奧數(shù)講義 工程問題.doc

1、 奧數(shù)專題第一講 工程問題（1）【學習方法指導】學習奧數(shù)能夠鍛煉孩子的思維能力。對于小升初的孩子們來說，奧數(shù)的學習還能增加升學的籌碼。記筆記這方法其實很普遍也很簡單，但恰恰是很多同學不容易做到的，記筆記有很多好處，一是可以把老師的精華記錄下來方便復習，二是練習學生的書寫能力，三是可以讓學生養(yǎng)成邊聽邊寫的學習能力，這對于提高學習效率是非常有效的。錯題本很多孩子都馬虎，但有些馬虎其實是同學對知識點理解不清晰造成的，這類的題目一定要記錄下來。還有的是出題者故意設計的陷阱，這也可以記錄下來，定時復習，久了之后很多馬虎自然而然地就避免了。題目分類本和錯題本一樣，專門記錄自己做過的試題，分類指的是將自己做

2、過的試題分為幾大類，一類是極其簡單，自己一看就會的。一類是有一定難度，需要思考找到突破口的，還有一類就是難度很大，需要綜合運用很多知識并進行推理才能解答的，后兩類都應該是我們的記錄重點。在對試題分類的過程中同學自然地就增強了對試題的進一步理解。舊題新解不定時的翻翻原來做過的試題，但是重點是思考有沒有新的解題思路和解題技巧。這樣不斷地增加思考有利于形成學生思考習慣的形成，也有利于學生發(fā)散思維的形成，多角度考察問題的思路，并隨時利用新學知識去解決問題。學習討論定期地和我分享好試題，好方法，好技巧，好經驗，學習到新的東西，提高學習效率，培養(yǎng)合作精神，增強協(xié)調能力。小學奧數(shù)工程問題試題專項練習（一）【

3、知識點】工程問題：顧名思義，工程問題指的是與工程建造有關的數(shù)學問題。其實，這類題目的內容已不僅僅是工程方面的問題，也括行路、水管注水等許多內容。在分析解答工程問題時，一般常用的數(shù)量關系式是：工作量=工作效率工作時間，工作時間=工作量工作效率，工作效率=工作量工作時間。工作量：指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)1表示，也可工作效率：指的是干工作的快慢，其意義是單位時間里所干的工作量。單位時間的選取，根據(jù)題目需要，可以是天，也可以是時、分、秒等。工作效率的單位是一個復合單位，表示成“工作量/天”，或“工作量/時”等。但在不引起誤會的情況下，一般不寫工作效率的單位?！镜湫屠}】例1 單獨

4、干某項工程，甲隊需100天完成，乙隊需150天完成。甲、乙兩隊合干50天后，剩下的工程乙隊干還需多少天？分析與解：以全部工程量為單位1。甲隊單獨干需100天，甲的工作效例2 某項工程，甲單獨做需36天完成，乙單獨做需45天完成。如果開工時甲、乙兩隊合做，中途甲隊退出轉做新的工程，那么乙隊又做了18天才完成任務。問：甲隊干了多少天？分析：將題目的條件倒過來想，變?yōu)椤耙谊犗雀?8天，后面的工作甲、乙兩隊合干需多少天？”這樣一來，問題就簡單多了。答：甲隊干了12天。例3 單獨完成某工程，甲隊需10天，乙隊需15天，丙隊需20天。開始三個隊一起干，因工作需要甲隊中途撤走了，結果一共用了6天完成這一工程

5、。問：甲隊實際工作了幾天？分析與解：乙、丙兩隊自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊6天的工作量，剩下的是甲隊干的，所以甲隊實際工作了例4 一批零件，張師傅獨做20時完成，王師傅獨做30時完成。如果兩人同時做，那么完成任務時張師傅比王師傅多做60個零件。這批零件共有多少個？分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時間，例5 一水池裝有一個放水管和一個排水管，單開放水管5時可將空池灌滿，單開排水管7時可將滿池水排完。如果一開始是空池，打開放水管1時后又打開排水管，那么再過多長時間池內將積有半池水？例6 甲、乙二人同時從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發(fā)后5分鐘

6、，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長時間兩人相遇？分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時間、路程、速度三者的關系來解答。甲出發(fā)5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發(fā)15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時間？由此看出，這道題應該用工程問題的解法來解答。答：甲再出發(fā)后15分鐘兩人相遇。小學奧數(shù)工程問題試題專項練習（一）參考答案與試題解析一、填空：1（3分）工程隊6天完成一項工程的，照這樣計算，完成全部工程要15天考點：簡單的工程問題分析：首

