高中數(shù)學(xué)必修5不等式知識點總結(jié)與題型歸納經(jīng)典學(xué)案學(xué)案

1、3.1不等式與不等關(guān)系1）用不等式表示不等關(guān)系引例1：限速40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h，寫成不等式就是：引例2：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%，寫成不等式組就是用不等式組來表示問題1：設(shè)點A與平面的距離為d,B為平面上的任意一點，則。問題2：某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本。據(jù)市場調(diào)查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本。若把提價后雜志的定價設(shè)為x 元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢？解：設(shè)雜志社的定價為x元，則銷售的總收入為 萬元

2、，那么不等關(guān)系“銷售的總收入仍不低于20萬元”可以表示為不等式問題3：某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種。按照生產(chǎn)的要求，600mm的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足所有上述不等關(guān)系的不等式呢？解：假設(shè)截得500 mm的鋼管 x根，截得600mm的鋼管y根。根據(jù)題意，應(yīng)有如下的不等關(guān)系：（1）截得兩種鋼管的總長度不超過4000mm ;（2）截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管數(shù)量的3倍；（3）截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù)。要同時滿足上述的三個不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來表示：3.1不等式與不等關(guān)系回憶初中不等式的的基本性質(zhì)。（1）不等

3、式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，不等號的方向不改變；即若（2）不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不改變；即若（3）不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。即若1、不等式的基本性質(zhì)：證明以上的不等式的基本性質(zhì)證明：1）(ac)(bc)ab0，acbc2），實際上，我們還有，（證明：ab，bc，ab0，bc0根據(jù)兩個正數(shù)的和仍是正數(shù)，得(ab)(bc)0，即ac0，ac于是，我們就得到了不等式的基本性質(zhì)：（1） （2）（3） （4）2、探索研究思考，利用上述不等式的性質(zhì)，證明不等式的下列性質(zhì)：（1）；（2）；（3）。證明：1）ab，acbc,cd，bcbd,由、得

4、acbd2）3）反證法）假設(shè)，則：若這都與矛盾， 范例：例1、已知求證 。證明：以為，所以ab0,。于是 ，即,由c0 ，得3.隨堂練習(xí)12、在以下各題的橫線處適當(dāng)?shù)牟坏忍枺?1)（）2 2；（2）（）2 （1）2；（3） ；(4)當(dāng)ab0時，loga logb答案：(1) （2） （3） （4） 補(bǔ)充例題例2、比較(a3)（a）與（a2）（a4）的大小。分析：此題屬于兩代數(shù)式比較大小，實際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項之后，判斷差值正負(fù)(注意是指差的符號，至于差的值究竟是多少，在這里無關(guān)緊要)。根據(jù)實數(shù)運(yùn)算的符號法則來得出兩個代數(shù)式的大小。比較兩個實數(shù)大小的問題轉(zhuǎn)化為

5、實數(shù)運(yùn)算符號問題。解：由題意可知：（a3）（a）（a2）（a4）（a22a1）（a22a）0（a3）（a）（a2）（a4）隨堂練習(xí)21、 比較大?。海?）（x）（x）與（x）2 （2）4.小結(jié)學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)，并用不等式的性質(zhì)證明一些簡單的不等式，研究如何比較兩個實數(shù)（代數(shù)式）的大小作差法，其具體解題步驟可歸納為：第一步：作差并化簡，其目標(biāo)應(yīng)是n個因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式；第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時須進(jìn)行討論；第三步：得出結(jié)論3.2一元二次不等式及其解法2.新課1）一元二次不等式的定義象這樣，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式2）探究一元

6、二次不等式的解集怎樣求不等式（1）的解集？探究：（1）二次方程的根與二次函數(shù)的零點的關(guān)系容易知道：二次方程的有兩個實數(shù)根：,二次函數(shù)有兩個零點：于是，我們得到：二次方程的根就是二次函數(shù)的零點。（2）觀察圖象，獲得解集畫出二次函數(shù)的圖象，如圖，觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng) x5時，函數(shù)圖象位于x軸上方，此時，y0,即；當(dāng)0x5時，函數(shù)圖象位于x軸下方，此時，y0與 0）與 x軸的相關(guān)位置，分為三種情況，這可以由一元二次方程 =0的判別式三種取值情況( 0，=0，0）來確定.因此，要分二種情況討論（2）a0分O，=0，0與0(或0) 計算判別式，分析不等式的解的情況：.0時，求根，.=0時，求根，.0，

