08 立體圖形上的最短路徑問題

1、.第8講 立體圖形上的最短路徑問題一、方法技巧解決立體圖形上最短路徑問題：1.基本思路：立體圖形平面化，即化“曲”為“直”2.“平面化”的基本方法： （1）通過平移來轉(zhuǎn)化 例如：求A、B兩點的最短距離，可通過平移，將樓梯“拉直”即可 （2）通過旋轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)化 例如：求兩點的最短距離，可將長方體表面展開，利用勾股定理即可求例如：求小螞蟻在圓錐底面上點A處繞圓錐一周回到A點的最短距離 可將圓錐側(cè)面展開，根據(jù)“兩點之間，線段最短”即可得解 （3）通過軸對稱來轉(zhuǎn)化 例如：求圓柱形杯子外側(cè)點到內(nèi)側(cè)點的最短距離，可將杯子（圓柱）側(cè)面展開，作點關(guān)于杯口的對稱點，根據(jù)“兩點之間，線段最短”可知即為最短距離 3.儲

2、備知識點：（1）兩點之間，線段最短 （2）勾股定理 4.解題關(guān)鍵：準確畫出立體圖形的平面展開圖二、應(yīng)用舉例類型一 通過平移來轉(zhuǎn)化【例題1】如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想要到B點去吃可口的食物，請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？【答案】13cm【解析】試題分析：只需將其展開便可直觀得出解題思路，將臺階展開得到的是一個矩形，螞蟻要從點到點的最短距離，便是矩形的對角線，利用勾股定理即可解出答案.試題解析：解：展開圖如圖所示， 所以，螞蟻爬行的最短路線是13cm類型二

3、通過旋轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)化【例題2】如下圖，正四棱柱的底面邊長為5cm，側(cè)棱長為8cm，一只螞蟻欲從正四棱柱底面上的A點沿棱柱側(cè)面到點C處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是多少？【答案】【解析】試題分析：解這類題應(yīng)將立體圖形展開，轉(zhuǎn)化為平面圖形，把空間兩點的距離轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離，利用“同一平面內(nèi)兩點間的最短路線是連接這兩點的線段”進行計算.試題解析：解：如圖1，設(shè)螞蟻爬行的路徑是AEC（在面ADDA上爬行是一樣的）.將四棱柱剪開鋪平使矩形AABB與BBCC相連，連接AC，使E點在AC上（如圖2）所以這只螞蟻爬行的最短路徑長為【難度】一般【例題3】如下圖所示，圓柱形玻璃容器高18cm，底面周長為

4、60cm，在外側(cè)距下底1cm的點S處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處1cm的點F處有一蒼蠅，試求蜘蛛捕獲蒼蠅充饑所走的最短路線的長度.【答案】【解析】試題分析：展開后連接，求出的長就是捕獲蒼蠅的最短路徑，過點作于，求出、，根據(jù)勾股定理求出即可.試題解析：解：如下圖所示，把圓柱的半側(cè)面展開成矩形，點S，F(xiàn)各自所在的母線為矩形的一組對邊上下底面圓的半周長為矩形的另一組對邊.該矩形上的線段SF即為所求的最短路線.過點S作點F所在母線的垂線，得到.【難度】較易【例題4】（2015紅河期末）如下圖，有一圓錐形糧堆，其主視圖是邊長為6m的正三角形ABC，糧堆母線AC的中點P處有一老鼠正在

5、偷吃糧食，此時小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是_m（結(jié)果不取近似值）【答案】【解析】試題分析：求小貓經(jīng)過的最短距離，首先應(yīng)將其側(cè)面展開，將問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離的問題，根據(jù)展開圖中扇形的弧長與圓錐底面周長相等可求展開圖的扇形圓心角度數(shù)，故可得出展開圖中，即可用勾股定理求出小貓經(jīng)過的最短距離長.試題解析：解：作出圓錐側(cè)面展開后的扇形圖如下圖，設(shè)該扇形的圓心角度數(shù)為，由展開扇形圓弧長等于底面圓周長，可得，再由，可得，故在展開的平面圖形中，點到的最短距離為 【難度】一般類型三 通過軸對稱來轉(zhuǎn)化【例題5】桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋），高為12厘米，底面周長

6、18厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口3厘米的A處有一滴蜜糖，一只小蟲從桌上爬至杯子外壁，當(dāng)它正好爬至蜜糖相對方向離桌面3厘米的B處時，突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖，問小蟲至少爬多少厘米才能到達蜜糖所在位置？【答案】厘米【解析】試題分析：把圓柱展開，得到矩形形狀，的最短距離就是線段的長，根據(jù)勾股定理解答即可試題解析：解：如圖所示，作點關(guān)于杯口的對稱點 則厘米 【難度】較易三、實戰(zhàn)演練類型一 通過平移來轉(zhuǎn)化1如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dmA和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為 dm【答案】25dm【解析

