立體幾何垂直證明題常見(jiàn)模型及方法

1、立體幾何垂直證明題常見(jiàn)模型及方法證明空間線面垂直需注意以下幾點(diǎn)：由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。立體幾何論證題的解答中，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。明確何時(shí)應(yīng)用判定定理，何時(shí)應(yīng)用性質(zhì)定理，用定理時(shí)要先申明條件再由定理得出相應(yīng)結(jié)論。垂直轉(zhuǎn)化：線線垂直 線面垂直 面面垂直； 基礎(chǔ)篇類型一：線線垂直證明（共面垂直、異面垂直）（1） 共面垂直：實(shí)際上是平面內(nèi)的兩條直線的垂直 （只需要同學(xué)們掌握以下幾種模型） 等腰（等邊）三角形中的中線 菱形（正方形）的對(duì)角線互相垂直 勾股定理中的三角形 1:1:2 的直角梯形中 利用相似或全等證明直角。

2、例：在正方體中，O為底面ABCD的中心，E為,求證：（2） 異面垂直 （利用線面垂直來(lái)證明，高考中的意圖）例1 在正四面體ABCD中，求證變式1 如圖，在四棱錐中，底面是矩形，已知證明：；變式2 如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將AED,DCF分別沿折起，使兩點(diǎn)重合于.求證:；變式3如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，PAC=PBC=90 證明：ABPC類型二：線面垂直證明 方法 利用線面垂直的判斷定理 例2：在正方體中，O為底面ABCD的中心，E為,求證：變式1：在正方體中，,求證：變式2：如圖：直三棱柱ABCA1B1C1中， AC=BC=AA1=2，ACB=90.E為BB1的

3、中點(diǎn)，D點(diǎn)在AB上且DE=.求證：CD平面A1ABB1；DACOBE變式3：如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，求證：平面BCD；變式4 如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，平面，求證：平面 利用面面垂直的性質(zhì)定理例3：在三棱錐P-ABC中，,，。方法點(diǎn)撥：此種情形，條件中含有面面垂直。變式1, 在四棱錐，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAB是等腰三角形，且,求證：變式2：類型3：面面垂直的證明。(本質(zhì)上是證明線面垂直)ABCDEF 例1 如圖，已知平面，平面，為等邊三角形，為的中點(diǎn).(1) 求證：平面；(2) 求證：平面平面；例2 如圖，在四棱錐中，底面，是的中點(diǎn)（1）證明；

4、（2）證明平面；變式1已知直四棱柱ABCDABCD的底面是菱形，E、F分別是棱CC與BB上的點(diǎn)，且EC=BC=2FB=2（1）求證：平面AEF平面AACC；舉一反三1.設(shè)M表示平面，a、b表示直線，給出下列四個(gè)命題： bM bM.其中正確的命題是 ( )A. B. C. D.2.下列命題中正確的是 ( )A.若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面B.若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面C.若一條直線平行于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面的直線必定垂直于這條直線D.若一條直線垂直于一個(gè)平面，則垂直于這條直線的另一條直線必垂直于這個(gè)平面3.如圖所示，在

5、正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn).現(xiàn)在沿DE、DF及EF把ADE、CDF和BEF折起，使A、B、C三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P.那么，在四面體PDEF中，必有 ( )第3題圖A.DP平面PEF B.DM平面PEF C.PM平面DEF D.PF平面DEF4.設(shè)a、b是異面直線，下列命題正確的是 ( )A.過(guò)不在a、b上的一點(diǎn)P一定可以作一條直線和a、b都相交B.過(guò)不在a、b上的一點(diǎn)P一定可以作一個(gè)平面和a、b都垂直C.過(guò)a一定可以作一個(gè)平面與b垂直D.過(guò)a一定可以作一個(gè)平面與b平行5.如果直線l,m與平面,滿足:l=,l,m和m,那么必有 ( )A.且lm B.且m C.m且lm D

6、.且6.AB是圓的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，PC垂直于圓所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，則P到AB的距離為 ( )A.1 B.2 C. D.7.有三個(gè)命題：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；過(guò)平面的一條斜線l有且僅有一個(gè)平面與垂直； 異面直線a、b不垂直，那么過(guò)a的任一個(gè)平面與b都不垂直其中正確命題的個(gè)數(shù)為 ( )A.0 B.1 C.2 D.38.d是異面直線a、b的公垂線，平面、滿足a，b，則下面正確的結(jié)論是 ( )A.與必相交且交線md或m與d重合B.與必相交且交線md但m與d不重合C.與必相交且交線m與d一定不平行D.與不一定相交9.設(shè)l、m為直線，為平面，且l，給出下列命題 若m，

