高二數(shù)學(xué)立體幾何專題資料：空間的垂直關(guān)系與平行關(guān)系

1、空間的垂直關(guān)系基礎(chǔ)要點(diǎn)一、直線與平面垂直1.定義：若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的 ，則稱這條直線和平面互相垂直2.判定方法：（1）定義： （2）判定定理： （3）其他方法： ； ； 3.性質(zhì)定理： 二、兩個(gè)平面垂直1.定義：兩個(gè)平面相交，若 ，則稱這兩個(gè)平面垂直2.判定定理：3.性質(zhì)定理： ；三、三垂線定理及逆定理圖形三垂線定理逆定理文字語言符號(hào)語言題型一、線線垂直的問題例、已知ABCD為矩形，PA平面ABCD，AEPB于E，EFPC于F（）求證：AFPC（）設(shè)平面AEF交PD于G，求證：AGPD變式：已知，PA，PB垂足分別為A、B，又AQ，垂足為Q,連結(jié)BQ，求證:BQ題型二、線面垂直的問題例、

2、某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖所示,墩的上半部分是正四棱錐PEFGH,下半部分是長方體ABCDEFGH. 證明：直線平面.變式：如圖示，已知V是ABC所在平面外一點(diǎn)，VN垂直于平面ABC，且垂足N在ABC的高CD上，M是VC上的一點(diǎn)，求證：VC平面AMB題型三、面面垂直問題例、如圖，四棱錐的底面是正方形，點(diǎn)E在棱PB上,求證：平面； 變式:ABC是正三角形，EC平面ABC，BDCD,CE=CA=2BD,M是EA的中點(diǎn)，（）求證：DE=DA （）面BDM面ECA （）面DEA 面ECA題型四、垂直問題的轉(zhuǎn)化例、如圖，平面平面，為正方形，,求證：平面；變式：如圖示，在斜邊為AB的ABC中，

3、過A作PA平面ABC,AMPB于M,ANPC于N(1)求證:BC面PAC (2)求證：PB面AMN(3)設(shè)PA=AB=4,設(shè)BPC=，試用表示AMN的面積，當(dāng)取何值時(shí)，AMN的面積最大？最大面積是多少？自測訓(xùn)練、已知表示平面，表示直線，下列命題中正確的是（ ） A、若，則 B、若，則C、若，則 D、若，則、已知直線與平面，給出下列三個(gè)命題：若，則 若，則 若，則 其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ） A、0 B、1 C、2 D、3、如圖示，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿DE、DF把ADE、CDF、BEF折起，使A、B、C三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P，那么在四面體P-DEF中，必有（

4、 ）A、DM面PEF B、PM面DEF C、面PDE面PEF D、面PDE面DEF、直線不垂直于平面，則內(nèi)與垂直的直線有（ ） A、0條 B、1條 C、無數(shù)條 D、內(nèi)所有直線、點(diǎn)P是ABC所在平面外一點(diǎn)，且到三邊的距離相等，點(diǎn)O是P在平面ABC內(nèi)的射影，且點(diǎn)O在三角形內(nèi)，那么點(diǎn)O是ABC的（ ） A、垂心 B、內(nèi)心 C、外心 D、重心、已知是不重合的兩條直線，是不重合的兩個(gè)平面，有下列命題：若，則 若，則若，則且 若，且，則其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ） A、4 B、3 C、2 D、1、如圖，為正方體的中心，在該正方體各個(gè)面上的射影可能是（ ）A、(1)、(2)、(3)、(4) B、(1)、(3)

5、C、(1)、(4) D、(2)、(4)、對(duì)于四面體ABCD，給出下列四個(gè)命題：若，則 若，則若，則 若，則其中真命題的序號(hào)是 （寫出所有真命題的序號(hào)）、在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)三角形ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則”,拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積與底面積間的關(guān)系，可以得出正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩垂直，則 ”10、直三棱柱中，,E為的中點(diǎn)，,求證：CD平面空間的平行關(guān)系基礎(chǔ)要點(diǎn)1.公理4：用符號(hào)表示如下：設(shè)為直線，且，則 2.等角定理：空間中若兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng) ，且方向 ，則這兩個(gè)角相等3.直線與平面平行（1）定義

