數(shù)字信號(hào)處理 實(shí)驗(yàn)一 FFT變換及其應(yīng)用

1、.實(shí)驗(yàn)一 FFT變換及其應(yīng)用一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮鸵?. 在理論課學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)本次實(shí)驗(yàn)，加深對(duì)DFT原理的理解，懂得頻域DFT與時(shí)域卷積的關(guān)系，進(jìn)一步加深對(duì)DFT基本性質(zhì)的理解； 2. 研究FFT算法的主要途徑和編程思路，掌握FFT算法及其程序的編寫(xiě)過(guò)程，掌握最基本的時(shí)域基-2FFT算法原理及程序框圖； 3. 熟悉應(yīng)用FFT實(shí)現(xiàn)兩個(gè)序列的線(xiàn)性卷積的方法，利用FFT進(jìn)行卷積，通過(guò)實(shí)驗(yàn)比較出快速卷積優(yōu)越性，掌握循環(huán)卷積和線(xiàn)性卷積兩者之間的關(guān)系； 4. 熟悉應(yīng)用FFT對(duì)典型信號(hào)進(jìn)行頻譜分析的方法，初步了解用周期圖法作隨機(jī)信號(hào)譜分析的方法，了解應(yīng)用FFT進(jìn)行信號(hào)頻譜分析過(guò)程中可能出現(xiàn)的問(wèn)題，以便在實(shí)

2、際中正確應(yīng)用FFT； 5. 掌握使用MATLAB等基本開(kāi)發(fā)工具實(shí)現(xiàn)對(duì)FFT編程。 二、 實(shí)驗(yàn)設(shè)備和分組1. 每人一臺(tái)PC機(jī)；2. Windows 2000/XP以上版本的操作環(huán)境；3. MatLab 6.5及以上版本的開(kāi)發(fā)軟件。三、 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容(一) 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備1. 用FFT進(jìn)行譜分析涉及的基礎(chǔ)知識(shí)如下： 信號(hào)的譜分析就是計(jì)算信號(hào)的傅里葉變換。若信號(hào)是模擬信號(hào)，用FFT進(jìn)行譜分析時(shí)，首先必須對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，使之變成離散信號(hào)，然后用FFT來(lái)對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析。 若信號(hào)本身是有限長(zhǎng)的序列，計(jì)算序列的頻譜就是直接對(duì)序列進(jìn)行FFT運(yùn)算求得X（k）,X(k)就代表了序列在0,2之間的頻譜值。 幅度譜： 相

3、位譜： 為避免產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，采樣頻率fs應(yīng)大于2倍信號(hào)的最高頻率fc，為了滿(mǎn)足采樣定理，一般在采樣之前要設(shè)置一個(gè)抗混疊低通濾波器。用FFT對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行譜分析的方框圖如下所示。 圖1.1 FFT對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行譜分析的方框圖2. 應(yīng)用FFT實(shí)現(xiàn)快速卷積涉及的基礎(chǔ)知識(shí)如下：一個(gè)信號(hào)序列x(n)與系統(tǒng)的卷積可表示為下式： Y(n)=x(n)*h(n)=當(dāng)是一個(gè)有限長(zhǎng)序列，且0nN-1時(shí)，有： Y(n)=此時(shí)就可以應(yīng)用FFT來(lái)快速計(jì)算有限長(zhǎng)度序列的線(xiàn)性卷積。 也就是先將輸入信號(hào)x（n）通過(guò)FFT變換為它的頻譜采樣值X(k)，然后再和濾波器的頻響采樣值H(k)相乘，最后再將乘積通過(guò)快速傅里葉變換（簡(jiǎn)稱(chēng)I

4、FFT）還原為時(shí)域序列，即得到輸出。如下圖所示。 圖1.2 FFT實(shí)現(xiàn)卷積的過(guò)程示意圖 2.1當(dāng)序列x(n)和h(n)的長(zhǎng)度差不多時(shí) 設(shè)x(n)的長(zhǎng)度為N1，h(n)的長(zhǎng)度為N2，則用FFT完成卷積的具體步驟如下： 為使兩有限長(zhǎng)序列的線(xiàn)性卷積可用其循環(huán)卷積代替而不發(fā)生混疊，必須選擇循環(huán)卷積長(zhǎng)度NN1+N2-1 用補(bǔ)零方法使x(n)和h(n)變成列長(zhǎng)為N的序列。 用FFT計(jì)算x(n)和h(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換 完成X(k)和H(k)的乘積Y(k)。用FFT計(jì)算的離散傅里葉反變換得 y(n)2.2 當(dāng)x(n)長(zhǎng)度很長(zhǎng)時(shí)可采用分段卷積的方法即重疊相加法和重疊保留法。(二) 實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目（1）用FFT