7、則ml；若ml，則m；若m，則ml；若ml，則m，其中真命題的序號(hào)是 ( )A. B. C. D.10.已知直線l平面，直線m平面，給出下列四個(gè)命題：若，則lm；若，則lm；若lm，則；若lm，則.其中正確的命題是 ( )A.與 B.與 C.與 D.與二、思維激活第12題圖11.如圖所示，ABC是直角三角形，AB是斜邊，三個(gè)頂點(diǎn)在平面的同側(cè)，它們?cè)趦?nèi)的射影分別為A，B，C，如果ABC是正三角形，且AA3cm，BB5cm，CC4cm，則ABC的面積是 . 第11題圖第13題圖12.如圖所示,在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件 時(shí),有A1CB1D1(注:填上你認(rèn)為正

8、確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形)13.如圖所示，在三棱錐VABC中，當(dāng)三條側(cè)棱VA、VB、VC之間滿足條件 時(shí)，有VCAB.(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可)三、能力提高14.如圖所示,三棱錐V-ABC中,AH側(cè)面VBC,且H是VBC的垂心，BE是VC邊上的高.第14題圖(1)求證:VCAB;(2)若二面角EABC的大小為30,求VC與平面ABC所成角的大小.15.如圖所示，PA矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).第15題圖(1)求證：MN平面PAD.(2)求證：MNCD.(3)若PDA45，求證：MN平面PCD.16.如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是

9、平行四邊形，BAD60，AB4，AD2，側(cè)棱PB，PD.(1)求證：BD平面PAD. (2)若PD與底面ABCD成60的角，試求二面角PBCA的大小.第16題圖17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90,BAC=30,BC=1，AA1=，M是CC1的中點(diǎn)，求證：AB1A1M 18.如圖所示，正方體ABCDABCD的棱長(zhǎng)為a，M是AD的中點(diǎn)，N是BD上一點(diǎn)，且DNNB12，MC與BD交于P.(1)求證：NP平面ABCD. 第18題圖(2)求平面PNC與平面CCDD所成的角.(3)求點(diǎn)C到平面DMB的距離.第4課 線面垂直習(xí)題解答1.A 兩平行中有一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直

10、，垂直于同一平面的兩直線平行.2.C 由線面垂直的性質(zhì)定理可知.3.A 折后DPPE,DPPF，PEPF.4.D 過(guò)a上任一點(diǎn)作直線bb,則a，b確定的平面與直線b平行.5.A依題意,m且m,則必有,又因?yàn)閘=則有l(wèi),而m則lm,故選A.6.D過(guò)P作PDAB于D，連CD，則CDAB，AB=，PD=.7.D 由定理及性質(zhì)知三個(gè)命題均正確.8.A 顯然與不平行.9.D 垂直于同一平面的兩直線平行，兩條平行線中一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直.10.B ，l，lm11.cm2 設(shè)正三角ABC的邊長(zhǎng)為a.AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB=a2+4，又AC2+BC2=AB2，a2=2SAB

11、C=cm212.在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件ACBD(或任何能推導(dǎo)出這個(gè)條件的其它條件，例如ABCD是正方形，菱形等)時(shí),有A1CB1D1(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形).點(diǎn)評(píng)：本題為探索性題目，由此題開辟了填空題有探索性題的新題型，此題實(shí)質(zhì)考查了三垂線定理但答案不惟一,要求思維應(yīng)靈活.13.VCVA，VCAB. 由VCVA，VCAB知VC平面VAB.14.(1)證明:H為VBC的垂心,VCBE,又AH平面VBC,BE為斜線AB在平面VBC上的射影,ABVC.(2)解:由(1)知VCAB,VCBE,VC平面ABE,在平面ABE上,

12、作EDAB,又ABVC,AB面DEC.ABCD,EDC為二面角EABC的平面角，EDC=30,AB平面VCD,VC在底面ABC上的射影為CD.VCD為VC與底面ABC所成角,又VCAB,VCBE,VC面ABE,VCDE,CED=90,故ECD=60,VC與面ABC所成角為60.15.證明：(1)如圖所示，取PD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，EN，則有ENCDABAM，ENCDABAM，故AMNE為平行四邊形.MNAE.第15題圖解AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)PA平面ABCD，PAAB.又ADAB，AB平面PAD.ABAE，即ABMN.又CDAB，MNCD.(3)PA平面ABCD

13、，PAAD.又PDA45，E為PD的中點(diǎn).AEPD，即MNPD.又MNCD，MN平面PCD.16.如圖(1)證：由已知AB4，AD，BAD60，第16題圖解故BD2AD2+AB2-2ADABcos604+16-22412.又AB2AD2+BD2，ABD是直角三角形，ADB90，即ADBD.在PDB中，PD，PB，BD，PB2PD2+BD2，故得PDBD.又PDADD，BD平面PAD.(2)由BD平面PAD，BD平面ABCD.平面PAD平面ABCD.作PEAD于E，又PE平面PAD，PE平面ABCD，PDE是PD與底面ABCD所成的角.PDE60，PEPDsin60.作EFBC于F，連PF，則P