6、：如果 ，則這條直線和這個(gè)平面平行（2）判定：用定義判定定理： （3）性質(zhì)定理： 4.平面與平面平行（1）定義： ，就說這兩個(gè)平面平行 （2）判定：用定義判定定理： （3）性質(zhì)定理： 題型一、直線與直線平行例1、如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線平行于這兩個(gè)平面的交線設(shè)平面，直線，如圖示，求證：變式：如圖示，且，求證：題型二、直線與平面平行例2、已知A、B、C、D四點(diǎn)不共面，M、N分別是ABD和BCD的重心，求證：MN / 平面ACD變式：如圖示，兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,且AM=FN，求證:MN / 平面BCE題型三、平面與平面平行例4、P是ABC所在

7、平面外一點(diǎn)，分別是PBC、PAC、PAB的重心，（1）求證：平面/ 平面ABC(2) 求與ABC的面積之比變式：如圖示，在空間六邊形（即六個(gè)頂點(diǎn)沒有任何五點(diǎn)共面）ABCDEF中，每相鄰的兩邊互相垂直，邊長均等于，并且，求證：平面/ 平面題型四、平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化例4、已知AB、CD是夾在兩個(gè)平行平面之間的線段，MN分別為AB、CD的中點(diǎn)，求證：MN / 平面變式：已知平面四邊形ABCD在平面內(nèi)的正投影是一個(gè)平行四邊形，求證：四邊形ABCD是平行四邊形自測訓(xùn)練1、已知下列命題： 一條直線和另一直線平行，那么它就和經(jīng)過另一條直線的任何平面平行一條直線平行于一個(gè)平面，則這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都沒

8、有公共點(diǎn)，因此這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行若直線與平面不平行，則與內(nèi)任一直線都不平行與一平面內(nèi)無數(shù)條直線平行的直線必與此平面平行其中正確的個(gè)數(shù)是（） A、0個(gè) B、個(gè) C、個(gè) D、個(gè)2、下列命題中，不正確的是（）A、一條直線和兩個(gè)平面所成的角相等，那么B、兩個(gè)平面，則內(nèi)的任意直線平行于平面 C、一個(gè)三角形有兩條邊所在直線平行于一個(gè)平面，那么三角形所在平面與這個(gè)平面平行D、分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或異面直線、若是ABC兩邊中點(diǎn)的連線，為過第三邊的一個(gè)平面，那么（） A、 B、 C、或 D、以上都不對(duì)3、為三條不重合的直線，為三個(gè)不重合的平面，現(xiàn)給出六個(gè)命題：其中正確的

9、是（） A、 B、 C、D、4、已知平面平面，P是外一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線與分別交于A、C，過點(diǎn)P的直線與分別交于B、D, 且，則BD的長為（） A、16 B、24或 C、 D、5、已知平面平面，則給出下面四個(gè)結(jié)論：過點(diǎn)P和垂直的直線在內(nèi) 過P和垂直的直線在內(nèi)過P和垂直的直線必與垂直 過P和垂直的平面必與垂直其中正確的是（ ） A、 B、 C、 D、6、平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余三個(gè)頂點(diǎn)在的同側(cè)，已知其中有兩個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1和2，那么剩下的一個(gè)頂點(diǎn)到的距離可能是：1，2，3，4以上結(jié)論正確的是 (寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))7、已知是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題：若，則平行于內(nèi)的任意一條直線 若，則若，則 若，則上面命題中，真命題的序號(hào)是 （寫出所有真命題的序號(hào)）8、有以下四個(gè)論斷：平面與平面所成的銳角二面角相等 直線平面，平面是異面直線，且平面內(nèi)距離為的兩條平行直線在平面內(nèi)的射影仍為兩條距離