四邊形復(fù)習(xí)提綱(經(jīng)典題型解析)匯總

1、.四邊形復(fù)習(xí)提綱【知識(shí)要點(diǎn)】1、四邊形的內(nèi)角和等于1800， n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)1800，任意多邊形的外角和等于3600，n邊形的對(duì)角線條數(shù)為n(n-3)/2.2、平行四邊形性質(zhì)：（1）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分；（2）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形.判定：（1）定義判定； （2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形； （3）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；（4）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形； （5）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.3、矩形性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)； （2）四個(gè)角都是直角； （3）對(duì)角線相等（推論：直角三角斜邊上的中

2、線等于斜邊的一半）； （4）既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形； （5）其面積等于兩條鄰邊的乘積.判定：（1）定義判定； （2）有三個(gè)角是直角的四邊形； （3）對(duì)角線相等的平行四邊形.4、菱形性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四條邊相等；（3）對(duì)角線互相垂直平分，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；（4）既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形；（5）其面積等于兩條對(duì)角線長乘積的一半（適用于所有對(duì)角線互相垂直的四邊形）. 判定：（1）定義判定；（2）四條邊相等的四邊形；（3）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形.5、正方形性質(zhì)：具有矩形、菱形的一切性質(zhì).判定：（1）定義判定； （2）先判定四邊形為矩形，再判定它

3、也是菱形； （3）先判定四邊形為菱形，再判定它也是矩形.6、等腰梯形性質(zhì)：（1）兩腰相等； （2）兩條對(duì)角線相等； （3）同一底上的兩個(gè)底角相等； （4）是軸對(duì)稱圖形.判定：（1）在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形； （2）對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形.7、平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰。推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊。8、兩個(gè)中位線定理三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，

4、并且等于兩底和的一半（推論：梯形面積等于中位線長與高的乘積）.9、中心對(duì)稱定義：強(qiáng)調(diào)必須旋轉(zhuǎn)180 重合。定理：（1）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形.（2）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分（存在逆定理）.10、各種四邊形之間的相互關(guān)系?！痉椒偨Y(jié)】與多邊形的角度、邊數(shù)、對(duì)角線數(shù)有關(guān)的問題，一般運(yùn)用公式列方程解決。2、分清各種四邊形的聯(lián)系與區(qū)別，明白定義、性質(zhì)與判定方法的正確使用（可以根據(jù)條件與結(jié)論的前后順序確定）。3、對(duì)角線是研究四邊形的常用輔助線，它既可以把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，又可以充分體現(xiàn)四邊形的所有特征。4、梯形中常添加輔助線，將其轉(zhuǎn)化為平行四邊形或者

5、三角形：（1）過較短底的頂點(diǎn)作梯形的高；（2）過一個(gè)頂點(diǎn)作腰的平行線；（3）過一個(gè)頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線；（4）延長兩腰相交； （5）連結(jié)上底的一個(gè)頂點(diǎn)與另一腰的中點(diǎn)，并延長與下底的延長線相交.梯形常用的輔助線如下圖:5、遇到有關(guān)中點(diǎn)的問題，?？紤]構(gòu)造中位線，或者使用“倍長中線法”.6、解決折疊問題，抓住“折疊前后重合的圖形關(guān)于折痕所在直線對(duì)稱”這一關(guān)鍵。7、“雙重對(duì)稱圖形”判斷妙著：一個(gè)軸對(duì)稱圖形，畫出一條對(duì)稱軸后，如果能畫出與它垂直的另一條對(duì)稱軸，那么這個(gè)軸對(duì)稱圖形同時(shí)也是中心對(duì)稱圖形，垂足即為對(duì)稱中心；如果能畫不出與它垂直的另一條對(duì)稱軸，那么這個(gè)軸對(duì)稱圖形一定不是中心對(duì)稱圖形.8、求特

