初中數(shù)學(xué)九大幾何模型-初中幾何九大模型-初中九大幾何模型;

1、初中數(shù)學(xué)九大幾何模型1、 手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等（1） 等邊三角形【條件】：oab和ocd均為等邊三角形；【結(jié)論】：oacobd；aeb=60；oe平分aed（2） 等腰直角三角形【條件】：oab和ocd均為等腰直角三角形；【結(jié)論】：oacobd；aeb=90；oe平分aed（3） 頂角相等的兩任意等腰三角形【條件】：oab和ocd均為等腰三角形；且cod=aob【結(jié)論】：oacobd；aeb=aob；oe平分aed2、 模型二：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型相似（1） 一般情況【條件】：cdab，將ocd旋轉(zhuǎn)至右圖的位置【結(jié)論】：右圖中ocdoaboacobd；延長ac交bd于點(diǎn)e，必有bec=boa（

2、2） 特殊情況 【條件】：cdab，aob=90將ocd旋轉(zhuǎn)至右圖的位置【結(jié)論】：右圖中ocdoaboacobd；延長ac交bd于點(diǎn)e，必有bec=boa；tanocd；bdac；連接ad、bc，必有；3、 模型三、對(duì)角互補(bǔ)模型（1） 全等型-90【條件】：aob=dce=90；oc平分aob【結(jié)論】：cd=ce；od+oe=oc；證明提示：作垂直，如圖2，證明cdmcen過點(diǎn)c作cfoc，如圖3，證明odcfec當(dāng)dce的一邊交ao的延長線于d時(shí)（如圖4）： 以上三個(gè)結(jié)論：cd=ce；oe-od=oc；（2） 全等型-120【條件】：aob=2dce=120；oc平分aob【結(jié)論】：cd=c

3、e；od+oe=oc； 證明提示：可參考“全等型-90”證法一；如右下圖：在ob上取一點(diǎn)f，使of=oc，證明ocf為等邊三角形。 （3） 全等型-任意角【條件】：aob=2，dce=180-2；cd=ce；【結(jié)論】：oc平分aob；od+oe=2occos； 當(dāng)dce的一邊交ao的延長線于d時(shí)（如右下圖）：原結(jié)論變成： ； ； ?？蓞⒖忌鲜龅诜N方法進(jìn)行證明。請(qǐng)思考初始條件的變化對(duì)模型的影響。對(duì)角互補(bǔ)模型總結(jié)：常見初始條件：四邊形對(duì)角互補(bǔ)，注意兩點(diǎn)：四點(diǎn)共圓有直角三角形斜邊中線；初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別；注意oc平分aob時(shí)，cde=ced=coa=cob如何引導(dǎo)？4、 模型四

4、：角含半角模型90（1） 角含半角模型90-1【條件】：正方形abcd；eaf=45；【結(jié)論】：ef=df+be；cef的周長為正方形abcd周長的一半；也可以這樣：【條件】：正方形abcd；ef=df+be；【結(jié)論】：eaf=45；（2） 角含半角模型90-2【條件】：正方形abcd；eaf=45；【結(jié)論】：ef=df-be；（3） 角含半角模型90-3【條件】：rtabc；dae=45；【結(jié)論】：（如圖1）若dae旋轉(zhuǎn)到abc外部時(shí)，結(jié)論仍然成立（如圖2）（4） 角含半角模型90變形【條件】：正方形abcd；eaf=45；【結(jié)論】：ahe為等腰直角三角形；證明：連接ac（方法不唯一）dac

5、=eaf=45，dah=cae，又acb=adb=45；dahcae，aheadc，ahe為等腰直角三角形模型五：倍長中線類模型（1） 倍長中線類模型-1【條件】：矩形abcd；bd=be； df=ef；【結(jié)論】：afcf模型提?。河衅叫芯€adbe；平行線間線段有中點(diǎn)df=ef；可以構(gòu)造“8”字全等adfhef。（2） 倍長中線類模型-2【條件】：平行四邊形abcd；bc=2ab；am=dm；ceab；【結(jié)論】：emd=3mea輔助線：有平行abcd，有中點(diǎn)am=dm，延長em，構(gòu)造amedmf，連接cm構(gòu)造 等腰emc，等腰mcf。（通過構(gòu)造8字全等線段數(shù)量及位置關(guān)系，角的大小轉(zhuǎn)化）模型六：

