[新高考全案]2009-2010年高考數(shù)學(xué)Ι輪精品教案及其練習(xí)精析-《定積分與微積分的基本定理》

1、第4講 定積分與微積分的基本定理 知 識 梳理 1、定積分概念定積分定義：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點，將區(qū)間等分成幾個小區(qū)間，在每一個小區(qū)間上任取一點，作和，當(dāng)時，上述和無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即，這里、分別叫做積分的下限與上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.2、定積分性質(zhì)（1）；（2）（3）3、微積分基本定理一般地，如果是在上有定義的連續(xù)函數(shù)，是在上可微，并且，則，這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茲公式，為了方便，常常把，記作，即.4、常見求定積分的公式（1）（2）（C為常數(shù)）（3）（4）（5）（6）（7） 重

2、難 點 突 破 1.重點：定積分的計算和簡單應(yīng)用。2.難點：利用定積分求平面區(qū)域圍成的面積3.重難點：掌握定積分的計算，了解定積分的物理意義，會利用定積分求平面區(qū)域圍成的面積. （1）弄清定積分與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系問題1.一物體按規(guī)律做直線運動，式中為時間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比（比例常數(shù)為），試求物體由運動到時，阻力所做的功.解析：要求變力所做的功，必須先求出變力對位稱的變化函數(shù)，這里的變力即媒質(zhì)阻力，然后根據(jù)定積分可求阻力所做之功.解因為物體的速度所以媒質(zhì)阻力當(dāng)時，當(dāng)時，阻力所做功（2）掌握定積分在求曲邊梯形面積的方法.問題2. 求由拋物線與直線及所圍成圖形的面積.y解析：

3、作出及的圖形如右：6解方程組 得x解方程組 得62O所求圖形的面積 熱 點 考 點 題 型 探 析考點1: 定積分的計算題型1.計算常見函數(shù)的定積分例1. 求下列定積分（1）（2）（3）【解題思路】根據(jù)微積分基本定理，只須由求導(dǎo)公式找出導(dǎo)數(shù)為，的函數(shù)就可，這就要求基本求導(dǎo)公式非常熟悉.解：（1） （2） （3）【名師指引】簡單的定積分計算只需熟記公式即可.題型2:換元法求定積分例2.計算:【解題思路】：我們要直接求的原函數(shù)比較困難，但我們可以將先變式化為，再求積分，利用上述公式就較容易求得結(jié)果，方法簡便易行.解析： 【名師指引】較復(fù)雜函數(shù)的積分，往往難以直接找到原函數(shù)，常常需先化簡、變式、換元

4、變成基本初等函數(shù)的四則運算后，再求定積分.題型3:計算分段函數(shù)定積分例3. 求【解題思路】：首先是通過絕對值表示的分段函數(shù)，同時又是函數(shù)復(fù)合函數(shù)與的運算式，所以我們在計算時必須先把積分區(qū)間分段，再換元積分或奏變量完成.解析： 【名師指引】若被積函數(shù)含絕對值，往往化成分段函數(shù)分段積分，注意本題中，這實際是一種奏變量的思想，復(fù)合函數(shù)的積分通常可以奏變量完成，也可以換元完成.題型4:定積分的逆運算例4. 已知求函數(shù)的最小值.【解題思路】：這里函數(shù)、都是以積分形式給出的，我們可以先用牛頓萊布尼茲公式求出與，再用導(dǎo)數(shù)求法求出的最小值.解析： 當(dāng)時，最小=1 當(dāng)時，最小=1【名師指引】這是一道把積分上限函

5、數(shù)、二次函數(shù)最值，參數(shù)混合在一起綜合題，重點是要分清各變量關(guān)系. 積分、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)單調(diào)些，最值、解析式交匯出題是近幾年高考命題熱點，把它們之間的相互關(guān)系弄清是我們解此類問題的關(guān)鍵?！拘骂}導(dǎo)練】.1(廣東省揭陽二中2010屆高三上學(xué)期期中考試)計算： 解析:82. .設(shè) 則=（ ）A.B.C.D.不存在解析選C考點2: 定積分的應(yīng)用題型1.求平面區(qū)域的面積例1 求在上，由軸及正弦曲線圍成的圖形的面積.【解題思路】：因為在上，其圖象在軸上方；在上，其圖象在軸下方，此時定積分為圖形面積的相反數(shù)，應(yīng)加絕對值才表示面積.y解析：作出在上的圖象如右0x 與軸交于0、，所2求積【名師指引】利用定積分求平面圖

6、形的面積的步驟如下：第一步：畫出圖形，確定圖形范圍第二步：解方程組求出圖形交點坐標(biāo)，確定積分上、下限第三步：確定被積函數(shù)，注意分清函數(shù)圖形的上、下位置第四步：計算定積分，求出平面圖形面積題型2.物理方面的應(yīng)用例2. 汽車每小時54公里的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以等減速度3米/秒剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少公里？【解題思路】汽車剎車過程是一個減速運動過程，我們可以利用定積分算出汽車在這個過程中所走過的路程，計算之前應(yīng)先算出這一過程所耗費的時間和減速運動變化式.解析：由題意，千米/時米/秒，令得153t=0，t=5，即5秒時，汽車停車.所以汽車由剎車到停車所行駛的路程為公里答

7、：汽車走了0.0373公里.【名師指引】tvaboV=v(t)若作變速直線運動的物體的速度關(guān)于時間的函數(shù)為，由定積分的物理意義可知，作變速運動物體在時間內(nèi)的路程s是曲邊梯形（陰影部分）的面積，即路程；如果時，則路程. 搶 分 頻 道 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. （2010年廣東北江中學(xué)高三第二次月考）= 2. (2008學(xué)年廣東北江中學(xué)高三高三年級第一次統(tǒng)測試題) 3. = 4. 已知,當(dāng)= 時, .恒成立5. 求曲線，及所圍成的平面圖形的面積.思路分析：圖形由兩部分構(gòu)成，第一部分在區(qū)間上，及圍成，第一部分在上由與圍成，所以所求面積應(yīng)為兩部分面積之和.y=x2y=2xy解：作出，及的圖如右B(2,4)解

8、方程組 得 A(1,1)y=x21xo解方程組 得 所求面積 答：此平面圖形的面積為綜合拔高訓(xùn)練6. 設(shè)y=f（x）是二次函數(shù),方程f（x）=0有兩個相等的實根，且f（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表達(dá)式；（2）求y=f（x）的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積.（2）若直線x=t（0t1把y=f（x）的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值.解：（1）設(shè)f（x）=ax2+bx+c，則f（x）=2ax+b，又已知f（x）=2x+2a=1，b=2.f（x）=x2+2x+c又方程f（x）=0有兩個相等實根，判別式=44c=0，即c=1.故f（x）=x2+2x+1.（2）依題意，有所求面

9、積=.（3）依題意，有，t3+t2t+=t3t2+t，2t36t2+6t1=0，2（t1）3=1，于是t=1.7. 拋物線y=ax2bx在第一象限內(nèi)與直線xy=4相切此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S求使S達(dá)到最大值的a、b值，并求Smax解 依題設(shè)可知拋物線為凸形，它與x軸的交點的橫坐標(biāo)分別為x1=0，x2=b/a，所以(1)又直線xy=4與拋物線y=ax2bx相切，即它們有唯一的公共點，由方程組得ax2(b1)x4=0，其判別式必須為0，即(b1)216a=0于是代入（1）式得：，；令S(b)=0；在b0時得唯一駐點b=3，且當(dāng)0b3時，S(b)0；當(dāng)b3時，S(b)0故在b=3時，S(b)取