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1、,第八章,第七節(jié),一、方向?qū)?shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、梯度,三、物理意義,方向?qū)?shù)與梯度,實(shí)例：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？,問題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行,沿不同方向金屬板溫度變化的快慢怎么衡量？,一、問題的提出,討論函數(shù) 在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問題,二、方向?qū)?shù)的定義,（如圖）,當(dāng) 沿著 趨于 時(shí)，,是否存在？,記為,證明,由

2、于函數(shù)可微，則增量可表示為,兩邊同除以,得到,故有方向?qū)?shù),解,解,由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知,故,推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義,解,令,故,方向余弦為,故,三、梯度的概念,結(jié)論,在幾何上 表示一個(gè)曲面,曲面被平面 所截得,所得曲線在xoy面上投影如圖,等高線,梯度為等高線上的法向量,等高線概念,等高線的畫法,播放,梯度與等高線的關(guān)系：,類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.,梯度的概念可以推廣到三元函數(shù),解,由梯度計(jì)算公式得,故,1、方向?qū)?shù)的概念,2、梯度的概念,3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系,（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）,（注意梯度是一個(gè)向量）,四、小結(jié),思考題,思考題解答,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,等高線的畫法,等高線的畫法,等高線的畫法,等高線的畫法,等

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