初中常見定理證明

1、初中常見定理的證明一、三角形1、運(yùn)用你所學(xué)過的三角形全等的知識去證明定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（用圖形中的符號表達(dá)已知、求證，并證明，證明對各步驟要注明依據(jù)） 2、證明定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（畫出圖形、寫出已知、求證并證明） 3、敘述并證明三角形內(nèi)角和定理要求寫出定理、已知、求證，畫出圖形，并寫出證明過程 4、我們知道，證明三角形內(nèi)角和定理的一種思路是力求將三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化到同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)相鄰的角，從而利用平角定義來得到結(jié)論，你能想出多少種不同的方法呢？同學(xué)之間可相互交流 5、三角形中位線定理，是我們非常熟悉的定理請你在下面的橫線上，完整地?cái)⑹龀鲞@個(gè)定理： 根據(jù)這個(gè)定

2、理畫出圖形，寫出已知和求證，并對該定理給出證明 6、定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題是 ，這個(gè)命題正確嗎？若正確，請你證明這個(gè)命題，若不正確請說明理由 7、用所學(xué)定理、定義證明命題證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半8、同學(xué)們，這學(xué)期我們學(xué)過不少定理，你還記得“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”，請你寫出它的逆命題，并證明它的真假解：原命題的逆命題為： 在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角是30 9、利用圖（1）或圖（2）兩個(gè)圖形中的有關(guān)面積的等量關(guān)系都能證明數(shù)學(xué)中一個(gè)十分著名的定理，這個(gè)定理稱為

3、 ，該定理的結(jié)論其數(shù)學(xué)表達(dá)式是 10、利用圖中圖形的有關(guān)面積的等量關(guān)系都能證明數(shù)學(xué)中一個(gè)十分著名的定理，此證明方法就是美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德最先完成的，人們?yōu)榱思o(jì)念他，把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法這個(gè)定理稱為 ，該定理的結(jié)論其數(shù)學(xué)表達(dá)式是 11、定理表述請你根據(jù)圖1中的直角三角形，寫出勾股定理內(nèi)容；嘗試證明以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2，驗(yàn)證勾股定理 定理表述：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方證明：S四邊形ABCD=SABE+SAED+SCDE= 12、如圖，ABC中，AB=AC，BAD=CAD，BD=CD，ADB

4、C請你選擇其中的兩個(gè)作為條件，另兩個(gè)作為結(jié)論，證明等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)定理 13、課本指出：公認(rèn)的真命題稱為公理，除了公理外，其他的真命題（如推論、定理等）的正確性都需要通過推理的方法證實(shí)（1）敘述三角形全等的判定方法中的推論AAS；（2）證明推論AAS要求：敘述推論用文字表達(dá)；用圖形中的符號表達(dá)已知、求證，并證明，證明對各步驟要注明依據(jù) 14、在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組在討論“導(dǎo)學(xué)案”上的一個(gè)作業(yè)題：已知：如圖，OA平分BAC，1=2求證：AOBC同學(xué)甲說：要作輔助線；同學(xué)乙說：要應(yīng)用角平分線性質(zhì)定理來解決：同學(xué)丙說：要應(yīng)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)定理來解決如果你是這個(gè)學(xué)習(xí)小組

5、的成員，請你結(jié)合同學(xué)們的討論寫出證明過程 15、證明：勾股定理逆定理已知：在ABC中，AB=c,AC=b,BC=a ,若c2 =a2 + b2求證：C = 90度證明：作RTDEF，使E=RT，DE=b ,EF=a在RTDEF中，DF2 = ED2 + EF2 = a2 +b2因?yàn)閏2 =a2 + b2所以DF =c所以DF=AB，DE=AC ，EF=BC所以RTDFEABC (SSS)所以C=E = RT二、四邊形（一）梯形1、定理證明：“等腰梯形的兩條對角線相等” 2、用兩種方法證明等腰梯形判定定理：在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形（要求：畫出圖形，寫出已知、求證、證明） 3、在梯形

6、ABCD中，如圖所示，ADBC，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接EF，EF叫做梯形的中位線觀察EF的位置，聯(lián)想三角形的中位線定理，請你猜想：EF與AD、BC有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想 4、采用如圖所示的方法，可以把梯形ABCD折疊成一個(gè)矩形EFNM（圖中EF，F(xiàn)N，EM為折痕），使得點(diǎn)A與B、C與D分別重合于一點(diǎn)請問，線段EF的位置如何確定；通過這種圖形變化，你能看出哪些定理或公式（至少三個(gè)）？證明你的所有結(jié)論 解：可以看出梯形的中位線定理、面積公式、平行線的性質(zhì)定理等（二）平行四邊形1、定理證明：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 2、定理求證：對角線互相平分的四邊形是平行

7、四邊形 3、我們在幾何的學(xué)習(xí)中能發(fā)現(xiàn)，很多圖形的性質(zhì)定理與判定定理之間有著一定的聯(lián)系例如：菱形的性質(zhì)定理“菱形的對角線互相垂直”和菱形的判定定理“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”就是這樣但是課本中對菱形的另外一個(gè)性質(zhì)“菱形的對角線平分一組對角”卻沒有給出類似的判定定理，請你利用如圖所示圖形研究一下這個(gè)問題要求：如果有類似的判定定理，請寫出已知、求證并證明如果沒有，請舉出反例（3） 圓證明：一條弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半。這一定理叫做圓周角定理。（圓周角與圓心角的關(guān)系）已知在O中，BOC與圓周角BAC同對弧BC，求證：BOC=2BAC.證明：情況1：如圖1，當(dāng)圓心O在BAC的一邊上時(shí)，

8、即A、O、B在同一直線上時(shí)：圖1OA、OC是半徑解：OA=OCBAC=ACO（等邊對等角）BOC是AOC的外角BOC=BAC+ACO=2BAC情況2：如圖2,，當(dāng)圓心O在BAC的內(nèi)部時(shí)：連接AO，并延長AO交O于D圖2OA、OB、OC是半徑解：OA=OB=OCBAD=ABO，CAD=ACO（等邊對等角）BOD、COD分別是AOB、AOC的外角BOD=BAD+ABO=2BAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）COD=CAD+ACO=2CAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）BOC=BOD+COD=2(BAD+CAD)=2BAC情況3：如圖3，當(dāng)圓心O在BAC的外部時(shí)：圖3連接AO，并延長AO交O于D連接OA,OB。解：OA、OB、OC、是半徑BAD=ABO（等邊對等角）,CAD=AC