數字信號處理 實驗一 FFT變換及其應用

1、.實驗一 FFT變換及其應用一、 實驗目的和要求1. 在理論課學習的基礎上，通過本次實驗，加深對DFT原理的理解，懂得頻域DFT與時域卷積的關系，進一步加深對DFT基本性質的理解； 2. 研究FFT算法的主要途徑和編程思路，掌握FFT算法及其程序的編寫過程，掌握最基本的時域基-2FFT算法原理及程序框圖； 3. 熟悉應用FFT實現兩個序列的線性卷積的方法，利用FFT進行卷積，通過實驗比較出快速卷積優(yōu)越性，掌握循環(huán)卷積和線性卷積兩者之間的關系； 4. 熟悉應用FFT對典型信號進行頻譜分析的方法，初步了解用周期圖法作隨機信號譜分析的方法，了解應用FFT進行信號頻譜分析過程中可能出現的問題，以便在實

2、際中正確應用FFT； 5. 掌握使用MATLAB等基本開發(fā)工具實現對FFT編程。 二、 實驗設備和分組1. 每人一臺PC機；2. Windows 2000/XP以上版本的操作環(huán)境；3. MatLab 6.5及以上版本的開發(fā)軟件。三、 實驗內容(一) 實驗準備1. 用FFT進行譜分析涉及的基礎知識如下： 信號的譜分析就是計算信號的傅里葉變換。若信號是模擬信號，用FFT進行譜分析時，首先必須對信號進行采樣，使之變成離散信號，然后用FFT來對連續(xù)信號進行譜分析。 若信號本身是有限長的序列，計算序列的頻譜就是直接對序列進行FFT運算求得X（k）,X(k)就代表了序列在0,2之間的頻譜值。 幅度譜： 相

3、位譜： 為避免產生混疊現象，采樣頻率fs應大于2倍信號的最高頻率fc，為了滿足采樣定理，一般在采樣之前要設置一個抗混疊低通濾波器。用FFT對模擬信號進行譜分析的方框圖如下所示。 圖1.1 FFT對模擬信號進行譜分析的方框圖2. 應用FFT實現快速卷積涉及的基礎知識如下：一個信號序列x(n)與系統(tǒng)的卷積可表示為下式： Y(n)=x(n)*h(n)=當是一個有限長序列，且0nN-1時，有： Y(n)=此時就可以應用FFT來快速計算有限長度序列的線性卷積。 也就是先將輸入信號x（n）通過FFT變換為它的頻譜采樣值X(k)，然后再和濾波器的頻響采樣值H(k)相乘，最后再將乘積通過快速傅里葉變換（簡稱I

4、FFT）還原為時域序列，即得到輸出。如下圖所示。 圖1.2 FFT實現卷積的過程示意圖 2.1當序列x(n)和h(n)的長度差不多時 設x(n)的長度為N1，h(n)的長度為N2，則用FFT完成卷積的具體步驟如下： 為使兩有限長序列的線性卷積可用其循環(huán)卷積代替而不發(fā)生混疊，必須選擇循環(huán)卷積長度NN1+N2-1 用補零方法使x(n)和h(n)變成列長為N的序列。 用FFT計算x(n)和h(n)的N點離散傅里葉變換 完成X(k)和H(k)的乘積Y(k)。用FFT計算的離散傅里葉反變換得 y(n)2.2 當x(n)長度很長時可采用分段卷積的方法即重疊相加法和重疊保留法。(二) 實驗項目（1）用FFT

5、進行頻譜分析1) 對高斯序列進行頻譜分析代碼如下：n=0:15; p=8; q=2; x =exp(-1*(n-p).2/q); close all; subplot(3,1,1); stem(fft(x) ; %利用 fft 函數實現傅里葉變換 subplot(3,1,2); stem(abs(fft(x); %繪制幅度譜 subplot(3,1,3); stem(angle(fft(x) %繪制相位譜 代碼是為了得出此高斯序列的快速傅里葉變換，得到DFT的頻譜特征圖、幅頻特征圖和相頻特征圖。a) 固定信號參數P=8，改變q的值依次為2、4、8，結果如下圖：P=8，q=2圖2-1P=8，q=

6、4圖2-2P=8，q=8圖2-3結果分析：從圖中可以看出，當固定p的值，改變q，可觀察到：隨著q的增加，幅頻圖中趨近與0和等于0的個數增多。可見q的增大使DFT幅頻圖中幅度平均值減小，且p是序列的對稱軸，時域軸都關于n=8對稱。當q=2、4、8時，頻域變化越來越快，中間水平部分越來越大，混疊減弱。b) 固定信號參數q=8，改變p的值依次為8、13、14，結果如下圖：q=8，P=8 圖2-4q=8，p=13圖2-5p=14，q=8圖2-6結果分析：當固定q的值，改變p，可觀察到：隨著p的增大，圖形越來越偏離真實值，當p=14時泄漏現象較明顯，頻域波形隨p的增大頻率分量會增多，易產生混疊。2) 對

7、正弦序列進行頻譜分析代碼如下：n=0:15; %定義序列長度 a=0.1; f=0.0625; x=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n); close all; subplot(2,1,1); stem(x); title(衰減正弦序列); subplot(2,1,2); stem(abs(fft(x); %繪制幅度譜 title(x 信號的頻譜) a) 固定參數a=0.1，改變f，分別為0.5625、0.4375、0.0625，結果如下圖：f=0.5625圖2-7f=0.4375圖2-8f=0.0625圖2-9結果分析：觀察可知，當f=0.4375，0.5625時，時域圖像關于Y

