聚類分析(數(shù)學(xué)建模)

1、.,聚類分析,.,分類,俗語說，物以類聚、人以群分。 但什么是分類的根據(jù)呢？ 比如，要想把中國的縣分成若干類，就有很多種分類法； 可以按照自然條件來分， 比如考慮降水、土地、日照、濕度等各方面； 也可以考慮收入、教育水準(zhǔn)、醫(yī)療條件、基礎(chǔ)設(shè)施等指標(biāo)； 既可以用某一項來分類，也可以同時考慮多項指標(biāo)來分類。,.,一、聚類分析的基本概念,研究對樣品或指標(biāo)進(jìn)行分類的一種多元統(tǒng)計方法,是依據(jù)研究對象的個體的特征進(jìn)行分類的方法。 聚類分析把分類對象按一定規(guī)則分成若干類，這些類非事先給定的，而是根據(jù)數(shù)據(jù)特征確定的。在同一類中這些對象在某種意義上趨向于彼此相似，而在不同類中趨向于不相似。 職能是建立一種能按照樣

2、品或變量的相似程度進(jìn)行分類的方法。,.,聚類分析,對于一個數(shù)據(jù)，人們既可以對變量（指標(biāo)）進(jìn)行分類(相當(dāng)于對數(shù)據(jù)中的列分類)，也可以對觀測值（事件，樣品）來分類（相當(dāng)于對數(shù)據(jù)中的行分類）。 比如學(xué)生成績數(shù)據(jù)就可以對學(xué)生按照理科或文科成績（或者綜合考慮各科成績）分類， 當(dāng)然，并不一定事先假定有多少類，完全可以按照數(shù)據(jù)本身的規(guī)律來分類。 本章要介紹的分類的方法稱為聚類分析（cluster analysis）。對變量的聚類稱為R型聚類，而對觀測值聚類稱為Q型聚類。這兩種聚類在數(shù)學(xué)上是對稱的，沒有什么不同。,.,聚類分析的基本思想是認(rèn)為我們所研究的樣本或指標(biāo)（變量）之間存在著程度不同的相似性（親疏關(guān)系）

3、。于是根據(jù)一批樣本的多個觀測指標(biāo)，具體找出一些彼此之間相似程度較大的樣本（或指標(biāo)）聚合為一類，把另外一些彼此之間相似程度較大的樣本（或指標(biāo)）又聚合為另一類，關(guān)系密切的聚合到一個小的分類單位，關(guān)系疏遠(yuǎn)的聚合到一個大的分類單位，直到把所有樣本（或指標(biāo)）都聚合完畢，把不同的類型一一劃分出來，形成一個由小到大的分類系統(tǒng)。最后把整個分類系統(tǒng)畫成一張譜系圖，用它把所有樣本（或指標(biāo)）間的親疏關(guān)系表示出來。這種方法是最常用的、最基本的一種，稱為系統(tǒng)聚類分析。,.,飲料數(shù)據(jù)（drink.sav ）,16種飲料的熱量、咖啡因、鈉及價格四種變量,.,如何度量遠(yuǎn)近？,如果想要對100個學(xué)生進(jìn)行分類，如果僅僅知道他們的

4、數(shù)學(xué)成績，則只好按照數(shù)學(xué)成績來分類；這些成績在直線上形成100個點。這樣就可以把接近的點放到一類。 如果還知道他們的物理成績，這樣數(shù)學(xué)和物理成績就形成二維平面上的100個點，也可以按照距離遠(yuǎn)近來分類。 三維或者更高維的情況也是類似；只不過三維以上的圖形無法直觀地畫出來而已。在飲料數(shù)據(jù)中，每種飲料都有四個變量值。這就是四維空間點的問題了。,.,兩個距離概念,按照遠(yuǎn)近程度來聚類需要明確兩個概念：一個是點和點之間的距離，一個是類和類之間的距離。 點間距離有很多定義方式。最簡單的是歐氏距離，還有其他的距離。 當(dāng)然還有一些和距離相反但起同樣作用的概念，比如相似性等，兩點越相似度越大，就相當(dāng)于距離越短。