6、殊圖形的面積，通常需要添加輔助線把它轉(zhuǎn)化為規(guī)范圖形，轉(zhuǎn)化的方法主要有“割”、“補(bǔ)”兩種.9、在眾多的定理中，要嚴(yán)格區(qū)分有無逆定理，比如平行線等分線段定理就不存在逆定理?！镜湫屠}剖析】【例1】若一凸多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和，則它的邊數(shù)是_.剖析：設(shè)此凸多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，以及“外角和等于3600”的推論，列方程，得(n - 2)1800 =3600.解得 n=4.【例2】下列圖案既是中心對(duì)稱，又是軸對(duì)稱的是 （ ） A. B. C. D.剖析：由“方法總結(jié)”第7條，易知選A.【例3】下列命題中，真命題是( )A.有兩邊相等的平行四邊形是菱形 B.有一個(gè)角是直角的四邊形

7、是矩形C.四個(gè)角相等的菱形是正方形 D.兩條對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形剖析：由各類平行四邊形的判定方法可知，A、B、D都不對(duì)，它們分別缺少了 “兩鄰邊”、“平行四邊形”、“對(duì)角線互相平分”等條件；C中四邊形的四個(gè)角相等，均為900，必是矩形，既是矩形又是菱形的四邊形當(dāng)然是正方形。故選C.【例4】如圖，ABCD的周長為16cm，AC、BD相交于點(diǎn)O，OEAC交AD于E，則DCE的周長為（ ） A4 cm B6cm C8cm D10cm剖析：由題意知，AD+CD=8cm。ABCD中，AC、BD互相平分，則OE為AC的垂直平分線，所以EC=EA。因此，DCE的周長=DE+EC+CD=DE+

8、EA+CD=AD+CD=8cm。故選C.【例5】如圖，在ABCD中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作AC的垂線與邊AC、BD分別交于E、F，求證：四邊形AFCE是菱形.剖析：解題時(shí)，注意區(qū)分判定定理與性質(zhì)定理的不同使用.ABCD中，AECF，1=2. 又AOE=COF，AO=CO.AOECOF，EO=FO. 四邊形AFCE是平行四邊形 . 又EFAC，AFCE是菱形.【例6】如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC、BD相交于O，四邊形AEFC是菱形，EHAC，垂足為H求證：EHFC剖析：容易證得，四邊形HOBE是矩形，則EH = BO = BD = AC = FC.【例7】探究規(guī)律：如圖1

9、，已知直線，A、B為直線上的兩點(diǎn)，C、P為直線上的兩點(diǎn)。（1）請(qǐng)寫出圖中面積相等的各對(duì)三角形： 。（2）如果A、B、C為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P在上移動(dòng)，那么無論P(yáng)點(diǎn)移動(dòng)到任何位置總有： 與ABC的面積相等； 理由是： 。圖1 圖2 圖3如圖2，五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成如圖3所示的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路（圖3中折線CDE）還保留著，張大爺想過E點(diǎn)修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時(shí)的一樣多。請(qǐng)你用有關(guān)的幾何知識(shí)，按張大爺?shù)囊笤O(shè)計(jì)出修路方案。（不計(jì)分界小路與直路的占地面積）（1）寫出設(shè)計(jì)方案，并在圖3中畫出相應(yīng)的圖

10、形；（2）說明方案設(shè)計(jì)理由。剖析：本題從一個(gè)簡單幾何原理入手，逐步深入探究，并用它解決實(shí)際問題，較好地體現(xiàn)了新時(shí)期的教學(xué)理念“創(chuàng)新”與“應(yīng)用”兩大主旋律。（1）ABC和ABP, AOC和BOP, CPA和CPB分別面積相等。（2）因?yàn)槠叫芯€間的距離相等，所以無論點(diǎn)P在m上移動(dòng)到任何位置，總有ABP與ABC同底等高，因此，它們的面積總相等. ABCDEFMN解決問題：（1）畫法如圖.連結(jié)EC, 過點(diǎn)D作DF/EC, 交CM于點(diǎn)F, 連結(jié)EF, EF即為所求直路的位置. （2）設(shè)EF交CD于點(diǎn)H,由上面得到的結(jié)論，可知：SECF=SECD, SHCF=SEDH.S五邊形ABCDE=S五邊形ABCF