7、所以這輛汽車剎車前的車速至少為79.94km/h.例4、一個汽車制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x（輛）與創(chuàng)造的價值y（元）之間有如下的關(guān)系：，若這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，那么它在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)多少輛摩托車？解：設(shè)在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)x輛摩托車，根據(jù)題意，我們得到移項整理，得，因為，所以方程有兩個實數(shù)根，由二次函數(shù)的圖象，得不等式的解為：50x60因為x只能取正整數(shù)，所以，當(dāng)這條摩托車整車裝配流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量在5159輛之間時，這家工廠能夠獲得6000元以上的收益。 補(bǔ)充例題（1） 應(yīng)用一（一元二次不等式

8、與一元二次方程的關(guān)系） 例：設(shè)不等式的解集為，求?（2） 應(yīng)用二（一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系）例：設(shè)，且，求的取值范圍.改：設(shè)對于一切都成立，求的范圍.改：若方程有兩個實根，且，求的范圍.隨堂練習(xí)21、已知二次不等式的解集為，求關(guān)于的不等式的解集.2、若關(guān)于的不等式的解集為空集，求的取值范圍.改1：解集非空改2：解集為一切實數(shù)4.小結(jié)進(jìn)一步熟練掌握一元二次不等式的解法一元二次不等式與一元二次方程以及一元二次函數(shù)的關(guān)系3.3.1二元一次不等式（組）與平面區(qū)域2.新課1建立二元一次不等式模型把實際問題 數(shù)學(xué)問題：設(shè)用于企業(yè)貸款的資金為x元，用于個人貸款的資金為y元。（把文字語言 符號語言）（資

9、金總數(shù)為25 000 000元） （1）（預(yù)計企業(yè)貸款創(chuàng)收12%，個人貸款創(chuàng)收10%，共創(chuàng)收30 000元以上） 即 （2）（用于企業(yè)和個人貸款的資金數(shù)額都不能是負(fù)值） （3）將（1）（2）（3）合在一起，得到分配資金應(yīng)滿足的條件：2二元一次不等式和二元一次不等式組的定義（1）二元一次不等式：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫做二元一次不等式。（2）二元一次不等式組：有幾個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組。（3）二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式（組）的x和y的取值構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對（x,y），所有這樣的有序?qū)崝?shù)對（x,y）構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式（

10、組）的解集。（4）二元一次不等式（組）的解集與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點之間的關(guān)系：二元一次不等式（組）的解集是有序?qū)崝?shù)對，而點的坐標(biāo)也是有序?qū)崝?shù)對，因此，有序?qū)崝?shù)對就可以看成是平面內(nèi)點的坐標(biāo)，進(jìn)而，二元一次不等式（組）的解集就可以看成是直角坐標(biāo)系內(nèi)的點構(gòu)成的集合。3.探究二元一次不等式（組）的解集表示的圖形（1）回憶、思考回憶：初中一元一次不等式（組）的解集所表示的圖形數(shù)軸上的區(qū)間思考：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，二元一次不等式（組）的解集表示什么圖形？（2）探究從特殊到一般：先研究具體的二元一次不等式x-y6的解集所表示的圖形。如圖：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，x-y=6表示一條直線。平面內(nèi)所有的點被直線分成三類：

11、第一類：在直線x-y=6上的點；第二類：在直線x-y=6左上方的區(qū)域內(nèi)的點；第三類：在直線x-y=6右下方的區(qū)域內(nèi)的點。在平面直角坐標(biāo)系中，不等式x-y6表示直線x-y=6右下方的區(qū)域； 直線叫做這兩個區(qū)域的邊界由特殊例子推廣到一般情況：（3）結(jié)論：二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）4二元一次不等式表示哪個平面區(qū)域的判斷方法由于對在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點()，把它的坐標(biāo)（)代入Ax+By+C，所得到實數(shù)的符號都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點（x0,y0)，從Ax0+By0+

12、C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)C0時，常把原點作為此特殊點）【應(yīng)用舉例】例1 畫出不等式表示的平面區(qū)域。解：先畫直線（畫成虛線）.。取原點（0，0），代入+4y-4,0+40-4=-40,原點在表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式表示的區(qū)域如圖：歸納：畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常采用“直線定界，特殊點定域”的方法。特殊地，當(dāng)時，常把原點作為此特殊點。變式1、畫出不等式所表示的平面區(qū)域。變式2、畫出不等式所表示的平面區(qū)域。例2 用平面區(qū)域表示.不等式組的解集。分析：不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分