7、】試題分析：先將圖形平面展開，再根據(jù)勾股定理進行解答試題解析：解：如圖，三級臺階平面展開圖為長方形，長為20dm，寬為（2+3）3dm，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為xdm，由勾股定理可得x2=202+（2+3）32，解得x=25即螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為25dm【難度】較易類型二 通過旋轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)化2.（2015陜西）有一個圓柱形油罐，已知油罐周長是12m，高AB是5m，要從點A處開始繞油罐一周造梯子，正好到達A點的正上方B處，問梯子最短有多長？【答案】【解析】試題分析：把圓柱沿側(cè)面展開，連接，再根據(jù)勾股定理得出結(jié)論試題解析：解

8、：展開圖如圖所示，【難度】較易3.有一個圓柱體，如圖，高4cm，底面半徑5cm，A處有一小螞蟻，若螞蟻欲爬行到C處螞蟻爬行的最短距離 .【答案】【解析】試題分析：圓柱展開就是一個長方形，根據(jù)兩點之間線段最短可求試題解析：解：，為底面周長的一半，即【難度】較易4.葛藤是一種刁鉆的植物，它的腰桿不硬，為了爭奪雨露陽光，常常繞著樹干盤旋而上，它還有一手絕招，就是它繞樹盤升的路線總是沿最短路線-螺旋前進的，難道植物也懂得數(shù)學(xué)？閱讀以上信息，解決下列問題：（1）如果樹干的周長（即圖中圓柱體的底面周長）為30cm，繞一圈升高（即圓柱的高）40cm,則它爬行一周的路程是多少？（2）如果樹干的周長是80cm,

9、繞一圈爬行100cm，它爬行10圈到達樹頂，則樹干高多少？【答案】（1）50cm；（2）6m【解析】試題分析：（1）如下圖，將圓柱展開，可知底面圓周長，即為AC的長，圓柱的高即為BC的長，求出AB的長即為葛藤樹的最短路程（2）先根據(jù)勾股定理求出繞行1圈的高度，再求出繞行10圈的高度，即為樹干高試題解析：解：（1）如圖，的周長為30cm，即AC=30cm 高是40cm，則BC=40cm，由勾股定理得 故爬行一周的路程是50cm （2）的周長為80cm，即AC=80cm 繞一圈爬行100cm，則AB=100cm，高BC=60cm 樹干高=6010=600cm=6m故樹干高6m【難度】一般5（201

10、5江陰市）如圖，一個無蓋的正方體盒子的棱長為2，BC的中點為M，一只螞蟻從盒外的B點沿正方形的表面爬到盒內(nèi)的M點，螞蟻爬行的最短距離是 （ ）A B C1 D【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)已知得出螞蟻從盒外的點沿正方形的表面爬到盒內(nèi)的點，螞蟻爬行的最短距離是如圖BM的長度，進而利用勾股定理求出試題解析：解：螞蟻從盒外的點沿正方體的表面爬到盒內(nèi)的點 螞蟻爬行的最短距離是如圖的長度無蓋的正方體盒子的棱長為2，的中點為 故選：B【難度】較易6.已知O為圓錐頂點，OA、OB為圓錐的母線，C為OB中點，一只小螞蟻從點C開始沿圓錐側(cè)面爬行到點A，另一只小螞蟻繞著圓錐側(cè)面爬行到點B，它們所爬行的最短路線的

11、痕跡如右圖所示，若沿OA剪開，則得到的圓錐側(cè)面展開圖為（ ） 【答案】C【解析】試題分析：要求小螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果，再利用做對稱點作出另一只小螞蟻繞著圓錐側(cè)面爬行到點B，它們所爬行的最短路線.試題解析：解：C為OB中點，一只小螞蟻從點C開始沿圓錐側(cè)面爬行到點A側(cè)面展開圖BO為扇形對稱軸，連接AC即是最短路線另一只小螞蟻繞著圓錐側(cè)面爬行到點B，作出C關(guān)于OA的對稱點，再利用扇形對稱性得出關(guān)于BO的另一對稱點，連接即可.故選C【難度】一般7（2014棗莊）圖所示的正方體木塊棱長為6cm，沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖的

12、幾何體，一只螞蟻沿著圖的幾何體表面從頂點爬行到頂點的最短距離為 cm【答案】【解析】試題分析：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圖的幾何體表面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果試題解析：解：如答圖，易知BCD是等腰直角三角形，ACD是等邊三角形，在RtBCD中，在RtACE中，從頂點A爬行到頂點B的最短距離為【難度】一般8.一個圓錐的母線長為QA=8，底面圓的半徑r=2，若一只小螞蟻從A點出發(fā)，繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到A點，則螞蟻爬行的最短路線長是_（結(jié)果保留根式）【答案】【解析】解：設(shè)圓錐的展開圖扇形的中心角的度數(shù)為n，則 ，解得：即在中，根據(jù)勾股定理【難度】一般9.如圖，圓錐的主視圖

