2018鎮(zhèn)海中學三位一體數學第8講：簡單的不定方程(含答案)

1、.第八講 簡單的不定方程一、知識要點：我們把未知數的個數多于方程的個數、且未知數受到某些限制（整數、正整數）的方程（組）稱之為不定方程（組）。通常不定方程（組）問題有三種類型：（1）判斷不定方程（組）是否有解；（2）求不定方程（組）的解；（3）計算不定方程（組）的解的個數。本講主要學習二元一次不定方程（組）、基本二次型不定方程的解法和處理不定方程問題的一些常用知識和方法。二、典型例題【例1】求不定方程11x+15y=7的整數解。分析 注意到(11,15)=1，則存在惟一的一對整數u，v，使得11u+15 v=1，x=7u、y=7v就是方程的一組特解，整數u，v可以通過觀察試驗得到，也可以用轉輾

2、相除法求得。若t是整數，則x=7u+15t，y=7v11t也是方程的解。可以證明方程11x+15y=7的每一個整數解都能化為這種形式，x=7u+15t，y=7v11t，(tZ)是方程的一般解，稱為通解。【解】 (11,15) | 7, 方程有解。15=111+4，11=42+3，4=31+1。 11(-4)+153=1,即11(-28)+1521=7,故方程的解為：（t為任意整數）。說明 求不定方程ax+by=c的整數解，先看(a，b) | c是否成立，不成立則方程無整數解，成立則可以先求方程的一組特解，然后寫出方程的通解。鏈接 對于二元一次不定方程ax+by=c, a，b，cZ，ab0有下述

3、結論：(1)方程有整數解的充分必要條件是： (a，b) | c；(2)若方程組有一組正整數解x0，y0，則它的所有正整數解可表示為： (其中tZ)通?？梢栽诜匠虄蛇呁瑫r除以(a，b)，使得x，y的系數互質。(3) 若(a，b)=1,且x0，y0為不定方程ax+by=c的一個解，則方程的一切解都可以表示成：( tZ)。其中(x0，y0)是方程ax+by=c的一個特解，t是任意整數。(4) n元一次不定方程a1x1+ a2x2+ anxn=c(a1,a2,an,cZ) 有解充分必要條件是 (a1,a2,an) | c?！纠?】求不定方程2x+3y+5z=15的正整數解。分析 比例1的方程多一個未知

4、數，可以判斷方程有整數解，若求方程的整數解，可以考慮令w=2x+3y，先求不定方程w+5z=15的整數解，再把w的每一個值代入2x+3y = w求解方程。一般情況可以參考鏈接。但這里求的是方程的正整數解，x，y，z的可取值范圍較小，如z只能取1、2兩個值，可先考慮范圍后討論求解。 【解】 因為(2,3,5)=1，所以方程有整數解。令u=x+2z,得2u+3y+z=15, 故z=15-2u-3y,x=u-2z=5u+6y-30,其中u,y是任意整數，且x0,z0,即5u+6y-300, 15-2u-3y0,由上述兩式消去u得：-3y+150, 從而0y5,即y=1,2,3,4.當y=1時，由，解

5、得u6，故u=5,從而由2u+3y+z=15，z=2，故x=1。即有解x=1，y=1，z=2。當y=2時，同理得u=4，x=2，z=1。即有解x=2，y=2，z=1。當y=3或4時，滿足，的整數u不存在。于是不定方程的正整數解為：(1,1,2),(2,2,1)。 說明 請讀者先討論z的取值范圍，分別在z取1或2時解二元不定方程。另外建議用鏈接的方法先求出正整數解，而后再求正整數解。鏈接 解n元一次不定方程a1x1+ a2x2+ anxn=c時，可先順次求出(a1,a2)=d2，(d2,a3)=d3，(d n-1, an)=dn。若dn c，則方程無解；若dn | c，則方程有解，作方程組a1x

6、1+ a2x2=d2t2，d2t2+ a3x3=d3t3，dn-2t n-2+ a n-1x n-1=d n-1t n-1，d n-1t n-1+ a nx n=c。求出最后一個方程的一切解，然后把t n-1的每一個值代入倒數第二個方程，求出它的一切解，再把t n-2的每一個值代入倒數第三個方程，求出它的一切解，這樣做下去即可得到方程的一切解?！纠?】解不定方程組分析 兩個方程可以消去未知數z，得到關于x，y的方程，解二元一次不定方程，把解代入方程組中的一個，求出z的解即可。【解】 由消去z得：13x+13y=52,即x+y=4.觀察得方程x+y=4的一個特解是x0=0,y0=4. 故其通解為

7、：(t是整數)代入5x+7y+2z=24得z=-2+t, 故原方程的通解為(t是整數)。說明 對于m個n元一次不定方程組(mn)成的方程組，可以消去m1個未知數，從而也消去了m1個不定方程式，將方程組轉化為一個nm+1元的一次不定方程?！纠?】求滿足方程2x2+5y2=11(xy11)的正整數數組(x，y)。分析 二次不定方程，?？紤]分解因式或配方。把方程2x2+5y2=11(xy11)中含有未知數的項移到等號的左邊，常數移到等號右邊，分解因式?！窘狻?移項并對方程右邊進行因式分解得：(2xy) (x5y)=112。于是有：或或或或或分別求解，其中的正整數解只有一組(x，y) =(14，27)

