高中物理競(jìng)賽全套講座——電路化簡(jiǎn)

1、電路化簡(jiǎn)241、 等效電源定理圖2-4-1 圖2-4-2實(shí)際的直流電源可以看作電動(dòng)勢(shì)為，內(nèi)阻為零的恒壓源與內(nèi)阻r的串聯(lián)，如圖2-4-1所示，這部分電路被稱為電壓源。不論外電阻R如何，總是提供不變電流的理想電源為恒流源。實(shí)際電源、r對(duì)外電阻R提供電流I為 其中為電源短路電流，因而實(shí)際電源可看作是一定的內(nèi)阻與恒流并聯(lián)的電流源，如圖2-4-2所示。實(shí)際的電源既可看作電壓源，又可看作電流源，電流源與電壓源等效的條件是電流源中恒流源的電流等于電壓源的短路電流。利用電壓源與電流源的等效性可使某些電路的計(jì)算簡(jiǎn)化。圖2-4-3圖2-4-4等效電壓源定理又叫戴維寧定理，內(nèi)容是：兩端有源網(wǎng)絡(luò)可等效于一個(gè)電壓源，其

2、電動(dòng)勢(shì)等于網(wǎng)絡(luò)的開(kāi)路電壓，內(nèi)阻等于從網(wǎng)絡(luò)兩端看除電源以外網(wǎng)絡(luò)的電阻。如圖2-4-3所示為兩端有源網(wǎng)絡(luò)A與電阻R的串聯(lián)，網(wǎng)絡(luò)A可視為一電壓源，等效電源電動(dòng)勢(shì)等于a、b兩點(diǎn)開(kāi)路時(shí)端電壓，等效內(nèi)阻等于網(wǎng)絡(luò)中除去電動(dòng)勢(shì)的內(nèi)阻，如圖2-4-4所示。等效電流源定理 又叫諾爾頓定理，內(nèi)容是：兩端有源網(wǎng)絡(luò)可等效于一個(gè)電流源，電流源的等于網(wǎng)絡(luò)兩端短路時(shí)流經(jīng)兩端點(diǎn)的電流，內(nèi)阻等于從網(wǎng)絡(luò)兩端看除電源外網(wǎng)絡(luò)的電阻。例4、如圖2-4-5所示的電路中，圖2-4-5 （1）試用等效電壓源定理計(jì)算從電源正極流出的電流；（2）試用等效電流源定理計(jì)算從結(jié)點(diǎn)B流向節(jié)點(diǎn)A的電流。分析： 根據(jù)題意，在求通過(guò)電源的電流時(shí)，可將ABCDE

3、部分電路等效為一個(gè)電壓源，求解通過(guò)的電流時(shí)，可將上下兩個(gè)有源支路等效為一個(gè)電流源。解： （1）設(shè)ABCDE等效電壓源電動(dòng)勢(shì)，內(nèi)阻，如圖2-4-6所示，由等效電壓源定理，應(yīng)有圖2-4-6電源與電源串聯(lián)，故0，表明電流從負(fù)極流出。（2）將A、B兩個(gè)節(jié)點(diǎn)短接，構(gòu)成等效電流源（）如圖2-4-7所示，由等效電流源定理，為原電路流經(jīng)A、B短接后的支路電流。因?yàn)橛袃呻娫?，必須用線性疊加原理，所謂疊加原理與力學(xué)中“力的獨(dú)立作用原理”極為相似，其內(nèi)容為：若電路中有多個(gè)電源，則通過(guò)任一支路的電流等于各個(gè)電動(dòng)勢(shì)單獨(dú)存在時(shí)該支路產(chǎn)生的電流之和。圖2-4-7由疊加原理 由和的分流關(guān)系242、 Y變換在某些復(fù)雜的電路中往

4、往會(huì)遇到電阻的Y型或，如圖2-4-8所示，有時(shí)把Y型聯(lián)接代換成等效的型聯(lián)接，或把型聯(lián)接代換成等效的Y型聯(lián)接，可使電路變?yōu)榇?、并?lián)，從而簡(jiǎn)化計(jì)算，等效代換要求Y型聯(lián)接三個(gè)端紐的電壓及流過(guò)的電流與型聯(lián)接的三個(gè)端紐相同。圖2-4-8在Y型電路中有可解得 在型電路中等效即滿足：即 類似方法可得 、式是將Y型網(wǎng)絡(luò)變換到型電路中的一組變換。同樣將型電路變換到Y(jié)型電路，變換式可由、式求得：、 圖2-4-9例5、試求如圖2-4-9所示電路中的電流。分析： 這是包含一個(gè)Y型電路和一個(gè)型電路的網(wǎng)絡(luò)，解決問(wèn)題的方向可將左邊Y型網(wǎng)絡(luò)元變換成型網(wǎng)絡(luò)元，或?qū)⒂覀?cè)型網(wǎng)絡(luò)元變換成Y型網(wǎng)絡(luò)元。圖2-4-10解： 將左側(cè)Y型網(wǎng)絡(luò)