7、先求出一天完成這件工程的幾分之幾（工作效率），再求出全部完成需要的時間即可解答：解：1（6），=1，=15（天）；答：完成全部工程要15天故答案為：15點評：此題主要考查工作時間、工作效率、工作總量三者之間的數(shù)量關系，解答時往往把工作總量看作“1”，再利用它們的數(shù)量關系解答2（3分）打一篇稿件，甲單獨打要10小時，乙要12小時，甲乙工作時間的比是5：6，工作效率的比是6：5考點：比的意義；簡單的工程問題1923992分析：（1）求甲乙工作時間的比，用甲的工作時間比乙的工作時間，化簡即可；（2）求工作效率的比，把這份稿件的總量看做單位“1”，根據(jù)題意，甲的工作效率為，乙的工作效率為，二者相比即可

8、解答：解：（1）10：12=5：6；答：甲乙工作時間的比是5：6（2）：=6：5；答：工作效率的比是6：5故答案為：5：6，6：5點評：由此，我們得出結論：甲乙工作效率的比等于他們工作時間比的反比3（3分）做同樣的零件，甲要小時，乙要小時，甲乙工作時間的比是4：3，工作效率的比是3：4考點：簡單的工程問題1923992分析：甲乙工作時間的比是：，根據(jù)比的化簡方法化成最簡整數(shù)比，把工作量看作單位“1”根據(jù)工作量工作時間=工作效率，再求出甲乙的工作效率的比解答：解：甲乙工作時間的比是：=（24）：（24）=4：3；甲乙工作效率的比是：（1）：（1）=6：8=3：4；故答案為：4：3，3：4點評：此

9、題主要根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系，和比的化簡方法解決問題4（3分）加工一批零件，甲要12天，乙的工作效率是甲的，甲乙同時加工一共要6天考點：簡單的工程問題1923992分析：把這批零件的數(shù)量看作單位“1”，甲12完成，那么甲每天完成這批零件的，又知乙的工作效率是甲的，由此可以求出乙的工作效率=，再根據(jù)工作量工作效率之和=共同用的工作時間，列式解答解答：解：甲12完成，那么甲每天完成這批零件的，1（），=1（），=1，=1，=6（天）；答：甲乙同時加工一共要6天故答案為：6點評：此題主要考查工作時間、工作效率、工作總量三者之間的數(shù)量關系，解答時要注意從問題出發(fā)，找出已知條件與所

10、求問題之間的關系，再從已知條件回到問題即可解決問題5（3分）甲乙同時加工一批零件要20天，已知甲乙工作效率的比是5：4，乙單獨加工要45天考點：簡單的工程問題1923992分析：要求乙單獨加工需要幾天，必須先求出乙的工作效率，已知甲乙同時加工一批零件要20天，已知甲乙工作效率的比是5：4，把這批零件的數(shù)量看作單位“1”，甲乙的工作效率和是，乙的工作效率是=，再根據(jù)工作量工作效率=工作時間解答解答：解：1（），=1（）；=1，=45（天）；答：乙單獨加工要45天故答案為：45點評：此題屬于工程問題，工作量沒有給出具體的數(shù)量，把工作量看作單位“1”，再根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系解

11、答二、應用題6一項工程，甲單獨做要12天，乙要10天，丙要15天甲乙丙同時做要多少天？甲乙丙同時加工多少天能完成工程的一半？甲乙丙同時加工多少天這項工程還剩？如果甲先做5天，乙丙接著做，還要多少天？如果甲丙合作做4天后，再由乙做，完成任務時一共用了多少天？考點：簡單的工程問題1923992分析：根據(jù)題意，把這項工作的總量看作單位“1”，那么甲、乙、丙的工作效率分別是、，三人合做需要的時間為1（+），計算即可；要求甲乙丙同時加工多少天能完成工程的一半，用除以三人效率之和即可；這項工程還剩，也就是完成了，用除以三人效率和即可；甲先做5天，做了這項工程的5=，還剩，這時乙丙合做，求需要的時間，用除以

12、乙丙效率和即可；甲丙合作做4天后，還剩1（+）4=，這由乙來做，需要的時間是=4（天），再加上甲丙合作做的4天，共8天解答：解：1（+），=1，=4（天）；答：甲乙丙同時做要4天（+），=，=4，=2（天）；答：甲乙丙同時加工2天能完成工程的一半（1）（+），=，=4，=3（天）；答：甲乙丙同時加工3天這項工程還剩（15）（+），=（1），=6，=（天）；答：還要多少天天1（+）4+4，=1410+4=110+4，=10+4，=4+4，=8（天）；答：完成任務時一共用了8天點評：此題主要考查工作時間、工作效率、工作總量三者之間的數(shù)量關系，解答時要注意從問題出發(fā)，找出已知條件與所求問題之間的關系