11、E,S五邊形EDCMN= S四邊形EFMN.【例8】采用如圖所示的方法，可以把梯形ABCD折疊成一個(gè)矩形EFNM(圖中EF,FN,EM為折痕)，使得點(diǎn)A與B、C與D分別重合于一點(diǎn).請(qǐng)問，線段EF的位置如何確定;通過這種圖形變化，你能看出哪些定理或公式(至少三個(gè))？證明你的所有結(jié)論.提示：EF為梯形ABCD的中位線，可以看出梯形的中位線定理、面積公式、等腰三角形的性質(zhì)定理、平行線的性質(zhì)定理等等?；A(chǔ)題型1如圖在平行四邊形中，求這個(gè)平行四邊形各內(nèi)角的度數(shù)解：四邊形是平行四邊形，由于故設(shè)，則即解得因此，平行四邊形各內(nèi)角度數(shù)分別是，已知平行四邊形的周長為，相交于，且的周長比的周長小于，如圖，求平行四邊

12、形各邊的長解：四邊形為平行四邊形，的周長的周長且的周長比的周長小于又平行四邊形的周長為，如圖，已知：在平行四邊形中，是對(duì)角線，于，于求證：證明：方法一：四邊形是平行四邊形，方法二：連接，交于四邊形是平行四邊形，又，而（）如圖所示，在平行四邊形中，分別是，延長線上的點(diǎn)，且，則與具有怎么樣的位置關(guān)系？試說明理由解：證明：方法一：在平行四邊形中，又方法二連接，交于在平行四邊形中，（）方法三連接，交于，連接，由方法二知，四邊形為平行四邊形如圖，已知是平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，那么的周長為解：根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分以及對(duì)邊相等的性質(zhì)可知，的周長為 如圖平行四邊形中，與交于，則該圖形中的平行四邊形的個(gè)

13、數(shù)共有（） 由題意可知圖中的平行四邊形分別是：，所以共有個(gè).如圖，平行四邊形中，平分交于，交的延長線于，交于，交延長線于，垂足為，試證明：證明：四邊形為平行四邊形，平分，（），如圖，已知：，分別在的各邊上，延長到，使求證：與互相平分證明：連接，四邊形是平行四邊形，又，而四邊形為平行四邊形與互相平分如圖，已知是的邊的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，試說明：與互相平分 證明：連接，四邊形為平行四邊形，是中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形與互相平分如圖，點(diǎn)，分別在平行四邊形的邊，上，且，垂足分別為，求證：與互相平分證明：連接，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）與互相平分如圖，與

14、互相平分，交點(diǎn)為，與互相平分，交點(diǎn)為，那么，四邊形是平行四邊形么？你是怎么判定的？解：四邊形是平行四邊形證明：連接，與互相平分四邊形是平行四邊形，與互相平分四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形.如圖，已知,是的高，是的中點(diǎn)求證：證明：，是的高，均為直角三角形 是的中點(diǎn)是斜邊上的中線，是斜邊上的中線，.如圖，先將矩形紙片對(duì)折一次折痕為，展開后又將紙片折疊使點(diǎn)落在上，此時(shí)折痕為，求度數(shù)的大小提示：根據(jù)題意得過點(diǎn)作，垂足為則，（直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，反過來也成立）.過矩形對(duì)角線的中點(diǎn)作分別交，于,，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，求證：證明：連接四邊形是矩形是線段的垂直平分線，是中點(diǎn).在矩形，