5、換成型，如圖2-4-10所示已知 則有 圖2-4-11 由圖2-4-10，可進(jìn)一步電路整理為圖2-4-11所示。將右側(cè)型網(wǎng)絡(luò)元換成Y型網(wǎng)絡(luò)元同樣可求得，這里不再敘述。243、 對(duì)稱性原理等勢(shì)節(jié)點(diǎn)的斷接法圖2-4-12ABDC在一個(gè)復(fù)雜電路中，如果能找到一些完全對(duì)稱的點(diǎn)，（以兩端連線為對(duì)稱軸），那么可以將接在等電勢(shì)節(jié)點(diǎn)間的導(dǎo)線或電阻或不含電源的支路斷開(kāi)（即去掉），也可以用導(dǎo)線或電阻或不含電源的支路將等電勢(shì)節(jié)點(diǎn)連接起來(lái)，且不影響電路的等效性。例6、用導(dǎo)線連接成如圖2-4-12所示的框架，ABCD和ABCE是正四面體，每段導(dǎo)線的電阻都是1。求AB間的總電阻。解： 設(shè)想A、B兩點(diǎn)上存在電勢(shì)差，由于電路

6、的對(duì)稱性可以知道D、C、兩點(diǎn)的電勢(shì)都應(yīng)該介乎與的中間，即，所以兩點(diǎn)應(yīng)是等電勢(shì)的。這樣，去掉CD段導(dǎo)線，對(duì)A、B間的總電阻不會(huì)有影響。當(dāng)去掉CD段導(dǎo)線后，就成為三路并聯(lián)，即ADB，ACB，和AB。于是：電流分布法設(shè)有電流I從A點(diǎn)流入、B點(diǎn)流出，應(yīng)用電流分流的思想和網(wǎng)絡(luò)中兩點(diǎn)間不同路徑等電壓的思想，（即基耳霍夫定理），建立以網(wǎng)絡(luò)中各支路的電流為未知量的方程組，解出各支路電流與總電流I的關(guān)系，然后經(jīng)任一路徑計(jì)算A、B兩點(diǎn)間的電壓，再由即可求出等效電阻。例7、10根電阻均為r的電阻絲接成如圖2-4-13所示的網(wǎng)絡(luò)，試求出A、B兩點(diǎn)之間的等效電阻。圖2-4-13由結(jié)構(gòu)對(duì)稱性，要求電流I從A點(diǎn)流入后在A點(diǎn)

7、的電流分布應(yīng)與電流I從B點(diǎn)流出前的電流分布相同，中間四方形必具有上、下電流分布對(duì)稱和左、右電流分布對(duì)稱，因此網(wǎng)絡(luò)內(nèi)電流分布應(yīng)如圖2-4-14所示。對(duì)圖中C點(diǎn)和D點(diǎn)，有電流關(guān)聯(lián)解得 圖2-4-14由A、E兩點(diǎn)間不同路線等電壓的要求，得即 解、兩式得選擇線路AEDB，可得 因此，A、B間等效電阻便為244、 無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)等效變換法若 （a0）在求x值時(shí)，x注意到是由無(wú)限多個(gè)組成，所以去掉左邊第一個(gè)對(duì)x值毫無(wú)影響，即剩余部分仍為x，這樣，就可以將原式等效變換為，即。所以圖2-4-15這就是物理學(xué)中解決無(wú)限網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題的基本思路。例8、如圖2-4-15所示，框架是用同種金屬絲制成的，單位長(zhǎng)度的電阻為，一連串內(nèi)

8、接等邊三角形的數(shù)目可認(rèn)為趨向無(wú)窮，取AB邊長(zhǎng)為a，以下每個(gè)三角形的邊長(zhǎng)依次減小一半，則框架上A、B兩點(diǎn)間的電阻為多大？從對(duì)稱性考慮原電路可以用如圖2-4-16所示的等效電路來(lái)代替，同時(shí)我們用電阻為的電阻器來(lái)代替由無(wú)數(shù)層“格子”所構(gòu)成的“內(nèi)”三角，并且電阻是這樣的，圖2-4-16，因此解此方程得到245、 電流疊加法解題步驟是：先考慮一支流入或流出系統(tǒng)的電流，把它看作在給系統(tǒng)充電或放電，利用對(duì)稱性求出系統(tǒng)中的電荷分布和電流場(chǎng)分布，求出每一支電流造成的分布后進(jìn)行疊加，使得電荷分布全部抵消，而電流場(chǎng)疊加作為所求的電流場(chǎng)。圖2-4-17例9、有一個(gè)無(wú)限平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它由大小相同的正六邊形網(wǎng)眼組成，如圖

9、2-4-17所示。所有六邊形每邊的電阻為，求：（1）結(jié)點(diǎn)a、b間的電阻。（2）如果有電流I由a點(diǎn)流入網(wǎng)絡(luò)，由g點(diǎn)流出網(wǎng)絡(luò)，那么流過(guò)de段電阻的電流 Ide為多大。解： （1）設(shè)有電流I自a點(diǎn)流入，流到四面八方無(wú)窮遠(yuǎn)處，那么必有電流由a流向c，有電流由c流向b。再假設(shè)有電流I 由四面八方匯集b點(diǎn)流出，那么必有電流由a流向c，有電流由c流向b。將以上兩種情況綜合，即有電流I由a點(diǎn)流入，自b點(diǎn)流出，由電流疊加原理可知（由a流向c）（由c流向b）因此，a、b兩點(diǎn)間等效電阻（2）假如有電流I從a點(diǎn)流進(jìn)網(wǎng)絡(luò)，流向四面八方，根據(jù)對(duì)稱性，可以設(shè)應(yīng)該有 因?yàn)閎、d兩點(diǎn)關(guān)于a點(diǎn)對(duì)稱，所以同理，假如有電流I從四面八方匯集到g點(diǎn)流出，應(yīng)該有最后，根據(jù)電流的疊加原理可知以上幾種方法可實(shí)現(xiàn)電路的化簡(jiǎn)。其中，電流