13、是等邊三角形，圓錐的底面半徑為2cm，假若點B有一只螞蟻只能沿圓錐的表面爬行，它要想吃到母線AC的中點P處的食物，那么它爬行的最短路程是多少？【答案】【解析】試題分析：根據(jù)圓錐的主視圖是等邊三角形可知，展開圖是半徑是4的半圓，點B是半圓的一個端點，而點P是平分半圓的半徑的中點，根據(jù)勾股定理就可求出兩點B和P在展開圖中的距離，就是這只螞蟻爬行的最短距離試題解析：解：設(shè)圓錐的展開圖的圓心角為n，則， 解得：即在展開圖中，由勾股定理得，點評：本題主要考查了圓錐的側(cè)面展開圖的計算，正確判斷螞蟻爬行的路線，把曲面的問題化為平面的問題是解題的關(guān)鍵【難度】較難10.（1）如圖，一個無蓋的長方體盒子的棱長分別

14、為，盒子的內(nèi)部頂點處有一只昆蟲甲，在盒子的內(nèi)部頂點處有一只昆蟲乙（盒壁的厚度忽略不計）假設(shè)昆蟲甲在頂點處靜止不動，請計算處的昆蟲乙沿盒子內(nèi)壁爬行到昆蟲甲處的最短路程，并畫出其最短路徑，簡要說明畫法（2）如果（1）問中的長方體的棱長分別為，如圖，假設(shè)昆蟲甲從盒內(nèi)頂點以1厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱向下爬行，同時昆蟲乙從盒內(nèi)頂點以3厘米/秒的速度在盒壁的側(cè)面上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時間才能捕捉到昆蟲甲？【答案】（1）就是最短路徑 （2）5秒【解析】解：（1）如圖二，將上表面展開，使上表面與前表面在同一平面內(nèi)，即三點共線， 根據(jù)勾股定理得如圖三，將右側(cè)面展開，使右側(cè)面與下面在同一平面內(nèi)，即三

15、點共線，根據(jù)勾股定理得 如圖四，將右側(cè)面展開，使右側(cè)面與前表面在同一平面內(nèi)，即三點共線.，根據(jù)勾股定理得最短路程是.在圖四中，如圖一，在上取一點，使，連接，就是最短路徑（2）如圖五，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得即：解得：，所以，昆蟲至少需要5秒才能捉到昆蟲甲.點評：在長方體中，經(jīng)過它的表面，從一個頂點到另一個與它相對的頂點的最短距離是：在長、寬、高中，以較短的兩條邊的和作為一條直角邊，最長的邊作為另一條直角邊，斜邊即為最短路線長【難度】較難11如圖，A是高為10cm的圓柱底面圓上一點，一只蝸牛從A點出發(fā)，沿30角繞圓柱側(cè)面爬行，當(dāng)他爬到頂上時，他沿圓柱側(cè)面爬行的最短距離是（ ）A. 10cm

16、B. 20cm C. 30cm D. 40cm【答案】B【解析】試題分析：將圓柱側(cè)面展開，連接,根據(jù)三角函數(shù)求出的長即可試題解析：解：根據(jù)題意得， 故選B【難度】一般12如圖，是一個長4m，寬3m，高2m的有蓋倉庫，在其內(nèi)壁的A處（長的四等分）有一只壁虎，B處（寬的三等分）有一只蚊子，則壁虎爬到蚊子處最短距離為（） A4.8 B C5 D 【答案】C【解析】有兩種展開方法：長方體展開成如圖所示，連接， 根據(jù)兩點之間線段最短，；將長方體展開成如圖所示，連接，則；故選C【難度】較易13（2015-2016內(nèi)蒙古包頭）如圖，長方體的長為15 cm，寬為10 cm，高為20 cm，點B距離C點 5 c

17、m，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是 cm【答案】25【解析】試題分析：要求正方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法就是將正方體展開，然后利用兩點之間線段最短解答.試題解析：解：如圖：（1）（2）；（3）所以需要爬行的最短距離是25【難度】較難14已知：如圖，一個玻璃材質(zhì)的長方體，其中，在頂點處有一塊爆米花殘渣，一只螞蟻從側(cè)面的中心沿長方體表面爬行到點則此螞蟻爬行的最短距離為 【答案】【解析】試題分析：要求螞蟻爬行的最短距離，需要將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，將E、O（設(shè)面BCSF的中心為點O）所在的兩個面展開，但展開圖并非只有一種，而是兩種，需要利用“兩點之間，

18、線段最短”，來一一求出線段EO的長度，然后比較兩種情況的結(jié)果，找出最短路徑試題解析：解：設(shè)面BCSF的中心為點O，根據(jù)題意，最短路徑有下列兩種情況：如圖1，沿SF把長方體的側(cè)面展開，螞蟻爬行的最短距離如圖2，沿BF把長方體的側(cè)面展開，螞蟻爬行的最短距離故此螞蟻爬行的最短距離是【難度】較難15如圖，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長為1m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為 m（容器厚度忽略不計）.【答案】【解析】試題分析：將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A，根據(jù)兩點之間線段最短可知AB的長度即為所求試題解析：解：要求壁虎捉蚊子的最短距離，實際上是求在EC上找一點P，使PA+PB最短， 過點A作EC的對稱點A，連結(jié)AB，則AB與EF的交點