6、相似三角形360旋轉(zhuǎn)模型（1）相似三角形（等腰直角）360旋轉(zhuǎn)模型-倍長中線法【條件】：ade、abc均為等腰直角三角形；ef=cf；【結(jié)論】：df=bf；dfbf 輔助線：延長df到點(diǎn)g，使fg=df，連接cg、bg、bd，證明bdg為等腰直角三角形； 突破點(diǎn)：abdcbg； 難點(diǎn)：證明bao=bcg（2）相似三角形（等腰直角）360旋轉(zhuǎn)模型-補(bǔ)全法【條件】：ade、abc均為等腰直角三角形；ef=cf；【結(jié)論】：df=bf；dfbf輔助線：構(gòu)造等腰直角aeg、ahc；輔助線思路：將df與bf轉(zhuǎn)化到cg與ef。（3） 任意相似直角三角形360旋轉(zhuǎn)模型-補(bǔ)全法【條件】：oabodc；oab=o

7、dc=90；be=ce；【結(jié)論】：ae=de；aed=2abo輔助線：延長ba到g，使ag=ab，延長cd到點(diǎn)h使dh=cd，補(bǔ)全ogb、och構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型。轉(zhuǎn)化ae與de到cg與bh，難點(diǎn)在轉(zhuǎn)化aed。（4） 任意相似直角三角形360旋轉(zhuǎn)模型-倍長法【條件】：oabodc；oab=odc=90；be=ce；【結(jié)論】：ae=de；aed=2abo輔助線：延長de至m，使me=de，將結(jié)論的兩個(gè)條件轉(zhuǎn)化為證明amdabo，此為難點(diǎn)，將amdabc繼續(xù)轉(zhuǎn)化為證明abmaod，使用兩邊成比例且夾角相等，此處難點(diǎn)在證明abm=aod模型七：最短路程模型（1） 最短路程模型一（將軍飲馬類）總結(jié)：右四圖為

8、常見的軸對(duì)稱類最短路程問題，最后都轉(zhuǎn)化到：“兩點(diǎn)之間，線段最短：解決；特點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)在直線上；起點(diǎn)，終點(diǎn)固定（2） 最短路程模型二（點(diǎn)到直線類1）【條件】：oc平分aob；m為ob上一定點(diǎn)；p為oc上一動(dòng)點(diǎn)；q為ob上一動(dòng)點(diǎn)；【問題】：求mp+pq最小時(shí)，p、q的位置？輔助線：將作q關(guān)于oc對(duì)稱點(diǎn)q，轉(zhuǎn)化pq=pq，過點(diǎn)m作mhoa，則mp+pq=mp+pqmh(垂線段最短）（3） 最短路程模型二（點(diǎn)到直線類2）【條件】：a(0,4),b(-2,0),p(0,n）【問題】：n為何值時(shí)，最小？求解方法：x軸上取c(2,0),使sinoac=；過b作bdac，交y軸于點(diǎn)e，即為所求；tanebo=ta

9、noac=，即e（0，1）（4） 最短路程模型三（旋轉(zhuǎn)類最值模型）【條件】：線段oa=4，ob=2；ob繞點(diǎn)o在平面內(nèi)360旋轉(zhuǎn)；【問題】：ab的最大值，最小值分別為多少？【結(jié)論】：以點(diǎn)o為圓心，ob為半徑作圓，如圖所示，將問題轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”。最大值：oa+ob；最小值：oa-ob 【條件】：線段oa=4，ob=2；以點(diǎn)o為圓心，ob，oc為半徑作圓； 點(diǎn)p是兩圓所組成圓環(huán)內(nèi)部（含邊界）一點(diǎn)；【結(jié)論】：若pa的最大值為10，則oc= 6 ；若pa的最小值為1，則oc= 3 ； 若pa的最小值為2，則pc的取值范圍是 0pc2 【條件】：rtobc，obc

10、=30；oc=2；oa=1；點(diǎn)p為bc上動(dòng)點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合）；obc繞點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)【結(jié)論】：pa最大值為oa+ob=；pa的最小值為如下圖，圓的最小半徑為o到bc垂線段長。模型八：二倍角模型【條件】：在abc中，b=2c；輔助線：以bc的垂直平分線為對(duì)稱軸，作點(diǎn)a的對(duì)稱點(diǎn)a，連接aa、ba、ca、 則ba=aa=ca(注意這個(gè)結(jié)論）此種輔助線作法是二倍角三角形常見的輔助線作法之一，不是唯一作法。模型九：相似三角形模型（1） 相似三角形模型-基本型平行類：debc； a字型 8字型 a字型結(jié)論：(注意對(duì)應(yīng)邊要對(duì)應(yīng)）（2） 相似三角形模型-斜交型【條件】：如右圖，aed=acb=90；【結(jié)論】：aeab=acad【條件】：如右圖，ace=abc；【結(jié)論】：ac2=aeab第四個(gè)圖還存在射影定理：aeec=bcac；bc2=beba；ce2=aebe；（3） 相似三角形模型-一線三等角型【條件】：（1）圖：abc=ace=cde=90； （2）圖：abc=ace=cde=60； （3）圖