14、FBF，PFE是二面角PBCA的平面角.又EFBD，在RtPEF中，tanPFE.故二面角PBCA的大小為arctan.17.連結(jié)AC1，.RtACC1RtMC1A1，AC1C=MA1C1，A1MC1+AC1C=A1MC1+MA1C1=90.A1MAC1,又ABC-A1B1C1為直三棱柱，CC1B1C1，又B1C1A1C1，B1C1平面AC1M.由三垂線定理知AB1A1M. 點(diǎn)評(píng)：要證AB1A1M，因B1C1平面AC1，由三垂線定理可轉(zhuǎn)化成證AC1A1M，而AC1A1M一定會(huì)成立18.(1)證明：在正方形ABCD中，MPDCPB，且MDBC，DPPBMDBC12.又已知DNNB12，由平行截割

15、定理的逆定理得NPDD，又DD平面ABCD，NP平面ABCD.(2)NPDDCC，NP、CC在同一平面內(nèi)，CC為平面NPC與平面CCDD所成二面角的棱.又由CC平面ABCD，得CCCD，CCCM，MCD為該二面角的平面角.在RtMCD中可知MCDarctan，即為所求二面角的大小.(3)由已知棱長(zhǎng)為a可得，等腰MBC面積S1，等腰MBD面積S2，設(shè)所求距離為h，即為三棱錐CDMB的高.三棱錐DBCM體積為，空間中的計(jì)算 基礎(chǔ)技能篇類型一：點(diǎn)到面的距離 方法1：直接法把點(diǎn)在面上的射影查出來(lái)，然后在直角三角形中計(jì)算例1：在正四面體ABCD中，邊長(zhǎng)為a，求點(diǎn)A到面BCD的距離。 變式1 在正四棱錐V

16、-ABCD中，底面ABCD邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為b.求頂點(diǎn)V到底面ABCD的距離。變式2在正四棱錐V-ABCD中，底面ABCD邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為b.求頂點(diǎn)A到底面VCD的距離。方法2：等體積法求距離-在同一個(gè)三棱錐中利用體積不變?cè)恚ㄟ^(guò)轉(zhuǎn)換不同的底和高來(lái)達(dá)到目的。例2 已知在三棱錐VABC中，VA,VB,VC兩兩垂直，VA=VB=3，VC=4，求點(diǎn)V到面ABC的距離。變式1：如圖所示的多面體是由底面為的長(zhǎng)方體被截面所截而得到的，其中 （1）求的長(zhǎng)； （2）求點(diǎn)到平面的距離 _A_B_D_C_O變式2 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是四邊長(zhǎng)為1的菱形，, 面, ,求點(diǎn)B到平面OCD的距離變式3在正

17、四面體ABCD中，邊長(zhǎng)為a，求它的內(nèi)切求的半徑。類型二：其它種類的距離的計(jì)算（點(diǎn)到線，點(diǎn)到點(diǎn) ）例3 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是四邊長(zhǎng)為1的菱形，, 面, ,M為OC的中點(diǎn)，求AM和點(diǎn)A到直線OC的距離_A_B_D_C_O舉一反三1正三棱錐P-ABC高為2，側(cè)棱與底面所成角為，則點(diǎn) 到側(cè)面的距離是A B C6 D2如圖，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高為8，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為 A10 B20 C30 D40二、填空題：3太陽(yáng)光照射高為m的竹竿時(shí)，它在水平地面上的射影為1m，同時(shí)，照射地面上一圓球時(shí)，如圖所示，其影子的長(zhǎng)度AB等于cm,則該球的體積

18、為_4若一個(gè)正三棱柱的三視圖如下圖所示，則這個(gè)正三棱柱的高和底面邊長(zhǎng)分別為_ 主視圖俯視圖2 左視圖三、解答題：5已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1，M是底面BC邊上的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn)，且CN2C1N求點(diǎn)B1到平面AMN的距離6一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示：（其中M、N分別是AF、BC的中點(diǎn)）. （1）求證：MN平面CDEF； （2）求多面體ACDEF的體積7一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，G是DF上的一動(dòng)點(diǎn).（1）求證：（2）當(dāng)FG=GD時(shí)，在棱AD上確定一點(diǎn)P，使得GP/平面FMC,并給出證明SBCFDAEO8如圖，已知正四棱錐,設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為邊上的點(diǎn)（1）求證：平面；（2）試確定點(diǎn)的位置，使得平面底面BAACAC1AB1AA1AMN主視圖左