曲面的第二基本形式在曲面論中的作用

1、曲面的第二基本形式在曲面論中的作用1 引言為了研究曲面在空間中的彎曲性而引入了曲面的第二基本形式，它近似等于曲面與切平面的有向距離的兩倍，從而刻畫了曲面離開切平面的彎曲程度，即曲面在空間中的彎曲性，并且與曲面的第一基本形式共同構(gòu)成了曲面論的基本定理從而確定了曲面一點附近的結(jié)構(gòu)與形狀由此可見曲面的第二基本形式在曲面論中的作用舉足輕重，同時由它引出的曲面的幾何性質(zhì)又是曲面論中的難點本文將主要通過對曲面的各種曲率（如法曲率，測地曲率，主曲率等），曲面上的各種特殊曲線（如漸近線，曲率線等）和曲線網(wǎng)（如曲率網(wǎng)，共軛網(wǎng)等），曲面上點的類型（如橢圓點，雙曲點等）等內(nèi)容的討論舉例來闡述曲面的第二基本形式在曲面

2、論中的作用2 曲面的第二基本形式2.1 定義曲面的第二基本形式 類曲面，曲線（s為自然參數(shù)）為上過一固定點的曲線，為在點的切平面，為曲面在點的單位法向量，則 （）令， （）則（）式變?yōu)?（）稱之為曲面的第二基本形式，它的系數(shù)、稱為曲面的第二類基本量它就近似等于曲面到切平面有向距離的兩倍此外，對關(guān)系式微分得所以曲面的第二基本形式也可寫為 一般來說曲面第二基本形式的這種表達方式主要應(yīng)用于曲面相關(guān)性質(zhì)的證明2.2 計算曲面的第二基本形式由于曲面的單位法向量，代入（2）中得，所以根據(jù)以上公式來計算曲面的第二基本形式例1 計算球面的第二基本形式解球面方程為，所以有，于是得，所以又，所以，因而3 法曲率3

3、.1 法曲率設(shè)為曲面上經(jīng)過一固定點的一條曲線 為曲線()在點的曲率，為和間的夾角，則有 （）對于曲面上的法截線有，或，所以它的曲率于是我們將 （）稱之為曲面在一點沿所取方向的法曲率時，法截面朝切面的正向彎曲；時，法截面朝切面的負向彎曲；時，法曲率和法截線曲率都等于零例 求拋物面在點和方向的法曲率解 拋物面方程為求得，所以例2 利用法曲率公式證明在球面上對于任何曲紋坐標(biāo)第一、二類基本量成比例證明 對于球面可求得，所以球面上任意一點沿任意方向的法曲率為又得又因為對于任一方向成立，故有所以3.3 梅尼埃（Meusnier）定理從（）式和（）式得若設(shè)，為曲線的曲率半徑，為曲線的曲率半徑，則上式的幾何意

4、義就是:梅尼埃（Meusnier）定理 曲面曲線在給定點的曲率中心就是與曲線具有共同切線的法截線上同一點的曲率中心在曲線的密切平面上的投影 曲面上的各種曲率4.1 主曲率及歐拉(Euler)公式既然曲面上曲線的曲率都可以轉(zhuǎn)化為法曲率來討論，那么我們有必要對法曲率隨方向變化的規(guī)律進行研究定義 在曲面上一點，法曲率的每一個逗留值稱為曲面在這一點的主曲率，而對應(yīng)主曲率的方向稱為曲面在此點的一個主方向主方向滿足方程主曲率滿足方程曲面在非臍點處，由于主曲率方程的判別式，所以它有兩個不相等的實根，因而曲面上非臍點處總有兩個主方向在臍點處，方程是恒等式，因而每一方向都是主方向羅德里格（Rodrigues）定

5、理 若方向（d）是主方向，當(dāng)且僅當(dāng)，為曲面沿（d）的法曲率歐拉(Euler)公式:是任意方向（）與曲線的夾角歐拉(Euler)公式告訴我們只要知道主方向，任何方向（）的法曲率都可以由方向（）和曲線的夾角來確定而主曲率與法曲率有著下面的關(guān)系:命題 曲面上一點（非臍點）的主曲率是曲面在這點所有方向的法曲率中的最大值和最小值例1 確定拋物面在點的主曲率解 拋物面的方程可求得在處，；，把第一、二基本量代入主曲率方程（）得解得例2 證明在曲面上給定點處，沿相互成為直角的方向的法曲率之為常數(shù)證明 設(shè)該點相互成直角方向的法曲率分別為和，則由歐拉公式得所以 4.2 高斯(Gauss)曲率和平均曲率若，為曲面上

