初二動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（含答案）

1、動(dòng)態(tài)問(wèn)題所謂“動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.關(guān)鍵:動(dòng)中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想一、單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題小菜一碟：如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在邊DC上，且DM=1，N為對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，則DN+MN的最小值為 例 （10年房山二模壓軸）25. （1）如圖1，已知矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EFBD于點(diǎn)F，EGAC于點(diǎn)G，CHBD于點(diǎn)H，試證明CH=EF+EG; (2) 若點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EFBD于點(diǎn)F，EGAC

2、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，CHBD于點(diǎn)H， 則EF、EG、H三者之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想； (3) 如圖3，BD是正方形ABCD的對(duì)角線,L在BD上，且BL=BC, 連結(jié)CL，點(diǎn)E是CL上任一點(diǎn), EFBD于點(diǎn)F，EGBC于點(diǎn)G，猜想EF、EG、BD之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想； (4) 觀察圖1、圖2、圖3的特性，請(qǐng)你根據(jù)這一特性構(gòu)造一個(gè)圖形， 使它仍然具有EF、EG、H這樣的線段，并滿足（1）或（2）的結(jié)論，寫出相關(guān)題設(shè)的條件和結(jié)論.1.(2009臨沂25)數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問(wèn)題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，且EF交正方形外角的平行線CF于點(diǎn)F

3、，求證：AE=EF經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證，所以在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由ADFCGEB圖1解：（1）正確ADFCGEBM證明：在上

4、取一點(diǎn)，使，連接，是外角平分線， ADFCGEB圖2， （ASA） （2）正確 證明：在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)使，連接 ADFCGEB圖3ADFCGEBN 四邊形是正方形， （ASA）2.（2009年江西中考題25）如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF/BC交CD于點(diǎn)F，AB4，BC6，B60（1）求點(diǎn)E到BC的距離；（2）點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PMEF交BC于M，過(guò)M作MN/AB交折線ADC于N，連結(jié)PN，設(shè)EPx當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(shí)（如圖2），PMN的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出PMN的周長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上時(shí)（如圖3），是

5、否存在點(diǎn)P，使PMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 圖1 圖2 圖3思路點(diǎn)撥1先解讀這個(gè)題目的背景圖，等腰梯形ABCD的中位線EF4，這是x的變化范圍平行線間的距離處處相等，AD與EF、EF與BC間的距離相等2當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(shí)，PMN中PM和MN的長(zhǎng)保持不變是顯然的，求證PN的長(zhǎng)是關(guān)鍵圖形中包含了許多的對(duì)邊平行且相等，理順線條的關(guān)系很重要3分三種情況討論等腰三角形PMN，三種情況各具特殊性，靈活運(yùn)用幾何性質(zhì)解題滿分解答（1）如圖4，過(guò)點(diǎn)E作EGBC于G在RtBEG中，B60，所以，所以點(diǎn)E到BC的距離為（2）因?yàn)锳D/EF/BC，E是AB的中點(diǎn)，所以

6、F是DC的中點(diǎn)因此EF是梯形ABCD的中位線，EF4如圖4，當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(shí)，PMN的形狀不是否發(fā)生改變過(guò)點(diǎn)N作NHEF于H，設(shè)PH與NM交于點(diǎn)Q在矩形EGMP中，EPGMx，PMEG在平行四邊形BMQE中，BMEQ1x所以BGPQ1因?yàn)镻M與NH平行且相等，所以PH與NM互相平分，PH2PQ2在RtPNH中，NH，PH2，所以PN在平行四邊形ABMN中，MNAB4因此PMN的周長(zhǎng)為4 圖4 圖5當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上時(shí)，CMN恒為等邊三角形如圖5，當(dāng)PMPN時(shí)，PMC與PNC關(guān)于直線PC對(duì)稱，點(diǎn)P在DCB的平分線上在RtPCM中，PM，PCM30，所以MC3此時(shí)M、P分別為BC、EF的中點(diǎn)，

7、x2如圖6，當(dāng)MPMN時(shí)，MPMNMC，xGMGCMC5如圖7，當(dāng)NPNM時(shí)，NMPNPM30，所以PNM120又因?yàn)镕NM120，所以P與F重合此時(shí)x4綜上所述，當(dāng)x2或4或5時(shí)，PMN為等腰三角形 圖6 圖7 圖8考點(diǎn)伸展第（2）題求等腰三角形PMN可以這樣解：如圖8，以B為原點(diǎn)，直線BC為x軸建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，），MNMC6m，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）由兩點(diǎn)間的距離公式，得當(dāng)PMPN時(shí)，解得或此時(shí)當(dāng)MPMN時(shí)，解得，此時(shí)當(dāng)NPNM時(shí)，解得，此時(shí)二、雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例：如圖1，梯形ABCD中，AD BC，B=90，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm

8、,點(diǎn)P從A開始沿AD邊以1cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C開始沿CB向點(diǎn)B以2 cm/秒的速度移動(dòng)，如果P，Q分別從A，C同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒。當(dāng)t= 時(shí)，四邊形是平行四邊形；6 當(dāng)t= 時(shí)，四邊形是等腰梯形. 81、（2012貴州遵義12分）如圖，ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過(guò)P作PEAB于E，連接PQ交AB于D（1）當(dāng)BQD=30時(shí)，求AP的長(zhǎng)；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長(zhǎng)；如果變化請(qǐng)說(shuō)明理由2、如圖，已知中

9、，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)(1）如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，與是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使與全等？（2）若點(diǎn)Q以中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在的哪條邊上相遇？AQCDBP解：（1）秒， 厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)， 厘米又厘米， 厘米， 又， ， ， ， 又，則，點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間秒， 厘米/秒。（2）設(shè)經(jīng)過(guò)秒后點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇， 由題意，得

10、，解得秒點(diǎn)共運(yùn)動(dòng)了厘米 ，點(diǎn)、點(diǎn)在邊上相遇，經(jīng)過(guò)秒點(diǎn)與點(diǎn)第一次在邊上相遇三、線動(dòng)問(wèn)題例：如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線從與重合的位置開始，繞點(diǎn)作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交邊于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，設(shè)直線的旋轉(zhuǎn)角為（1）當(dāng) 度時(shí)，四邊形是等腰梯形，此時(shí)的長(zhǎng)為 ；OECBDAlOCBA（備用圖）當(dāng) 度時(shí)，四邊形是直角梯形，此時(shí)的長(zhǎng)為 ；（2）當(dāng)時(shí)，判斷四邊形是否為菱形，并說(shuō)明理由解：（1）30，1；60，1.5；（2）當(dāng)=900時(shí)，四邊形EDBC是菱形.=ACB=900，BC/ED. CE/AB, 四邊形EDBC是平行四邊形在RtABC中，ACB=900，B=600,BC=2, A=300.AB=4,AC=

11、2. AO= .在RtAOD中，A=300，AD=2.BD=2. BD=BC. 又四邊形EDBC是平行四邊形，四邊形EDBC是菱形 ACBEDNM圖3ABCDEMN圖24、在ABC中，ACB=90，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且ADMN于D，BEMN于E.CBAED圖1NM(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：ADCCEB；DE=ADBE；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明.解：（1） ACD=ACB=90 CAD+ACD=90 BCE+ACD=90 CAD=BCE AC=BC ADCCEB ADCCEB CE=AD，CD=BE DE=CE+CD=AD+BE (2) A