高中數(shù)學(xué)必修五考點(diǎn)及典型例題

1、必修五 第一章 解三角形一、考點(diǎn)列舉1、正弦定理的理解與應(yīng)用2、余弦定理的理解與應(yīng)用二、?？碱}型1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些簡單三角形例1、在ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;（3）已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。解：（

2、1）應(yīng)用S=acsinB，得 S=14.823.5sin148.590.9(cm)(2)根據(jù)正弦定理， = c = S = bcsinA = bA = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5 S = 3.164.0(cm)(3)根據(jù)余弦定理的推論，得cosB = = 0.7697sinB = 0.6384應(yīng)用S=acsinB，得S 41.438.70.6384511.4(cm)例2、在ABC中，求證：（1）（2）+=2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點(diǎn)，聯(lián)想到用正弦定理來證明證明：（

3、1）根據(jù)正弦定理，可設(shè) = = = k顯然 k0，所以 左邊= =右邊（2）根據(jù)余弦定理的推論， 右邊=2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左邊2、利用正余弦定理測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.例1、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01n mile)解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根據(jù)余弦定理

4、，AC= = 113.15根據(jù)正弦定理, = sinCAB = = 0.3255,所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15n mile例2、在某點(diǎn)B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進(jìn)30m，至點(diǎn)C處測得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進(jìn)10m至D點(diǎn)，測得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 因為 sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin

5、60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法二：（設(shè)方程來求解）設(shè)DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 兩式相減，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2=2=30,=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m第二章 數(shù)列一、考點(diǎn)列舉1、數(shù)列的概念和簡單表示法2、等差數(shù)列的概念及其表示3、等比數(shù)列的概念及其表示4、簡單數(shù)列求和二、?？碱}型1、等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.例1 已知數(shù)列的通項公式，其中、是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項與公差分別是什么？ 分析：由等差數(shù)列的定義，要判定是不是等差數(shù)列，只要

6、看（n2）是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)。解：當(dāng)n2時, （取數(shù)列中的任意相鄰兩項與（n2）為常數(shù)是等差數(shù)列，首項，公差為p。例2 在等差數(shù)列中，若+=9, =7, 求 , .分析：要求一個數(shù)列的某項，通常情況下是先求其通項公式，而要求通項公式，必須知道這個數(shù)列中的至少一項和公差，或者知道這個數(shù)列的任意兩項（知道任意兩項就知道公差），本題中，只已知一項，和另一個雙項關(guān)系式，想到從這雙項關(guān)系式入手解： an 是等差數(shù)列 +=+ =9=9=97=2 d=72=5 =+(94)d=7+5*5=32 =2, =32例3.已知依次成等差數(shù)列，求證：依次成等差數(shù)列.分析：要證三個數(shù)成等差數(shù)列，只需證明等式：，即

7、證成立.證明： 成等差數(shù)列，（設(shè)其公差為），又， 成等差數(shù)列.例4、 等差數(shù)列中：（1）如果，求數(shù)列的通項公式（2）如果求分析：（1）求等差數(shù)列的通項公式只要求兩個量即可解：（法1）由題意故數(shù)列的通項公式為（法2），故分析：（2）顯然不能通過已知條件求出數(shù)列的通項公式，只有尋找已知條件和所求問題的關(guān)系解：而例5、等比數(shù)列中，求等比數(shù)列的通項公式分析：求等比數(shù)列的首項為，兩個參數(shù)即可解：（法1）設(shè)等比數(shù)列的道項為，公比為，由題意以下求解，不易找到思路轉(zhuǎn)換思路，利用等和列的性質(zhì)，不難得以下解法（法2）設(shè)等比數(shù)列的首項為,公比為，由題意故為方程的兩個根解得或或所以數(shù)列通項公式為或例6、在等比數(shù)列中，

8、已知，求該數(shù)列的第11項分析：首先根據(jù)已知條件求出等比數(shù)列的通項解：設(shè)首項為，公比為，則得：，將代入（1），得，所以，2、等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.例1、在等差數(shù)列中，已知，求前20項之和分析：本題可以用等差數(shù)列的通項公式和求和公式求，求解；也可以用等差數(shù)列的性質(zhì)求解解：法一由.由法二由，而，所以，所以例2、等差數(shù)列和的前項和分別為和，若對一切正整數(shù)都有，求的值.分析： 由、的通項公式可求得、的通項公式，利用等差數(shù)列前n項和公式的特點(diǎn)先假設(shè)公式的形式.解法一：令，則當(dāng)時，有，所以解法二：例3、設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，已知，為數(shù)列的前項和，求分析：由題設(shè)條件，不難求出和，

