常系數(shù)線性常微分方程

1、.,常系數(shù)高階,線性微分方程,一. 常系數(shù)線性齊次微分方程,二. 常系數(shù)線性非齊次微分方程,第六章,.,常系數(shù),齊次線性微分方程,基本思路:,求解常系數(shù)線性齊次微分方程,求特征方程(代數(shù)方程)之根,轉(zhuǎn)化,第六章,.,二階常系數(shù)齊次線性微分方程:,和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得,稱為微分方程的特征方程,1. 當(dāng),時, 有兩個相異實(shí)根,方程有兩個線性無關(guān)的特解:,因此方程的通解為,( r 為待定常數(shù) ),所以令的解為,則微分,其根稱為特征根.,.,2. 當(dāng),時, 特征方程有兩個相等實(shí)根,則微分方程有一個特解,設(shè)另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x , 則

2、得,因此原方程的通解為,.,3. 當(dāng),時, 特征方程有一對共軛復(fù)根,這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解:,利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:,因此原方程的通解為,.,小結(jié):,特征方程:,實(shí)根,以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .,.,若特征方程含 k 重復(fù)根,若特征方程含 k 重實(shí)根 r , 則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng),則其通解中必含,對應(yīng)項(xiàng),特征方程:,.,例1.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解為,例2. 求解初值問題,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解為,利用初始條件得,于是所求初值問題的解為,.,例3.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程通解為,例

3、4.,解: 特征方程:,特征根 :,原方程通解:,(不難看出, 原方程有特解,.,例5.,解: 特征方程:,即,其根為,方程通解 :,.,例6.,解: 特征方程:,特征根為,則方程通解 :,.,內(nèi)容小結(jié),特征根:,(1) 當(dāng),時, 通解為,(2) 當(dāng),時, 通解為,(3) 當(dāng),時, 通解為,可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .,.,思考與練習(xí),求方程,的通解 .,答案:,通解為,通解為,通解為,.,思考題,為特解的 4 階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解 .,解: 根據(jù)給定的特解知特征方程有根 :,因此特征方程為,即,故所求方程為,其通解為,.,常系數(shù)非齊次線性微分方程,一、,二、,第六

4、章,.,二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :,根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為,求特解的方法,根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) ., 待定系數(shù)法,.,一、, 為實(shí)數(shù) ,設(shè)特解為,其中 為待定多項(xiàng)式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,則取,從而得到特解,形式為,為 m 次多項(xiàng)式 .,Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項(xiàng)式,.,(2) 若 是特征方程的單根 ,為m 次多項(xiàng)式,故特解形式為,(3) 若 是特征方程的重根 ,是 m 次多項(xiàng)式,故特解形式為,小結(jié),對方程,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .,即,即,當(dāng) 是特征方程的 k 重

5、根 時,可設(shè),特解,.,例1.,的一個特解.,解: 本題,而特征方程為,不是特征方程的根 .,設(shè)所求特解為,代入方程 :,比較系數(shù), 得,于是所求特解為,.,例2.,的通解.,解: 本題,特征方程為,其根為,對應(yīng)齊次方程的通解為,設(shè)非齊次方程特解為,比較系數(shù), 得,因此特解為,代入方程得,所求通解為,.,例3. 求解定解問題,解: 本題,特征方程為,其根為,設(shè)非齊次方程特解為,代入方程得,故,故對應(yīng)齊次方程通解為,原方程通解為,由初始條件得,.,于是所求解為,解得,.,二、,第二步 求出如下兩個方程的特解,分析思路:,第一步 將 f (x) 轉(zhuǎn)化為,第三步 利用疊加原理求出原方程的特解,第四步

6、 分析原方程特解的特點(diǎn),.,第一步,利用歐拉公式將 f (x) 變形,.,第二步 求如下兩方程的特解,是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),故,等式兩邊取共軛 :,為方程 的特解 .,設(shè),則 有,特解:,.,第三步 求原方程的特解,利用第二步的結(jié)果, 根據(jù)疊加原理, 原方程有特解 :,原方程,均為 m 次多項(xiàng)式 .,.,第四步 分析,因,均為 m 次實(shí),多項(xiàng)式 .,本質(zhì)上為實(shí)函數(shù) ,.,小 結(jié),對非齊次方程,則可設(shè)特解:,其中,為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.,.,例4.,的一個特解 .,解: 本題,特征方程,故設(shè)特解為,不是特征方程