8、軸對稱，頻域完全相同。隨著f值增大，時域序列周期變小。頻域序列的高頻分量逐漸增多，低頻分量逐漸減少，因為所取的頻率不符合采樣定理，以致發(fā)生嚴重的頻譜混疊和泄漏。3) 對三角序列進行頻譜分析代碼如下：for i=1:4 x(i)=i; end for i=5:8 x(i)=9-i; end for i=9:16 x(i)=0; end close all subplot(2,1,1);stem(x); subplot(2,1,2); stem(abs(fft(x) %繪制幅度譜其頻譜圖如下所示：圖2-10結果分析：此編程實現三角序列，中間兩個值是相等的，然后我們根據fft函數快速求出x在各個n值

9、上所對應的傅里葉變換值，得到結果如下：Y=18.4640 3.1605 -16.3681i -5.3021 - 2.2394i -0.3336 + 0.3570i 0.1333 + 0.0145i 0.7981 - 0.5599i -0.0955 - 0.4109i 0.3750 0.0802i 0.0646 0.3750 + 0.0802i -0.0955 + 0.4109i 0.7981 + 0.5599i 0.1333 - 0.0145i -0.3336 - 0.3570i -5.3021 + 2.2394i 3.1605 +16.3681i 然后分別求出各點處的大?。▽嵅康钠椒郊犹摬康?/p>

10、平方開根號），得出來的大小和圖像近似相等。此三角序列的時域表達式為：當1n4時x(n)=n；當5n8時 x(n)=9-n。a) 反三角序列：代碼如下：For i=1:4 x(i)=5-i；endFor i=5:8 x(i)=i-4；endclose allsubplot(2,1,1);stem(x);subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x,16)圖2-11b) 半三角序列（直角三角形序列）：代碼1如下：for i=1 :8 x(i)=i-1；end close allsubplot(2,1,1);stem(x); subplot(2,1,2); stem(abs(fft(x

11、)圖2-2代碼2如下：for i=1 :8 x(i)=8-i；end close allsubplot(2,1,1);stem(x); subplot(2,1,2); stem(abs(fft(x)圖2-13c) 只有一個峰值：代碼如下：for i=1:4 x(i)=i;endfor i=5:8 x(i)=8-i;endclose allsubplot(2,1,1);stem(x);subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x,16)圖2-14（2）使用FFT實現卷積運算已知：x1(n)=RN(n), 1N10; x2(n)=8sin(0.5*pi*n+4) 1N10;x3（n）

12、=0.8*exp（3*n）1N10;使用FFT實現以上3種卷積。代碼如下：n=1:1:10;N1=length(n);xn1=ones(1,N1);xn2=8*sin(0.5*pi*n+4);xn3=0.8*exp(3*n);N=N1+N1-1;X1k=fft(xn1,N);X2k=fft(xn2,N);X3k=fft(xn3,N);Yk1=X1k.*X2k;Yk2=X1k.*X3k;Yk3=X2k.*X3k;yn1=ifft(Yk1,N);yn2=ifft(Yk2,N);yn3=ifft(Yk3,N);x=0:N-1;subplot(3,1,1);stem(x,yn1,.)subplot(3

13、,1,2);stem(x,yn2,.)subplot(3,1,3);stem(x,yn3,.)用FFT計算卷積，實驗結果如下圖：圖2-15結果分析：X1n=1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; x2n=8 0 -8 0 8 0 -8 0 8 0;X1n*x2n=0 8 8 0 0 8 8 0 0 8 0 0 8 8 0 0 8 8 0，其IFFT變換為8*（exp（j*2*w）+exp（j*3*w）+exp（j*6*w）+exp（j*7*w）+exp（j*10*w）+exp（j*13*w）+exp（j*14*w）+exp（j*17*w）+exp（j*18*w）=8*(1+exp(j*w)*(

14、exp(j*2*w)+exp(j*6*w)+exp(j*13*w)+exp(j*17*w)+8*exp(j*10*w)，Matlab運行的結果與手工計算的結果完全一致，由此可知此代碼是正確的。（3）一個綜合性實例1) 創(chuàng)建簡易界面使用MATLAB中的圖形用戶接口功能，設計簡單的操作界面，如圖1.6所示。 界面中包含列表框，滑動塊，按鈕和靜態(tài)文本。其中列表中，包含正弦波、方波和鋸齒波；移動滑動塊可以改變圖形的周期，且周期數在靜態(tài)文本中顯示；點擊“退出”按鈕則退出程序。界面如下圖：圖2-16a) 當列表框中選擇正弦波，周期數為4時，產生的時域波形和頻譜圖如下：圖2-17b) 當列表框中選擇方波，周期數為4時，產生的時域波形和頻譜圖如下：圖2-18c) 當列表框中選擇三角波，周期數為4時，產生的時域波形和頻譜圖如下：圖2-19d) 當列表框中選擇鋸齒波，周期數為4時，產生的時域波形和頻譜圖如下：圖2-20四、 實驗小結本次實驗按照實驗指導書，基本是按照原有的代碼和步驟基礎上來做的，實驗中也遇到了一系列的問題：一，前后參數不一致，即在改變參數的時候，由于粗心使得前后參數形式不一致，而導致運行出錯；二，在matlab中新建文件，若以中文命名，然后保存后運行，則系統(tǒng)會因為識別不了所命名的中文而導致運行會出錯；三，只會用data cursor來將坐標點貼標簽，仍然不會用編