5、進(jìn)行頻譜分析1) 對(duì)高斯序列進(jìn)行頻譜分析代碼如下：n=0:15; p=8; q=2; x =exp(-1*(n-p).2/q); close all; subplot(3,1,1); stem(fft(x) ; %利用 fft 函數(shù)實(shí)現(xiàn)傅里葉變換 subplot(3,1,2); stem(abs(fft(x); %繪制幅度譜 subplot(3,1,3); stem(angle(fft(x) %繪制相位譜 代碼是為了得出此高斯序列的快速傅里葉變換，得到DFT的頻譜特征圖、幅頻特征圖和相頻特征圖。a) 固定信號(hào)參數(shù)P=8，改變q的值依次為2、4、8，結(jié)果如下圖：P=8，q=2圖2-1P=8，q=

6、4圖2-2P=8，q=8圖2-3結(jié)果分析：從圖中可以看出，當(dāng)固定p的值，改變q，可觀(guān)察到：隨著q的增加，幅頻圖中趨近與0和等于0的個(gè)數(shù)增多?？梢?jiàn)q的增大使DFT幅頻圖中幅度平均值減小，且p是序列的對(duì)稱(chēng)軸，時(shí)域軸都關(guān)于n=8對(duì)稱(chēng)。當(dāng)q=2、4、8時(shí)，頻域變化越來(lái)越快，中間水平部分越來(lái)越大，混疊減弱。b) 固定信號(hào)參數(shù)q=8，改變p的值依次為8、13、14，結(jié)果如下圖：q=8，P=8 圖2-4q=8，p=13圖2-5p=14，q=8圖2-6結(jié)果分析：當(dāng)固定q的值，改變p，可觀(guān)察到：隨著p的增大，圖形越來(lái)越偏離真實(shí)值，當(dāng)p=14時(shí)泄漏現(xiàn)象較明顯，頻域波形隨p的增大頻率分量會(huì)增多，易產(chǎn)生混疊。2) 對(duì)

7、正弦序列進(jìn)行頻譜分析代碼如下：n=0:15; %定義序列長(zhǎng)度 a=0.1; f=0.0625; x=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n); close all; subplot(2,1,1); stem(x); title(衰減正弦序列); subplot(2,1,2); stem(abs(fft(x); %繪制幅度譜 title(x 信號(hào)的頻譜) a) 固定參數(shù)a=0.1，改變f，分別為0.5625、0.4375、0.0625，結(jié)果如下圖：f=0.5625圖2-7f=0.4375圖2-8f=0.0625圖2-9結(jié)果分析：觀(guān)察可知，當(dāng)f=0.4375，0.5625時(shí)，時(shí)域圖像關(guān)于Y

8、軸對(duì)稱(chēng)，頻域完全相同。隨著f值增大，時(shí)域序列周期變小。頻域序列的高頻分量逐漸增多，低頻分量逐漸減少，因?yàn)樗〉念l率不符合采樣定理，以致發(fā)生嚴(yán)重的頻譜混疊和泄漏。3) 對(duì)三角序列進(jìn)行頻譜分析代碼如下：for i=1:4 x(i)=i; end for i=5:8 x(i)=9-i; end for i=9:16 x(i)=0; end close all subplot(2,1,1);stem(x); subplot(2,1,2); stem(abs(fft(x) %繪制幅度譜其頻譜圖如下所示：圖2-10結(jié)果分析：此編程實(shí)現(xiàn)三角序列，中間兩個(gè)值是相等的，然后我們根據(jù)fft函數(shù)快速求出x在各個(gè)n值

9、上所對(duì)應(yīng)的傅里葉變換值，得到結(jié)果如下：Y=18.4640 3.1605 -16.3681i -5.3021 - 2.2394i -0.3336 + 0.3570i 0.1333 + 0.0145i 0.7981 - 0.5599i -0.0955 - 0.4109i 0.3750 0.0802i 0.0646 0.3750 + 0.0802i -0.0955 + 0.4109i 0.7981 + 0.5599i 0.1333 - 0.0145i -0.3336 - 0.3570i -5.3021 + 2.2394i 3.1605 +16.3681i 然后分別求出各點(diǎn)處的大小（實(shí)部的平方加虛部的

10、平方開(kāi)根號(hào)），得出來(lái)的大小和圖像近似相等。此三角序列的時(shí)域表達(dá)式為：當(dāng)1n4時(shí)x(n)=n；當(dāng)5n8時(shí) x(n)=9-n。a) 反三角序列：代碼如下：For i=1:4 x(i)=5-i；endFor i=5:8 x(i)=i-4；endclose allsubplot(2,1,1);stem(x);subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x,16)圖2-11b) 半三角序列（直角三角形序列）：代碼1如下：for i=1 :8 x(i)=i-1；end close allsubplot(2,1,1);stem(x); subplot(2,1,2); stem(abs(fft(x

