誤差理論習(xí)題答疑(合肥工業(yè)大學(xué),費(fèi)業(yè)泰主編

1、誤差理論習(xí)題答疑目錄1. 緒論 2. 誤差基本原理 3. 誤差的合成與分解 4. 最小二乘法原理 5. 回歸分析 緒論緒論1-41-4 在測(cè)量某一長(zhǎng)度時(shí)，讀數(shù)值為2.31m, 其最大絕對(duì)誤差為20um，試求其最大相對(duì)誤差。 解：最大相對(duì)誤差（最大絕對(duì)誤差）/測(cè)得值， 緒論1-51-5 使用凱特?cái)[時(shí)，由公式。 給定。今測(cè)出長(zhǎng)度 給定。今測(cè)出長(zhǎng)度為(1.04230 0.00005)m , 振動(dòng)時(shí)間T為(2.0480 0.0005)s 。試求g 及最大相對(duì)誤差。如果測(cè)出為 (1.04220 0.0005)m ，為了使g的誤差能小于，T的測(cè)量必須精確到多少？ 解：由得對(duì)進(jìn)行全微分，令，得，從而的最大相

2、對(duì)誤差為：由得，所以，。緒論1-71-7 為什么在使用微安表時(shí)，總希望指針在全量程的2/3范圍內(nèi)使用？,解：設(shè)微安表的量程為 ，測(cè)量時(shí)指針的指示值為X，微安表的精度等級(jí)為S，最大誤差,相對(duì)誤差，一般故當(dāng)X越接近相對(duì)誤差就越小，故在使用微安表時(shí)，希望指針在全量程的2/3范圍內(nèi)使用。緒論1-9,1-9 多級(jí)彈導(dǎo)火箭的射程為10000km時(shí)，其射擊偏離預(yù)定點(diǎn)不超過(guò)0.1km,優(yōu)秀選手能在距離50m遠(yuǎn)處準(zhǔn)確射中直徑為2cm的靶心，試評(píng)述哪一個(gè)射擊精度高？解：火箭射擊的相對(duì)誤差：選手射擊的相對(duì)誤差：所以，相比較可見(jiàn)火箭的射擊精度高。緒論1-10,1-10 若用兩種測(cè)量方法測(cè)量某零件的長(zhǎng)度L1=100mm

3、，其測(cè)量誤差分別為 而用第三種方法測(cè)量另一零件的長(zhǎng)度L2 =150mm ，其測(cè)量誤差為，試比較三種測(cè)量方法精度的高低. 解：第一種方法測(cè)量的相對(duì)誤差為：第二種方法測(cè)量的相對(duì)誤差為：m 第三種方法測(cè)量的相對(duì)誤差為： =相比較可知：第三種方法測(cè)量的精度最高，第一種方法測(cè)量的精度最低。第二章：誤差基本原理1.算術(shù)平均值2.標(biāo)準(zhǔn)差及算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差3.測(cè)量結(jié)果表達(dá)方式4.粗大誤差判斷及剔除誤差基本原理2-2,2-2 測(cè)量某物體共8次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為g）為236.45，236.37，23.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40。試求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差., 解：算

4、術(shù)平均值為： 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差是：2-3 用別捷爾斯法、極差法和最大誤差法計(jì)算習(xí)題2-2的標(biāo)準(zhǔn)差，并比較之。解：別捷爾斯法： 查表得：，所以：,最大誤差法：查表得：所以，綜上所述，用貝塞爾公式得到的標(biāo)準(zhǔn)差是0.0212g，別捷爾斯法計(jì)算得到的標(biāo)準(zhǔn)是0.02427g、極差法是0.02109g和最大誤差法是0.01941g，故最大誤差法計(jì)算的得到的標(biāo)準(zhǔn)差最小，別捷爾斯法最大。2-9 已知某儀器測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差為0.5 m m 。 若在該儀器上，對(duì)某一軸徑測(cè)量一次，測(cè)得值為26.2025mm，試寫(xiě)出測(cè)量結(jié)果。 若重復(fù)測(cè)量10次，測(cè)得值（單位為mm）為26.2025，26.2028，26.2028，26