13、，選擇正確的關系式解答7一個水池安有甲乙兩個水管，單開甲水管8小時可以把空池注滿，單開乙水管12小時可以把空池注滿，同時打開兩個水管，多少小時可以把空池注滿？考點：簡單的工程問題1923992分析：把這個水池的容積看成單位“1”，甲水管的工作效率是，乙水管的工作效率是，它們的和是合作的工作效率，用工作量除以合作的工作效率就是需要的工作時間解答：解：1（），=1，=（小時）；答：小時可以把空池注滿點評：此題主要考查工作時間、工作效率、工作總量三者之間的數(shù)量關系，解答時往往把工作總量看做1，再利用它們的數(shù)量關系解答830立方米木料，單做桌子可以做50張，單做凳子可以做200把，如果同時做桌凳，可以

14、做多少套？（兩種方法解）考點：整數(shù)、小數(shù)復合應用題1923992分析：方法一，根據(jù)除法的意義可知，做一張桌子需要3050=0.6立方米木料，做一個凳子需要30200=0.15立方米的木料，則做一套桌凳需要0.6+0.15=0.75立方米木料，所以果同時做桌凳，可以做30（0.6+0.15）套方法二，將這些木料看做單位“1”，單做桌子可以做50張，單做凳子可以做200把，則做一張桌子要用掉全總木料的，做一張凳子要用掉全部木料的，則做一套桌凳需要用掉全部木料的+，所以同時做桌凳，可以做1（+）套解答：解：方法一，30（3050+30200）=30（0.6+0.15），=300.75，=40（套）答

15、：可以做40套方法二，1（+）=1，=40（套）答：可以做40套點評：完成本題要注意第二種方法不用具體的數(shù)量解答，而是把具體的數(shù)量看做單位“1”9一項工程，甲單獨做要20天，乙要30天，其間甲乙各休息了幾天，結果16天才完成任務，已知甲休息了3天，乙休息了幾天？考點：簡單的工程問題1923992分析：由題意可知，甲乙的工作效率分別為，；16天才完成任務，甲休息了3天，則實際甲工作了163=13天則甲完成了總工作量的13=，則乙完成了總工作量的1=所以乙工作了=10.5天，則乙休息了1610.5=5.5天解答：解：161（163）=16113，=16130，=1630，=1610.5，=5.5（

16、天）答：乙休息了5.5天點評：明確這一過程中甲工作了13天，并根據(jù)工作效率工作時間=工作量求出甲完成的工作量是完成本題的關鍵10周五爸爸拿回了兩份稿件回家，為了趕交稿件，兄妹二人決定利用星期六幫爸爸打完稿件，具體情況如下：哥哥打甲稿件要3小時，打乙稿件要6小時；妹妹打甲稿件要8小時，打乙稿件要4小時，問：如何巧妙安排能使打完稿件的時間最短？考點：最優(yōu)化問題1923992分析：由題意可知，哥哥打甲稿件較快，妹妹打乙稿件較快因此可分工讓哥哥打甲稿件，妹妹打乙稿件由于哥哥打甲稿件3小時完成，妹妹打乙稿件4小時完成，則哥哥完成時，妹妹還有沒有打完，則這可和哥哥合打由于妹妹每小時打全部的，哥哥每小時打全

17、部的，所以這還需要打（+）=小時，所以共需3+=3小時解答：解：根據(jù)題意，可分工讓哥哥打甲稿件，妹妹打乙稿件哥哥完成后，再和妹妹合打乙稿件剩下的部分（13）（+）+3=（1）+3，=+3，=+3，=3（小時）答：讓哥哥打甲稿件，妹妹打乙稿件哥哥完成后，再和妹妹合打乙稿件剩下的部分用時最少，需要3小時點評：完成本題的關鍵要注意哥哥打完后，要和妹妹合打剩下的部分，這樣用時最少作業(yè)詳解1.某工程甲單獨干10天完成，乙單獨干15天完成，他們合干多少天才可完成工程的一半？2.某工程甲隊單獨做需48天，乙隊單獨做需36天。甲隊先干了6天后轉交給乙隊干，后來甲隊重新回來與乙隊一起干了10天，將工程做完。求乙隊在中間單獨工作的天數(shù)。3.一條水渠，甲、乙兩隊合挖需30天完工?，F(xiàn)在合挖12天后，剩下的乙隊單獨又挖了24天挖完。這