機(jī)械振動(dòng)知識(shí)點(diǎn)

1、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)及其圖象知識(shí)點(diǎn)一：彈簧振子（一）彈簧振子如圖，把連在一起的彈簧和小球穿在水平桿上，彈簧左端固定在支架上，小球可以在桿上滑動(dòng)。小球滑動(dòng)時(shí)的摩擦力可以，彈簧的質(zhì)量比小球的質(zhì)量得多，也可忽略。這樣就成了一個(gè)彈簧振子。注意：（1）小球原來(lái) 的位置就是平衡位置。小球在平衡位置附近所做的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，是一種機(jī)械振動(dòng)。（2）小球的運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)，可以看作質(zhì)點(diǎn)。（3）彈簧振子是一個(gè)不考慮 阻力，不考慮彈簧的，不考慮振子（金屬小球）的 的 化的物理模型。（二）彈簧振子的位移時(shí)間圖象（1）振動(dòng)物體的位移是指由 位置指向 _的有向線段，可以說(shuō)某時(shí)刻的位移。說(shuō)明：振動(dòng)物體的位移與運(yùn)動(dòng)學(xué)中位移的含義不同，振子的位移總是

2、相對(duì)于 位置而言的，即初位置是 位置，末位置是振子所在的位置。（2）振子位移的變化規(guī)律振子的運(yùn)動(dòng)AOOBBOOA對(duì)O點(diǎn)位移的方向 向左 向右大小變化 減小 （4）彈簧振子的位移時(shí)間圖象是一條 曲線。知識(shí)點(diǎn)二：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)（一）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)如果質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系遵從函數(shù)的規(guī)律，即它的振動(dòng)圖象（x-t圖象）是一條正弦曲線，這樣的振動(dòng)，叫做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是機(jī)械振動(dòng)中最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)。彈簧振子的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。（二）描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量（1）振幅（A）振幅是指振動(dòng)物體離開 位置的 距離，是表征振動(dòng)強(qiáng)弱的物理量。一定要將振幅跟位移相區(qū)別，在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)過(guò)程中，振幅是變的，而位移是時(shí)刻在變的。（2

3、）周期（T）和頻率（f）振動(dòng)物體完成一次 所需的時(shí)間稱為周期，單位是秒（s）；單位時(shí)間內(nèi)完成 的次數(shù)稱為頻率，單位是赫茲（HZ）。周期和頻率都是描述振動(dòng)快慢的物理量。周期越小，頻率越大，表示振動(dòng)得越快。周期和頻率的關(guān)系是： （3）相位（）相位是表示物體振動(dòng)步調(diào)的物理量，用相位來(lái)描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在一個(gè)全振動(dòng)中所處的階段。（三）固有周期、固有頻率任何簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)都有共同的周期公式：，其中m是振動(dòng)物體的，k是回復(fù)力系數(shù)，對(duì)彈簧振子來(lái)說(shuō)k為彈簧的系數(shù)。對(duì)一個(gè)確定的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，m和k都是恒量，所以T和f也是恒量，也就是說(shuō)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期只由 本身的特性決定，與振幅 關(guān)，只由振子質(zhì)量和回復(fù)力系數(shù)決定。T叫系統(tǒng)

4、的周期，f叫頻率?？梢宰C明，豎直放置的彈簧振子的振動(dòng)也是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期公式也是。這個(gè)結(jié)論可以直接使用。（四）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式y(tǒng)=Asin（t+），其中A是，是t=0時(shí)的相位，即初相位或初相。知識(shí)點(diǎn)三：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力和能量（一）回復(fù)力：使振動(dòng)物體回到平衡位置的力。（1）回復(fù)力是以 命名的力。性質(zhì)上回復(fù)力可以是重力、彈力、摩擦力、電場(chǎng)力、磁場(chǎng)力等，它可能是幾個(gè)力的合力，也可能是某個(gè)力或某個(gè)力的分力。如在水平方向上振動(dòng)的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧在伸長(zhǎng)和壓縮時(shí)產(chǎn)生的力；在豎直方向上振動(dòng)的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧力和力的合力。（2）回復(fù)力的作用是使振動(dòng)物體回到平衡位置?；貜?fù)力的方向總是“ 平衡位置”。（3