8、。鏈接 二次或高次不定方程的常見解法1因式分解法：對方程的一邊進行因式分解，另一邊作質因式分解，然后對比兩邊，轉為求解若干個方程組；2不等式估計法：構造不等式關系，確定不定方程中某些未知數的范圍，再分別處理；3無限遞降法：若關于正整數n的命題P(n)對某些正整數成立，設n0是使P(n)成立的最小正整數，可以推出：存在n1N*，使得n1n0并且P(n1)成立，適合證明不定方程無正整數解?！纠?】求不定方程14x224 xy+21y2+4x12y18=0的整數解。分析 怎樣對右邊的多項式分解因式？ 注意到24241421=24(2449)0，可知右邊的二次多項式不能分解因式，故嘗試配方?！窘狻?原

9、式變形為：2(x3y+1)2+3(2xy)2=20，故 3(2xy)220， 即平方數(2xy)24，當 (2xy)2=0，1時，(x3y+1)2=10或2(x3y+1)2=17，均不可能，故(2xy)2=4，從而 (x3y+1)2=4，由此得方程有唯一整數解：（1，0）。說明 配成平方和的形式可以構造不等式，估計未知數的范圍。【例6】方程x2+y=x2y1000的正整數解為 。分析 三次的不定方程，但也可以分解因式求解。另外注意到其中y是一次的，可以用x的分式表示y。【解1】 原方程即 x2yx2y1000=0，。即 (x21)(y1)=1001，所以 (x1)(x+1)(y1)=71113

10、，要使正整數x，y滿足方程，只能取x=12，使x1=11，x+1=13。故原不定方程的正整數解為x=12，y=8，即（12，8）?！窘?】 原方程變形為：y=1+=1+。因為x，y是正整數，所以(x1)與(x+1)都是1001的約數，只能取x1=11，x+1=13即x=12。 故原不定方程的正整數解為x=12，y=8，即（12，8）。說明 處理不定方程時要根據具體的情況分析，靈活運用方法?！纠?】證明方程x2+y219xy19=0無整數解。分析 方程可以變形為x2+y2=19xy+19，左邊是兩個整數的平方和，右邊是19的倍數。【證明】 方程變形為x2+y2=19xy+19， x2+y2=19

11、xy+190(mod19)，而 x2a(mod19)，y2b(mod19)，其中a，b可以取0，1，4，9，16，6，17，11，7，5。 當a0或b0時，x2+y20(mod19)不成立， a = b = 0， x0(mod19)，y0(mod19)，設 x= 19m，y= 19n，m，nZ，則方程變?yōu)?19m2+19n2=192mn+1（*），等式的左邊是19的倍數，右邊被19除余1，方程（*）無整數解，則原方程也無整數解。說明 如果不定方程F(x1，x2，,xn)=0有整數解，則對任意mN*，其整數解(x1，x2，xn)滿足F(x1，x2,xn)=0(modm)。利用這一必要條件，可以探

12、究不定方程整數解的存在性。本題也可以考慮運用Guass定理：一個正整數n可表示為兩個數平方之和的充要條件是n的4k+3型素因子（如果有的話）出現的冪次一定是偶數；引理：設p是4k+3型的素數，則x2+10(modp)沒有整數解?！纠?】求方程x2+y2=z2中0z0或y-3時，均有，此時 不是完全立方數，故原方程無解。 考慮y=0,-1,-2,-3 的情形，分別代入得：方程的全部整數解為：（-2，-3），（1，-2），（1，0）。7求不定方程組的整數解。解：由原方程組中x+y+z=0得z=-(x+y),代入得:xy(x+y)=6,故xyz=-6,x、y、z都是6的約數，并且只有一個是負數，從而

13、得其整數解為：x=-3,y=2,z=1。8將一個四位數的數碼相反順序排列時為原來的4倍，求原數。解：設原數為,依題意得方程：4=.因為兩個數的位數相同，故，且a為偶數，故a=2.由題意得：d只能為9或8，但d=9不可能，因為方程左邊的個位數為6，而右邊個位數為2，故d=8.從而32+40c+400b=2+10b+100c,即13b-2c=-1.觀察法得b=1,c=7，故所求原數為2178。9求不定方程3x+2y+8z=40的正整數解。解：顯然此方程有整數解.先確定系數最大的未知數z的取值范圍，因為x,y,z的最小值為1，所以.當z=1時，原方程變?yōu)椋?x+2y=32.即y=.由上式知：x是偶數

14、，且，故方程有5組正整數解，分別為： 當z=2時，原方程變?yōu)椋?x+2y=24,即y=.故方程有3組正整數解： 當z=3時，原方程變?yōu)椋?x+2y=16,即y.故方程有2組正整數解： 當z=4時，原方程變?yōu)椋?x+2y=8,即y.故方程有1組正整數解：故原方程有11組正整數解(見下表所列):x246810246242y1310741963521z1111122233410證明：對任意整數a,b，5a7b0,方程組有非負整數解。略證：令u=,由5a7b0知，v=b-5u只能是0，1，2，3，4中的一個.由條件a-7u.當v=0時，取y=z=0,x=a-7u,則;當v=1時，取y=1,z=0,x=a-7u-2,則;當v=2時，取y=0,z=1,x=a-7u-3,則當v=3時，取y=z=1,x=a-7u-5,則;當v=4時，取y=0,z=2,x=a-7u-6,則.11是否存在正整數x,y,z,u,v,使得其中每一個都大于200，并且x2+ y2+ z2+ u2+ v2= xyzuv65。解：存在這樣的正整數。易知(x,y,z,u,v)=(1,2,3,4,5)是原方程的正整數解。一般地，設(x,y,z,u,v)是原方程的正整數解，并且xyzuv.則將原方程視為關于x的一元二次方程，可知(yzuv-x,y,z,u,v)也是原方程的正整數解，由對稱性可知：(y,z,u,v,yzuv-x