5、.2025，26.2026，26.2022，26.2023，26.2025，26.2026，26.2022，試寫(xiě)出測(cè)量結(jié)果。 若手頭無(wú)該儀器測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差值的資料，試由中10次重復(fù)測(cè)量的測(cè)量值，寫(xiě)出上述、的測(cè)量結(jié)果。解： m ，測(cè)量結(jié)果： = 測(cè)量結(jié)果：,可由測(cè)得數(shù)據(jù)計(jì)算得： ,所以對(duì)，測(cè)量結(jié)果為：= = 對(duì)，測(cè)量結(jié)果為：2-12 甲、乙兩測(cè)量者用正弦尺對(duì)一錐體的錐角a各測(cè)量五次，測(cè)得值如下：a甲：7220 ，730 ，7235 ，7220 ，7215 a乙：7225 ，7225 ，7220 ，7250 ，7245 試求其測(cè)量結(jié)果。解：對(duì)于甲來(lái)說(shuō) 對(duì)于乙來(lái)說(shuō) =所以?xún)蓚€(gè)測(cè)量者的權(quán)是：不妨取所以，

6、 d s 即為所求。2-16 對(duì)某一線圈電感測(cè)量10次，前4次是和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，后6次是和另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，測(cè)得結(jié)果如下（單位為mH）：50.82，50.83，50.87，50.89；50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。試判斷兩組數(shù)據(jù)間有無(wú)系統(tǒng)誤差。解：用秩和檢驗(yàn)法有：將兩組數(shù)據(jù)混合排列，得 因?yàn)樗杂懈鶕?jù)懷疑存在系統(tǒng)誤差。2-17 等精度測(cè)量某一電壓10次，測(cè)得結(jié)果（單位為V）為25.94，25.97，25.98，26.01，26.04，26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。測(cè)量完畢后，發(fā)現(xiàn)測(cè)量裝置有接觸松動(dòng)現(xiàn)象，為

7、判斷是否接觸不良而引入系統(tǒng)誤差，將接觸改善后，又重新作了10次等精度測(cè)量，測(cè)得結(jié)果（單位為V）為25.93，25.94，25.98，26.02，26.01，25.90，25.93，26.04，25.94，26.02。試用t檢驗(yàn)法（取a為0.05）判斷兩測(cè)量值之間是否有系統(tǒng)誤差。解：用t檢驗(yàn)法判斷：第一次測(cè)量的數(shù)據(jù) ，第二次測(cè)量數(shù)據(jù)：； =所以： 因?yàn)?，取，查t分布表，得 所以，無(wú)根據(jù)懷疑測(cè)量列中存在系統(tǒng)誤差。2-19 對(duì)某量進(jìn)行兩組測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下： ;0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30 1.34 1.39 1.41

8、1.57 ;0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.50 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95試用秩和檢驗(yàn)法判斷兩組測(cè)量值之間是否有系統(tǒng)誤差。解：將兩組混合排列成下表：得，因?yàn)橹群蚑近似服從正態(tài)分布，所以，數(shù)學(xué)期望為，標(biāo)準(zhǔn)差，所以，,故，當(dāng)置信概率p 98.76% 時(shí)， 此時(shí)無(wú)根據(jù)懷疑兩組測(cè)量值之間存在系統(tǒng)誤差。2-20 對(duì)某量進(jìn)行15次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)為28.53，28.52，28.50，28.52，28.53，28.53，28.50，28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50