6、一點的兩個主曲率，則它們的乘積稱之為曲面在這一點的高斯曲率（Gauss），通常以K表示，它們的平均數(shù)稱之為曲面在這一點的平均曲率，通常以H表示根據(jù)主曲率的方程（）利用二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得因而主曲率的方程也可以表示為例 求正螺面的高斯曲率和平均曲率解 由正螺面方程得，因此例2 如果曲面的平均曲率為零，則漸近線網(wǎng)構(gòu)成正交網(wǎng)證明 因為曲面的平均曲率所以設(shè)曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為漸近線網(wǎng)，則于是，即(若，則曲面上的點為臍點)所以曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為正交網(wǎng)，即漸近線構(gòu)成正交網(wǎng)5 曲面上點的類型5.1 杜邦(Dupin)指標(biāo)線為了研究曲面上一點處法截線的法曲率的關(guān)系，在點的切平面上取點為原點，坐標(biāo)曲線在點的切向量和

7、為基向量，為對應(yīng)方向()的法曲率為， 為法曲率半徑的絕對值，過點方向（）畫線段，使其長度等于，對于切平面上所有方向，點的軌跡稱為曲面在點的杜邦(Dupin)指標(biāo)線杜邦(Dupin)指標(biāo)線的方程為5.2 曲面上點的分類利用杜邦(Dupin)指標(biāo)線可以對曲面上的點進行分類，同時也可以通過一點的高斯曲率來對曲面上的點進行分類(如表52)表52類型杜邦(Dupin)指標(biāo)線橢 圓 點00橢 圓雙 曲 點00雙曲線拋 物 點00拋物線臍點: ，其中圓點: ，平點: 例 求曲面上的拋物點的軌跡 解 由得，令則 或 所求拋物線的軌跡為6 曲面上的特殊曲線和曲線網(wǎng)6.1 曲率線及曲率網(wǎng)定義1曲面上一曲線，如果它

8、每一點的切方向都是主方向，則稱它為曲率線曲率線的微分方程為定義2 兩族曲率線構(gòu)成的曲率線網(wǎng)稱為曲率網(wǎng)命題1在不含有臍點的曲面上，任何正規(guī)坐標(biāo)網(wǎng)都可以做成曲紋坐標(biāo)網(wǎng)命題2 曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為曲率網(wǎng)的充分必要條件是例 確定螺旋面，上的曲率線解 螺旋面方程可以求得，由曲率線的方程得化簡得積分得所以曲率線為，例2 若曲面，交于一條曲線，而且是的一條曲率線，則也是的曲率線的充要條件是，沿著相交成固定角證明 設(shè)，兩曲面的切向量為，相交曲線:是一條曲率線由羅德里格（Rodrigues）定理知 若也是的曲率線的充分必要條件為常數(shù)常數(shù)(常數(shù))沿曲面，的夾角為定角6.2 漸近曲線及漸近網(wǎng)定義1曲面上一固定點處，使的方向

9、稱之為曲面在點的漸近方向定義2若曲面上一條曲線的切方向都是漸近方向，則稱其為漸近曲線定義3 如果曲面上的點都是雙曲點，則曲面上存在兩族漸近曲線，這兩族漸近曲線稱為曲面上的漸近網(wǎng)漸近曲線的微分方程為命題1 曲面上一條曲線為漸近曲線的充要條件是或者它是一條直線，或者它在每一點的密切平面與曲面的切平面重合命題2 曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件是例1 求曲面的漸近曲線解 由求曲面方程為 得，由漸近曲線的微分方程得 與所以漸近曲線為 或 例2 證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近曲線證明 設(shè)曲線:，則主法線曲面:對微分得對微分得曲面的法向量沿曲線，所以，即那么因此曲線為漸近曲線6.3 共軛網(wǎng)定義曲面上兩個方向與，若則稱它們?yōu)榛ハ喙曹椀姆较蛉羟嫔蟽勺迩€的方向在每一點都是共軛方向，則這兩族曲線構(gòu)成共軛網(wǎng)命題曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是共軛網(wǎng)的充要條件是例 證明在曲面上曲線族常數(shù)， 常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng)證明 曲面的曲線族常數(shù)，若取，則這族曲線的方程為正是曲線，同理得常數(shù)，為曲線由曲面方程 得