5、由一個點組成的類是最基本的類；如果每一類都由一個點組成，那么點間的距離就是類間距離。但是如果某一類包含不止一個點，那么就要確定類間距離， 類間距離是基于點間距離定義的：比如兩類之間最近點之間的距離可以作為這兩類之間的距離，也可以用兩類中最遠(yuǎn)點之間的距離作為這兩類之間的距離；當(dāng)然也可以用各類的中心之間的距離來作為類間距離。在計算時，各種點間距離和類間距離的選擇是通過統(tǒng)計軟件的選項實現(xiàn)的。不同的選擇的結(jié)果會不同，但一般不會差太多。,.,二、距離,用 表示第i個樣本與第j個樣本之間的距離。一切距離應(yīng)滿足以下條件：,每個樣本有p個指標(biāo)，因此每個樣本可以看成p維空間中的一個點，n個樣本就組成p維空間中的

6、n個點，這時很自然想到用距離來度量n個樣本間的接近程度。,.,常見的距離有：,minkowski distance （明氏距離）：,當(dāng) q=1 block distance 絕對值距離:,當(dāng) q=2 squared euclidean distance 平方歐式距離,當(dāng)q= chebychev distance 切比雪夫距離,.,明氏距離在實際中應(yīng)用的很多，但也存在一些缺點：,處理辦法：標(biāo)準(zhǔn)化,2、指標(biāo)間的相關(guān)問題；,1、量綱的問題；,.,Mahalanobis 馬氏距離,改進(jìn)的辦法，采用馬氏距離,.,相似系數(shù),夾角余弦,相關(guān)系數(shù),., 夾角余弦 兩變量的夾角余弦定義為：,., 相關(guān)系數(shù) 兩變

7、量的相關(guān)系數(shù)定義為：,.,16,系統(tǒng)聚類方法,1 、最短距離（Nearest Neighbor),.,三、系統(tǒng)聚類法基本步驟,1. 選擇樣本間距離的定義及類間距離的定義； 2. 計算n個樣本兩兩之間的距離，得到距離矩陣 3. 構(gòu)造個類，每類只含有一個樣本； 4. 合并符合類間距離定義要求的兩類為一個新類； 5. 計算新類與當(dāng)前各類的距離。若類的個數(shù)為1，則轉(zhuǎn)到步驟6，否則回到步驟4; 6.畫出聚類圖； 7.決定類的個數(shù)和類。,.,系統(tǒng)聚類分析的方法,系統(tǒng)聚類法的聚類原則決定于樣品間的距離以及類間距離的定義，類間距離的不同定義就產(chǎn)生了不同的系統(tǒng)聚類分析方法。 以下用dij表示樣品X(i)和X(j

8、)之間的距離，當(dāng)樣品間的親疏關(guān)系采用相似系數(shù)Cij時，令 ； 以下用D(p,q)表示類Gp和Gq之間的距離。,.,3.重心法(CENtroid method),.,4.類平均法(AVErage method),.,例,為了研究遼寧等5省1991年城鎮(zhèn)居民生活消費情況的分布規(guī)律，根據(jù)調(diào)查資料做類型分類，用最短距離做類間分類。數(shù)據(jù)如下：,.,將每一個省區(qū)視為一個樣本，先計算5個省區(qū)之間的歐式距離，用D0表示距離矩陣（對稱陣，故給出下三角陣） 因此將3.4合并為一類，為類6，替代了3、4兩類 類6與剩余的1、2、5之間的距離分別為： d(3,4)1=min(d31,d41)=min(13.80,13

9、.12)=13.12 d(3,4)2=min(d32,d42)=min(24.63,24.06)=24.06 d(3,4)5=min(d35,d45)=min(3.51,2.21)=2.21,.,得到新矩陣 合并類6和類5，得到新類7 類7與剩余的1、2之間的距離分別為： d(5,6)1=min(d51,d61)=min(12.80,13.12)=12.80 d(5,6)2=min(d52,d62)=min(23.54,24.06)=23.54,.,得到新矩陣 合并類1和類2，得到新類8 此時，我們有兩個不同的類：類7和類8。 它們的最近距離 d(7,8) =min(d71,d72)=min(

10、12.80,23.54)=12.80,.,得到矩陣 最后合并為一個大類。這就是按最短距離定義類間距離的系統(tǒng)聚類方法。最長距離法類似！,.,26,最長距離（Furthest Neighbor ）,.,27,組間平均連接（Between-group Linkage),.,28,組內(nèi)平均連接法（Within-group Linkage),.,29,重心法（Centroid clustering):均值點的距離,.,類的個數(shù)的確定,由適當(dāng)?shù)拈撝荡_定； 根據(jù)數(shù)據(jù)點的散布直觀地確定類的個數(shù)； 根據(jù)統(tǒng)計量確定分類個數(shù)；,.,類的個數(shù)的確定,根據(jù)譜系圖確定分類個數(shù)的準(zhǔn)則： 各類重心間的距離必須很大； 類中保包