13、。解：不等式表示直線右下方的區(qū)域，表示直線右上方的區(qū)域，取兩區(qū)域重疊的部分，如圖的陰影部分就表示原不等式組的解集。歸納：不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分。變式1、畫出不等式表示的平面區(qū)域。變式2、由直線，和圍成的三角形區(qū)域（包括邊界）用不等式可表示為 。3.隨堂練習(xí)3.3.1二元一次不等式（組）與平面區(qū)域2.新課【應(yīng)用舉例】例3 某人準(zhǔn)備投資 1 200萬興辦一所完全中學(xué)，對教育市場進(jìn)行調(diào)查后，他得到了下面的數(shù)據(jù)表格（以班級為單位）：學(xué)段班級學(xué)生人數(shù)配備教師數(shù)硬件建設(shè)/萬元教師年薪/萬元初中45226/班2/人高中40354/

14、班2/人分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述的限制條件。解：設(shè)開設(shè)初中班x個，開設(shè)高中班y個，根據(jù)題意，總共招生班數(shù)應(yīng)限制在20-30之間，所以有考慮到所投資金的限制，得到。即 另外，開設(shè)的班數(shù)不能為負(fù)，則把上面的四個不等式合在一起，得到：用圖形表示這個限制條件，得到如圖的平面區(qū)域（陰影部分）例4 一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽18t；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t,硝酸鹽15t,現(xiàn)庫存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)兩種混合肥料。列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域。解：設(shè)x,y分別為計劃生產(chǎn)甲乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，于

15、是滿足以下條件：在直角坐標(biāo)系中可表示成如圖的平面區(qū)域（陰影部分）。補(bǔ)充例題例1、畫出下列不等式表示的區(qū)域(1) ； (2) 分析：(1)轉(zhuǎn)化為等價的不等式組； (2)注意到不等式的傳遞性，由，得，又用代，不等式仍成立，區(qū)域關(guān)于軸對稱。解：(1)或矛盾無解，故點在一帶形區(qū)域內(nèi)（含邊界）。(2) 由，得；當(dāng)時，有點在一條形區(qū)域內(nèi)(邊界)；當(dāng)，由對稱性得出。指出：把非規(guī)范形式等價轉(zhuǎn)化為規(guī)范不等式組形式便于求解例2、利用區(qū)域求不等式組的整數(shù)解分析：不等式組的實數(shù)解集為三條直線，所圍成的三角形區(qū)域內(nèi)部(不含邊界)。設(shè)，求得區(qū)域內(nèi)點橫坐標(biāo)范圍，取出的所有整數(shù)值，再代回原不等式組轉(zhuǎn)化為的一元不等式組得出相應(yīng)

16、的的整數(shù)值。解：設(shè)，。于是看出區(qū)域內(nèi)點的橫坐標(biāo)在內(nèi)，取1，2，3，當(dāng)1時，代入原不等式組有，得2，區(qū)域內(nèi)有整點(1,-2)。同理可求得另外三個整點(2,0)，(2,-1)，(3,-1)。3.隨堂練習(xí)21（1）； （2）； （3）2畫出不等式組表示的平面區(qū)域3.3.2簡單的線性規(guī)劃2.新課1、有關(guān)與生產(chǎn)安排的一個問題：引例：某工廠有A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天8h計算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？（1）用不等式組表示問題中的限制條件：設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)

17、品分別生產(chǎn)x、y件，又已知條件可得二元一次不等式組： .（1）（2）畫出不等式組所表示的平面區(qū)域：如圖，圖中的陰影部分的整點（坐標(biāo)為整數(shù)的點）就代表所有可能的日生產(chǎn)安排。（3）提出新問題：進(jìn)一步，若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大？（4）嘗試解答：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件時，工廠獲得的利潤為z,則z=2x+3y.這樣，上述問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x,y滿足不等式（1）并且為非負(fù)整數(shù)時，z的最大值是多少？把z=2x+3y變形為，這是斜率為，在y軸上的截距為的直線。當(dāng)z變化時，可以得到一族互相平行的直線，如圖，由于這些直線的斜率是確定的，因此只要給定一個點，

18、（例如（1，2），就能確定一條直線（），這說明，截距可以由平面內(nèi)的一個點的坐標(biāo)唯一確定。可以看到，直線與不等式組（1）的區(qū)域的交點滿足不等式組（1），而且當(dāng)截距最大時，z取得最大值。因此，問題可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線與不等式組（1）確定的平面區(qū)域有公共點時，在區(qū)域內(nèi)找一個點P，使直線經(jīng)過點P時截距最大。（5）獲得結(jié)果：由上圖可以看出，當(dāng)實現(xiàn)金國直線x=4與直線x+2y-8=0的交點M（4，2）時，截距的值最大，最大值為，這時2x+3y=14.所以，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品2件時，工廠可獲得最大利潤14萬元。2、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約