9、，若這些測(cè)得值以消除系統(tǒng)誤差，試用萊以特準(zhǔn)則、格羅布斯準(zhǔn)則和狄克松準(zhǔn)則分別判斷該測(cè)量列中是否含有粗大誤差 測(cè)量值。思路： 萊以特準(zhǔn)則：計(jì)算得，s= =根據(jù)萊以特準(zhǔn)則，第14次測(cè)量值的殘余誤差所以它含有粗大誤差，故將它剔除。再根據(jù)剩下的14個(gè)測(cè)量值重復(fù)上述步驟。 格羅布斯準(zhǔn)則：按照測(cè)量值的大小，順序排列得，現(xiàn)在有2個(gè)測(cè)量值可懷疑，由于 = - 故應(yīng)該先懷疑X(1)是否含有粗大誤差，計(jì)算, 。故第14個(gè)測(cè)量值X(1) 含有粗大誤差，應(yīng)剔除。注意：此時(shí)不能直接對(duì)x（15）進(jìn)行判斷，一次只能剔除一個(gè)粗差。重復(fù)上述步驟，判斷是否還含有粗差。狄克松準(zhǔn)則同理，判斷后每次剔除一個(gè)粗差后重復(fù)。第三章：誤差的合成

10、與分解知識(shí)點(diǎn)：1.系統(tǒng)誤差合成2.隨機(jī)誤差合成3.相關(guān)系數(shù)4.微小誤差取舍原則5.誤差的分解及等作用原則3-2 為求長(zhǎng)方體體積V，直接測(cè)量其各邊長(zhǎng)為 161.6 a mm = ， 44.5 b mm = ， 11.2 c mm = ，已知測(cè)量的系統(tǒng)誤差為 1.2 a mm D= ， 0.8 b mm D=- ，0.5 c mm D= ，測(cè)量的極限誤差為 0.8 a mm d = ，0.5 b mm d = ， 0.5 c mm d = ，試求立方體的體積及其體積的極限誤差。思路：1. 按測(cè)得值計(jì)算得V；2. 根據(jù)系統(tǒng)誤差的合成原理求得V的系統(tǒng)誤差；3. 計(jì)算長(zhǎng)方體的體積；4. 根據(jù)極限誤差的合

11、成原理求得極限誤差；此時(shí)可寫(xiě)出測(cè)量結(jié)果表達(dá)式。 解：因?yàn)?體積的系統(tǒng)誤差： 所以，長(zhǎng)方體的體積是： 極限誤差為（局部誤差方和根）： 所以，立方體的體積是，體積的極限誤差是3-4 測(cè)量某電路的電流 22.5 I mA = ，電壓12.6 U V = ，測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差分別為，求所耗功率P UI = 及其標(biāo)準(zhǔn)差p s 。解：先求所耗功率： 所以， -所以，該電路所耗功率為0.2835W，其標(biāo)準(zhǔn)差為 解：因?yàn)?所以， 解：如圖所示，由勾股定理得 然后對(duì)d1，d2，H1,H2分別求偏導(dǎo)，即得出誤差傳遞系數(shù)。3-10 假定從支點(diǎn)到重心的長(zhǎng)度為L(zhǎng)的單擺振動(dòng)周期為T(mén)，重力加速度可由公式 給出。若要求測(cè)量g的相對(duì)

12、標(biāo)準(zhǔn)差試問(wèn)按等作用原則分配誤差時(shí)，測(cè)量L和T的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)該是多少？ 因?yàn)闇y(cè)量項(xiàng)目有兩個(gè)，所以n= 2。按等作用原理分配誤差，得 同理， 綜上所述，測(cè)量L和T的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差分別是0.07072%和0.03536%。第五章：最小二乘法原理知識(shí)點(diǎn)：1.最小二乘法原理2.正規(guī)方程3.兩種參數(shù)估計(jì)的方法4.精度估計(jì)推薦掌握：基于矩陣的的最小二乘法參數(shù)估計(jì)參數(shù)最小二乘法估計(jì)矩陣形式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)及回顧：由誤差方程= -且要求最小，則： 所以：理論基礎(chǔ)： 5-1 由測(cè)量方程試求x、y的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。解：方法一（常規(guī)）：1.列出誤差方程組： 即， 由上式可解得結(jié)果：2. 直接列表計(jì)算給出正規(guī)方程常數(shù)