11、含的元素不要太多； 類的個數(shù)必須符合實際應(yīng)用； 如果采用幾種不同的聚類方法處理，則在各種聚類圖中應(yīng)該發(fā)現(xiàn)相同的類。,.,聚類分析,1、系統(tǒng)聚類法-（分層聚類）系統(tǒng)聚類法是應(yīng)用最廣泛的一種（Hierarchical Cluster過程） 1）、 聚類原則：都是相近的聚為一類，即距離最近或最相似的聚為 一類。 2）、 分層聚類的方法可以用于樣本聚類（Q）型，也可以用于變量聚類（R型）。 2、非系統(tǒng)聚類法-（快速聚類法-K-均值聚類法）（K-means Cluster) 3、兩步聚類法-一種探索性的聚類方法（TwoStep Cluster）,.,四、系統(tǒng)聚類的參數(shù)選擇 聚類類別： 統(tǒng)計 圖：樹型譜系

12、圖 冰柱譜系圖 聚類方法 1.Between-groups linkage 類間平均法 兩類距離為兩類元素兩兩之間平均平方距離 2.Within-groups linkage 類內(nèi)平均法 兩類距離為合并后類中可能元素兩兩之間平均平方距離 3.Nearest neighbor 最短距離法 4. Furthest neighbor 最長距離法 5.Centroid clustering 重心法 (歐式距離) 6.Median clustering 中間距離法 (歐式距離) 7.Ward Method 離差平方法 (歐式距離),.,.,數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理：,.,存儲中間過程數(shù)據(jù),.,數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理，并存

13、儲。,.,.,指定5類,.,收斂標(biāo)準(zhǔn)值,.,存儲最終結(jié)果輸出情況，在數(shù)據(jù)文件中（QCL-1、QCL-2）,.,初始聚心選項，輸出方差分析表,.,初始聚類中心表,.,具體城市看后表,最終聚類中心表,.,聚類結(jié)果：QCL-1說明聚類結(jié)果，QCL-2說明聚類的長度情況,.,主要城市日照時數(shù),.,注：連續(xù)變量,.,.,SPSS提供不同類間距離的測量方法 1、組間連接法 2、組內(nèi)連接法 3、最近距離法 4、最遠(yuǎn)距離法 5、重心法 6、中位數(shù)法 7、Ward最小偏差平方和法,.,觀測量概述表,.,聚類步驟，與圖結(jié)合看！,.,.,研究各種飲料在市場消費的分配規(guī)律，試確定各種飲料消費類型,.,.,.,.,.,

14、.,.,聚類分析的第幾步,哪兩個樣本或小類聚成一類,相應(yīng)的樣本距離或小類距離,指明是樣本(0)還是小類(n),下面第幾步用到,.,垂直冰柱圖顯示層次聚類分析,從冰柱圖最后一行開始觀察，第一列表示類數(shù),.,兩步聚類法 TwoStep Cluster,一種探索性的聚類方法，是隨著人工智能的發(fā)展起來的智能聚類方法中的一種。用于解決海量數(shù)據(jù)或具有復(fù)雜類別結(jié)構(gòu)的聚類分析問題。,兩步聚類法特點： 1、同時處理離散變量和連續(xù)變量的能力 2、自動選擇聚類數(shù) 3、通過預(yù)先選取樣本中的部分?jǐn)?shù)據(jù)構(gòu)建聚類模型 4、可以處理超大樣本量的數(shù)據(jù),.,簡單介紹基本原理 分兩步進(jìn)行 第一步：預(yù)聚類。對記錄進(jìn)行初始的歸類，用戶自定義最大類別數(shù)。通過構(gòu)建和修改特征樹（CT Free）完成。 第二步：正式聚類。對第一步完成的初步聚類進(jìn)行再聚類并確定最終的聚類方案，系統(tǒng)根據(jù)一定的統(tǒng)計標(biāo)準(zhǔn)確定聚類的類別數(shù)目。 以后，可以通過傳統(tǒng)的聚類方法進(jìn)行聚類（SPSS中采用合并型分層聚類法）