為(a,0)(a0)，你能用一個等式表示圓上任意一點的極坐標(,)滿足的條件？,x,C(a,0),O,題組練習1,求下列圓的極坐標方程 ()中心在極點，半徑為2； ()中心在(a,0)，半徑為a； ()中心在(a,/2)，半徑為a； ()中心在(0,)，半徑為r。,2,2acos ,2asin ,2+ 0 2 -2 0 cos( - )= r2,極坐標方程分別是cos和sin的兩個圓的圓心距是多少,練習2,練習3,以極坐標系中的點(1,1

6、)為圓心，1為半徑的圓的方程是,C,練習4,曲線 關于極軸對 稱的曲線是：,C,例題1：求過極點，傾角為 的射線的極坐標方程。,分析：,如圖，所求的射線上任一點的極角都是 ，其,極徑可以取任意的非負數(shù)。故所求,直線的極坐標方程為,新課講授,1、求過極點，傾角為 的射線的極坐標方程。,易得,思考：,2、求過極點，傾角為 的直線的極坐標方程。,和前面的直角坐標系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？,為了彌補這個不足， 取全體實數(shù)。則上面的直線的極坐標方程可以表示為,或,例題2求過點A(a,0)(a0)，且垂直于極軸的直線L的極坐標方程。,解：如圖，設點,為直線L上除點A外的任意一點，連接OM,在 中有,即,可以驗證，點A的坐標也滿足上式。,求直線的極坐標方程步驟,1、據(jù)題意畫出草圖；,2、設點 是直線上任意一點；,3、連接MO；,4、根據(jù)幾何條件建立關于 的方程， 并化簡；,5、檢驗并確認所得的方程即為所求。,練習：設點P的極坐標為A ，直線 過點P且與極軸所成的角為 ,求直線 的極坐標方程。,解：如圖，設點,為直線 上異于的點,連接OM，,在 中有,即,顯然A點也滿足上方程。,例題3設點P的極坐標為 ，直線 過點P且與