13、項(xiàng)和系數(shù)可得正規(guī)方程 將 y x，的結(jié)果代入分別求得： 得， 由題已知， ， 得 由不定乘數(shù)的方程組 - + = 方法二（按矩陣形式計(jì)算）：由誤差方程上式可以表示為即解得， 將最佳估計(jì)值代入誤差方程可得， 將計(jì)算得到的數(shù)據(jù)代入式中 為求出估計(jì)量 y ，x，的標(biāo)準(zhǔn)差，首先求出不定常數(shù)由已知，不定常數(shù)的系數(shù)與正規(guī)方程的系數(shù)相同，因而是矩陣中各元素，即 5-3 測(cè)力計(jì)示值與測(cè)量時(shí)的溫度t的對(duì)應(yīng)值獨(dú)立測(cè)得如下表所示。t/C 15 18 21 24 27 30/ FN 43.61 43.63 43.68 43.71 43.74 43.78設(shè)t 無(wú)誤差，F(xiàn)值隨t 的變化呈線性關(guān)系試給出線性方程中系數(shù)k0和

14、k的最小二乘估計(jì)及其相應(yīng)精度。解：利用矩陣求解，誤差方程可寫(xiě)成試中，所以 將最佳估計(jì)值代入誤差方程得 -為求出估計(jì)量 k 0,、k，的標(biāo)準(zhǔn)差,需要求出不定乘數(shù) dji 的系數(shù)，而不定乘數(shù)Dji 的系數(shù)與正規(guī)方程的系數(shù)相同，因而Dij是矩陣中各元素，即- 則 可得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為55 不等精度測(cè)量的方程組如下： 試求x、y的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。解：利用矩陣計(jì)算- 57 將下面的非線性誤差方程組化成線性的形式，并給出未知參數(shù) X1， x2，的二乘法處理及其相應(yīng)精度。 所以 解得 則 第六章回歸分析知識(shí)點(diǎn)：1.一元線性回歸2.多元線性回歸3.方差分析及顯著性檢驗(yàn)LOGO第六章回歸分析6-1

15、材料的抗剪強(qiáng)度與材料承受的正應(yīng)力有關(guān)。對(duì)某種材料試驗(yàn)的數(shù)據(jù)如下：正應(yīng)力/ x Pa 26.8 25.4 28.9 23.6 27.7 23.9抗剪強(qiáng)度 / y Pa 26.5 27.3 24.2 27.1 23.6 25.9/ x Pa 24.7 28.1 26.9 27.4 22.6 25.6/ y Pa 26.3 22.5 21.7 21.4 25.8 24.9假設(shè)正應(yīng)力的數(shù)值是精確的，求抗剪強(qiáng)度與正應(yīng)力之間的線性回歸方程。當(dāng)正應(yīng)力為24.5Pa時(shí)，抗剪強(qiáng)度的估計(jì)值是多少？解：6-7 在4 種不同溫度下觀測(cè)某化學(xué)反應(yīng)生成物含量的百分?jǐn)?shù)，每種在同一溫度下重復(fù)觀測(cè)三次，數(shù)據(jù)如下：求y對(duì)x的線性回歸方程，并進(jìn)行方差分析和顯著性檢驗(yàn)6-11 用表差法法驗(yàn)證下列數(shù)據(jù)可以用曲線表示。x 0.20 0.50 0.70 1.20 1.60 2.10 2.50 2.80 3.20 3.70y 4.22 4.32 4.45 5.33 6.68 8.91 11.22 13.39 16.53 21.20解：將表中 y x，畫(huà)圖得曲線如圖所示，從曲線上按讀取 列入下表。，因表中 極接近常數(shù)，此組觀測(cè)數(shù)據(jù)可用表示6-12 煉焦?fàn)t的焦化時(shí)間y與爐