19、束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件線性目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于x、y的一次式z=2x+y是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解由所有可行解組成的集合叫做可行域使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解1、 變換條件，加深理解（1） 在上述問題中，如果生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利3萬元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利2萬元，有應(yīng)當(dāng)如何安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤？在換幾組數(shù)據(jù)試試。（2） 有上述過程，你能得出最優(yōu)解與可

20、行域之間的關(guān)系嗎？3.隨堂練習(xí)1掌握圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題.（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 滿足約束條件解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示：當(dāng)x=0,y=0時，z=2x+y=0。點（0，0）在直線:2x+y=0上.作一組與直線平行的直線:2x+y=t,tR. 可知，在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點且平行于的直線中，以經(jīng)過點A（2，-1）的直線所對應(yīng)的t最大.所以zmax=22-1=3.（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件解：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示：從圖示可知，直線3x+5y=t在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點時，以經(jīng)過點（-2

21、，-1）的直線所對應(yīng)的t最小，以經(jīng)過點（）的直線所對應(yīng)的t最大.所以zmin=3(-2)+(-1)=-11.zmax=3+5=143.3.2簡單的線性規(guī)劃2 若實數(shù)，滿足 求4+2的取值范圍錯解：由、同向相加可求得： 024 即 048 ，由得 11，將上式與同向相加得024 ，十得 04十212以上解法正確嗎?為什么?辨析上述解法中，確定的048及024是對的，但用的最大(小)值及的最大(小)值來確定4十2的最大(小)值卻是不合理的X取得最大（小）值時，y并不能同時取得最大（?。┲?。由于忽略了x和 y 的相互制約關(guān)系，故這種解法不正確正解：因為 4x+2y=3(x+y)+(x-y)，且由已有

22、條件有：（5），（6），將（5）（6）兩式相加得 ，所以3.隨堂練習(xí)11、求的最大值、最小值，使、滿足條件2、設(shè)，式中變量、滿足 4.小結(jié)結(jié)論一線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點處取得.結(jié)論二線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值也可能在可行域的邊界上取得，即滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個3.4基本不等式2.新課3給出證明？證明：因為。當(dāng)所以，即41）特別的，如果a0,b0,我們用分別代替a、b ，可得，通常我們把上式寫作： 2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式用分析法證明：要證 (1)只要證 a+b (2)要證（2），只要證 a+b- 0 （3）要證（3），只要證 （ - ） （4）顯然，（4）是

23、成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，（4）中的等號成立。 3）理解基本不等式的幾何意義探究： 在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？易證tADtDB，那么D2AB。即D.這個圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點C與圓心重合，即ab時，等號成立.因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”評述：1.如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項，看作是正數(shù)a、b的等比中項，那么該定理可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.2.在數(shù)學(xué)中，我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a、b的

24、幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).例題例1 已知x、y都是正數(shù)，求證：(1)2；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.分析：在運(yùn)用定理：時，注意條件a、b均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件)，進(jìn)行變形.解：x，y都是正數(shù) 0，0，x20，y20，x30，y30(1)2即2.(2)xy20 x2y220 x3y320（xy）（x2y2）（x3y3）222x3y3即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.3.練習(xí)1.已知a、b、c都是正數(shù)，求證（ab）（bc）（ca）abc分析：對于此類題目，選擇定理：（a0，b0）靈活變形，

25、可求得結(jié)果.解：a，b，c都是正數(shù)，ab20，bc20，ca20（ab）（bc）（ca）222abc，即（ab）（bc）（ca）abc.4.小結(jié)重要不等式a2b22ab；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（）.它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù).可以用它們下面的等價變形來解決問題：ab，ab（）2.3.4基本不等式2.新課例1（1）用籬笆圍成一個面積為100m的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？（2）段長為36 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面

26、積是多少?解：（1）設(shè)矩形菜園的長為x m，寬為y m，則xy=100，籬笆的長為2（x+y） m。由，可得 ， 。等號當(dāng)且僅當(dāng)x=y時成立，此時x=y=10.因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.（2）解法一：設(shè)矩形菜園的寬為xm，則長為（362x）m，其中0x，其面積Sx（362x）2x（362x）當(dāng)且僅當(dāng)2x362x，即x9時菜園面積最大，即菜園長9m，寬為9 m時菜園面積最大為81 m2解法二：設(shè)矩形菜園的長為x m.,寬為y m ,則2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜園的面積為xy m。由，可得 當(dāng)且僅當(dāng)x=y,即x=y=9時，等號成立。因此

27、，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園的面積最大，最大面積是81m歸納：1.兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，bR，且abM，M為定值，則ab，等號當(dāng)且僅當(dāng)ab時成立.2.兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，bR，且abP，P為定值，則ab2，等號當(dāng)且僅當(dāng)ab時成立.例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理。解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據(jù)題