7、的根,代入方程得,比較系數(shù) , 得,于是求得一個特解,.,例5.,的通解.,解:,特征方程為,其根為,對應(yīng)齊次方程的通解為,比較系數(shù), 得,因此特解為,代入方程:,所求通解為,為特征方程的單根 ,因此設(shè)非齊次方程特解為,.,例6.,解: (1) 特征方程,有二重根,所以設(shè)非齊次方程特解為,(2) 特征方程,有根,利用疊加原理 , 可設(shè)非齊次方程特解為,設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:,.,思考與練習(xí),時可設(shè)特解為,時可設(shè)特解為,提示:,1 . (填空) 設(shè),.,2. 求微分方程,的通解 (其中,為實(shí)數(shù) ) .,解: 特征方程,特征根:,對應(yīng)齊次方程通解:,時,代入原方程得,故原方程通

8、解為,時,代入原方程得,故原方程通解為,.,3. 已知二階常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,解: 將特解代入方程得恒等式,比較系數(shù)得,故原方程為,對應(yīng)齊次方程通解:,原方程通解為,.,振動問題,當(dāng)重力與彈性力抵消時, 物體處于 平衡狀態(tài),例1. 質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復(fù)運(yùn)動,解:,阻力的大小與運(yùn)動速度,下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向,物體在彈性力與阻,取平衡時物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖.,設(shè)時刻 t 物位移為 x(t).,(1) 自由振動情況.,彈性恢復(fù)力,物體所受的力有:,(虎克定律),成正比, 方向相反.,建立位移滿足的微分方程.

9、,.,據(jù)牛頓第二定律得,則得有阻尼自由振動方程:,阻力,(2) 強(qiáng)迫振動情況.,若物體在運(yùn)動過程中還受鉛直外力,則得強(qiáng)迫振動方程:,.,例2.,解:,由例1 知, 位移滿足,質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運(yùn)動,初始,求物體的運(yùn)動規(guī)律,立坐標(biāo)系如圖,設(shè) t = 0 時物體的位置為,取其平衡位置為原點(diǎn)建,因此定解問題為,自由振動方程 ,.,方程:,特征方程:,特征根:,利用初始條件得:,故所求特解:,方程通解:,1) 無阻尼自由振動情況 ( n = 0 ),.,解的特征:,簡諧振動,A: 振幅, : 初相,周期:,固有頻率,(僅由系統(tǒng)特性確定),.,方程:,特征方程

10、:,特征根:,小阻尼: n k,這時需分如下三種情況進(jìn)行討論:,2) 有阻尼自由振動情況,大阻尼: n k,臨界阻尼: n = k,解的特征,解的特征,解的特征,.,( n k ),小阻尼自由振動解的特征 :,由初始條件確定任意常數(shù)后變形,運(yùn)動周期:,振幅:,衰減很快,隨時間 t 的增大物體趨于平衡位置.,.,( n k ),大阻尼解的特征:,1) 無振蕩現(xiàn)象;,此圖參數(shù):,2) 對任何初始條件,即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置.,.,( n = k ),臨界阻尼解的特征 :,任意常數(shù)由初始條件定,最多只與 t 軸交于一點(diǎn);,即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置.,2) 無振蕩現(xiàn)象 ;

11、,.,例3.,求物體的運(yùn)動規(guī)律.,解: 問題歸結(jié)為求解無阻尼強(qiáng)迫振動方程,當(dāng)p k 時,齊次通解:,非齊次特解形式:,因此原方程之解為,例1 中若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力 f,和鉛直干擾力,代入可得:,.,當(dāng)干擾力的角頻率 p 固有頻率 k 時,自由振動,強(qiáng)迫振動,當(dāng) p = k 時,非齊次特解形式:,代入可得:,方程的解為,.,若要利用共振現(xiàn)象, 應(yīng)使 p 與 k 盡量靠近, 或使,隨著 t 的增大 , 強(qiáng)迫振動的振幅,這時產(chǎn)生共振現(xiàn)象 .,可無限增大,若要避免共振現(xiàn)象, 應(yīng)使 p 遠(yuǎn)離固有頻率 k ;,p = k .,自由振動,強(qiáng)迫振動,對機(jī)械來說, 共振可能引起破壞作用,如橋梁被破壞,電機(jī)機(jī)座被破壞等,但對電磁振蕩來說,共振可能起有,利作用,如收音機(jī)的調(diào)頻放大即是利用共振原理.,.,求電容器兩兩極板間電壓,例4.,聯(lián)組成的電路, 其中R , L ,