15、,，將矩形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，在展開，求折痕的長解：,由勾股定理可得根據(jù)題意有，設(shè)，由勾股定理，即解得，（提示：對(duì)角線互相垂直的四邊形面積等于對(duì)角線乘積的一半）已知：如圖，是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，平分，求的度數(shù)答案：提示為等腰直角三角形，為等邊三角形，為等腰三角形 ，.如圖，為過的直角頂點(diǎn)的直線，且于，于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：證明：連接為直角三角形，為斜邊的中點(diǎn)，又（），為的中點(diǎn)，即又，（）總結(jié)：在直角三角形中，出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，常見的輔助線是斜邊上的中線以及中位線如圖是菱形邊的中點(diǎn)，于，交的延長線于，交于，求證：與互相平分證明：四邊形是菱形，（）（），即與互相平分方法二：連接，由，得，則且四邊形

16、為平行四邊形與互相平分如圖，在中，是的平分線，交于點(diǎn)，是邊上的高，交于，于求證：四邊形是菱形證明：是的平分線，是的平分線，四邊形是平行四邊形平行四邊形是菱形菱形中，如果它的一條對(duì)角線長為，求菱形的邊長解：若對(duì)角線，如圖四邊形為菱形，且則為等邊三角形菱形的邊長為若對(duì)角線，如圖四邊形為菱形，且則為等邊三角形又設(shè)，由勾股定理可得，解得，綜上所述：菱形的邊長為或如圖，四邊形是正方形，是的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且求證：證明：連接，設(shè)，則四邊形是正方形，為中點(diǎn)在中，在中，在中，則，是直角三角形（到初三的時(shí)候此題還有額外的證明方法）如圖，過正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，作于，作于，連接，求證：， 證明：連接，延長交于點(diǎn)四

17、邊形是正方形，（），四邊形為矩形（有三個(gè)角為直角的四邊形為矩形），（），如圖正方形中，是的中點(diǎn)，平分，交于求證： 證明：取線段的中點(diǎn)，連接四邊形為正方形，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)平分在與中思考：若點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其他條件不變，則上面的結(jié)論還成立么？請(qǐng)參考上面的解題思路，本題還有額外的證明方法，但是需要初三學(xué)習(xí)的知識(shí)，現(xiàn)在就不列舉了如圖，在梯形中，分別是，的中點(diǎn)，且，求證：梯形為等腰梯形證明：過分別作，的平行線交于，易知四邊形和四邊形都是平行四邊形，分別是，的中點(diǎn)，是線段的垂直平分線故梯形是等腰梯形已知等腰梯形中，求它的腰長 解：方法一：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)四邊形為平行四邊形，四邊形為等邊三角形，方法二過點(diǎn)

18、作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為四邊形為等腰梯形，（）四邊形為矩形，如圖，在中，平分，點(diǎn)是的中點(diǎn)求證： 證明：延長交于點(diǎn)，平分（）（又是高，又是角平分線，很容易聯(lián)想到“三線合一”），點(diǎn)是的中點(diǎn)是三角形的中位線，如圖，在梯形中，是中點(diǎn)求證： 證明：取中點(diǎn)，連接由梯形中位線性質(zhì)可知且與平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析第一類：連結(jié)對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例1如左下圖1，在平行四邊形中，點(diǎn)在對(duì)角線上，且,請(qǐng)你以為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）連結(jié) 證明：連結(jié),設(shè)交于點(diǎn)O四邊形為平行四邊形 即四邊形為平行四邊形 第二類：平移對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例2如右圖2，在平行四邊形中，對(duì)角線和相交于點(diǎn)O，如果，那么的取值范圍是（ ）A B C D解：將線段沿方向平移，使得,則有四邊形為平行四邊形,在中, ,，即 解得 故選A第三類：過一邊兩端點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問題。例3已知：如左下圖3，四邊形為平行四邊形 求證： 證明：過分別作于點(diǎn)，的延長線于點(diǎn)F 則四邊形為平行四邊形 且, 第四類：延長一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例4：已知：如右上圖4，在正方形中，分別是、的中點(diǎn)，與交于