9、從而可得，再進(jìn)一步探求，看能否與等差或等比數(shù)列溝通解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，得即解得，.數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，故3、具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.例1、有若干臺型號相同的聯(lián)合收割機(jī)，收割一片土地上的小麥，若同時投入工作至收割完畢需用24小時；但它們是每隔相同的時間順序投入工作的，每臺投入工作后都一直工作到小麥?zhǔn)崭钔戤?，如果第一臺收割時間是最后一臺的5倍，求用這種方法收割完這片土地上的小麥需用多少時間分析：這些聯(lián)合收割機(jī)投入工作的時間組成一個等差數(shù)列，按所規(guī)定的方法收割，所需要的時間等于第一臺收割機(jī)所需的時間，即求數(shù)列的首項解：設(shè)從每臺

10、投入工作起，這臺收割機(jī)工作的時間依次為，小時依題意，是一個等差數(shù)列，且每臺收割機(jī)每小時的工作效率為，則有由（2），得，即，亦即（3）由（1），（3）得故用這種方法收割完這片土地上的全部小麥共需40小時例2、從盛滿升（）純酒精的容器里倒出1升，然后填滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，如此繼續(xù)下去問第次操作后溶液的濃度是多少？若，至少應(yīng)倒幾次后才能使酒精濃度低于？分析：這是一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，使實際問題數(shù)學(xué)化注意到開始濃度為1，操作一次后溶液濃度是.操作二次后溶液濃度是，操作次后溶液濃度是.則不難發(fā)現(xiàn)，每次操作后溶液濃度構(gòu)成等比數(shù)列，由此便建立了數(shù)列模型解決數(shù)列問題

11、，便可能達(dá)到解決實際問題之目的解：設(shè)每次操作后溶液濃度為數(shù)列，則問題即為求數(shù)列的通項依題意，知原濃度為1，構(gòu)成以首項，公比的等比數(shù)列，所以，故第次操作后酒精濃度是當(dāng)時，由，得.因此，至少應(yīng)操作4次后，才能使酒精濃度低于第二章 不等式及其解法一、考點(diǎn)列舉1、不等式的關(guān)系及其性質(zhì)2、一元二次不等式的解法3、二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃4、基本不等式二、?？碱}型1、了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系，會利用不等式的性質(zhì)證明不等式例1 已知a，b，cR+，求證：a3+b3+c33abc【分析】 用求差比較法證明證明：a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+

12、b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)a2+b2+c2-ab-bc-caa，b，cR+，a+b+c0(c-a)20即 a3+b3+c3-3abc0，a3+b3+c33abc例2 已知a，bR+，求證aabbabba【分析】 采用求商比較法證明證明：a，bR+，abba0例3 已知a、b、c是不全等的正數(shù)，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc【分析】 采用綜合法證明，利用性質(zhì)a2+b22ab證明：b2+c22bc，a0，a(b2+c2)2abc同理b(c2+a2)2abcc(a2+b2)2abca，b，c不全相等，中至少有一個

13、式子不能取“=”號+，得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc綜上所述，當(dāng)a0，b0，必有aabbabba2、通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系例1不等式的解集為,求實數(shù)的取值范圍 解：當(dāng)時，并不恒成立；當(dāng)時，則得 例2、若函數(shù)的值域為，求實數(shù)的取值范圍 解：令，則須取遍所有的正實數(shù)，即，而例3、解不等式：解： 當(dāng)時，； 當(dāng)時， 3、會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決例1（1）求的最大值，使式中的、滿足約束條件（2）求的最大值，使式中的、滿足約束條件解：（1）作出可行域 ；（2）令，則，當(dāng)直線和圓相切時，例2、制訂

14、投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損，某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據(jù)預(yù)測，甲、乙項目可能出的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%，投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元？才能使可能的盈利最大？解：設(shè)分別向甲、乙兩項目投資萬元，y萬元，由題意知（0,18）xO（6,0）（10,0）M（4,6）（0,10）目標(biāo)函數(shù)作出可行域，作直線，并作平行于直線的一組直線，與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過可行域上的M點(diǎn)，且與直線的距離最大，這里M點(diǎn)是直線和0.3x+0.1y=1.8的交點(diǎn)，解方程組解得x=4,y=6，此時z=14+0.56=7（萬元） 70 當(dāng)x=4、y=6時z取得最大值。答：投資人用4萬元投資甲項目、6萬元投資乙項目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大。4、會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}例1