11、)圖2-2代碼2如下：for i=1 :8 x(i)=8-i；end close allsubplot(2,1,1);stem(x); subplot(2,1,2); stem(abs(fft(x)圖2-13c) 只有一個(gè)峰值：代碼如下：for i=1:4 x(i)=i;endfor i=5:8 x(i)=8-i;endclose allsubplot(2,1,1);stem(x);subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x,16)圖2-14（2）使用FFT實(shí)現(xiàn)卷積運(yùn)算已知：x1(n)=RN(n), 1N10; x2(n)=8sin(0.5*pi*n+4) 1N10;x3（n）

12、=0.8*exp（3*n）1N10;使用FFT實(shí)現(xiàn)以上3種卷積。代碼如下：n=1:1:10;N1=length(n);xn1=ones(1,N1);xn2=8*sin(0.5*pi*n+4);xn3=0.8*exp(3*n);N=N1+N1-1;X1k=fft(xn1,N);X2k=fft(xn2,N);X3k=fft(xn3,N);Yk1=X1k.*X2k;Yk2=X1k.*X3k;Yk3=X2k.*X3k;yn1=ifft(Yk1,N);yn2=ifft(Yk2,N);yn3=ifft(Yk3,N);x=0:N-1;subplot(3,1,1);stem(x,yn1,.)subplot(3

13、,1,2);stem(x,yn2,.)subplot(3,1,3);stem(x,yn3,.)用FFT計(jì)算卷積，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下圖：圖2-15結(jié)果分析：X1n=1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; x2n=8 0 -8 0 8 0 -8 0 8 0;X1n*x2n=0 8 8 0 0 8 8 0 0 8 0 0 8 8 0 0 8 8 0，其IFFT變換為8*（exp（j*2*w）+exp（j*3*w）+exp（j*6*w）+exp（j*7*w）+exp（j*10*w）+exp（j*13*w）+exp（j*14*w）+exp（j*17*w）+exp（j*18*w）=8*(1+exp(j*w)*(

14、exp(j*2*w)+exp(j*6*w)+exp(j*13*w)+exp(j*17*w)+8*exp(j*10*w)，Matlab運(yùn)行的結(jié)果與手工計(jì)算的結(jié)果完全一致，由此可知此代碼是正確的。（3）一個(gè)綜合性實(shí)例1) 創(chuàng)建簡(jiǎn)易界面使用MATLAB中的圖形用戶(hù)接口功能，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的操作界面，如圖1.6所示。 界面中包含列表框，滑動(dòng)塊，按鈕和靜態(tài)文本。其中列表中，包含正弦波、方波和鋸齒波；移動(dòng)滑動(dòng)塊可以改變圖形的周期，且周期數(shù)在靜態(tài)文本中顯示；點(diǎn)擊“退出”按鈕則退出程序。界面如下圖：圖2-16a) 當(dāng)列表框中選擇正弦波，周期數(shù)為4時(shí)，產(chǎn)生的時(shí)域波形和頻譜圖如下：圖2-17b) 當(dāng)列表框中選擇方波，周期數(shù)為4時(shí)，產(chǎn)生的時(shí)域波形和頻譜圖如下：圖2-18c) 當(dāng)列表框中選擇三角波，周期數(shù)為4時(shí)，產(chǎn)生的時(shí)域波形和頻譜圖如下：圖2-19d) 當(dāng)列表框中選擇鋸齒波，周期數(shù)為4時(shí)，產(chǎn)生的時(shí)域波形和頻譜圖如下：圖2-20四、 實(shí)驗(yàn)小結(jié)本次實(shí)驗(yàn)按照實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū)，基本是按照原有的代碼和步驟基礎(chǔ)上來(lái)做的，實(shí)驗(yàn)中也遇到了一系列的問(wèn)題：一，前后參數(shù)不一致，即在改變參數(shù)的時(shí)候，由于粗心使得前后參數(shù)形式不一致，而導(dǎo)致運(yùn)行出錯(cuò)；二，在matlab中新建文件，若以中文命名，然后保存后運(yùn)行，則系統(tǒng)會(huì)因?yàn)樽R(shí)別不了所命名的中文而導(dǎo)致運(yùn)行會(huì)出錯(cuò)；三，只會(huì)用data cursor來(lái)將坐標(biāo)點(diǎn)貼標(biāo)簽，仍然不會(huì)用編