5、）回復(fù)力是是振動(dòng)物體在 方向上的合外力，但不一定是物體受到的合外力。（二）對(duì)平衡位置的理解（1）平衡位置是振動(dòng)物體最終 振動(dòng)后振子所在的位置。（2）平衡位置是回復(fù)力為 的位置，但平衡位置 是合力為零的位置。（3）不同振動(dòng)系統(tǒng)平衡位置不同。豎直方向的彈簧振子，平衡位置是其彈力 于重力的位置；水平勻強(qiáng)電場(chǎng)和重力場(chǎng)共同作用的單擺，平衡位置在電場(chǎng)力與重力的合力方向上。（三）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征F回 ，a回kx/m，其中k為比例系數(shù)，對(duì)于彈簧振子來(lái)說(shuō)，就等于彈簧的系數(shù)。負(fù)號(hào)表示回復(fù)力的方向與位移的方向。也就是說(shuō)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是在跟對(duì)平衡位置的位移大小成正比、方向總是指向平衡位置的力作用下的振動(dòng)。彈簧振子在平衡

6、位置時(shí)F回=。當(dāng)振子振動(dòng)過(guò)程中，位移為x時(shí)，由胡克定律（彈簧不超出彈性限度），考慮到回復(fù)力的方向跟位移的方向相反，有F回= ，k為彈簧的勁度系數(shù)，所以彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。（四）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量特征振動(dòng)過(guò)程是一個(gè)動(dòng)能和勢(shì)能不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程，總的機(jī)械能。振動(dòng)物體總的機(jī)械能的大小與振幅有關(guān)，振幅越大，振動(dòng)的能量越 。知識(shí)點(diǎn)四：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各物理量大小、方向變化情況（一）全振動(dòng)振動(dòng)物體連續(xù)兩次運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（位移和速度）完全相同所經(jīng)歷的的過(guò)程，即物體運(yùn)動(dòng)完成一次規(guī)律性變化。（二）彈簧振子振動(dòng)過(guò)程中各物理量大小、方向變化情況過(guò)程：物體從A由靜止釋放，從AOBO ，經(jīng)歷一次全振動(dòng)，圖中O為平衡位置，A、B為最大位

7、移處：取OB方向?yàn)檎?物理量過(guò)程位移s 速度v 加速度a 回復(fù)力F 動(dòng)能Ek 勢(shì)能EP 運(yùn)動(dòng)性質(zhì) A 最大(-) 最大 最大kA 0最大 AO (-) 增大 減小 (+) 增大 減小 a的變加速運(yùn)動(dòng)O 0最大 0 0勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為動(dòng)能 OB (+) 減小(+) 增大 增大(-) 減小 a的變減速運(yùn)動(dòng)B 0 最大 0最大動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為勢(shì)能 BO 減小(+) 增大 減小(-) (-) 增大 a的變加速運(yùn)動(dòng)O 0 0 0勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為動(dòng)能 OA (-) 減小 增大 (+) 減小 增大 a的變減速運(yùn)動(dòng)小結(jié)：彈簧振子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是完全對(duì)稱的。 （1）B、O、A為三個(gè)特殊狀態(tài) O為平衡位置，即速度具有最大

8、值vmax，而加速度a A為負(fù)的最大位移處，具有加速度最大值amax，而速度vB為正的最大位移處，具有加速度最大值amax，而速度v （2）其運(yùn)動(dòng)為變加速運(yùn)動(dòng)與變減速運(yùn)動(dòng)的交替過(guò)程，在此過(guò)程中，機(jī)械能守恒，動(dòng)能和彈性勢(shì)能之間相互轉(zhuǎn)化 加速度a與速度v的變化 （3）任一點(diǎn)C的受力情況重力G與彈力N平衡；F回F彈kx，可看出回復(fù)力方向始終與位移方向相反 知識(shí)點(diǎn)五：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象的應(yīng)用（一）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象的物理意義圖象描述了做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律，即是位移時(shí)間函數(shù)圖象。注意振動(dòng)圖象 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。（二）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象的特點(diǎn)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象是一條正弦（余弦）曲線。（1）從平衡位置開始計(jì)時(shí)，函

9、數(shù)表達(dá)式為，圖象如圖1。（2）從最大位移處開始計(jì)時(shí)，函數(shù)表達(dá)式，圖象如圖2。（三）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象的應(yīng)用（1）振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的位移。如圖中，對(duì)應(yīng)t1、t2時(shí)刻的位移分別為x1=+7cm、x2=-5cm。（2）確定振動(dòng)的振幅、周期和頻率。圖中 位移的值就是振幅，如圖表示的振動(dòng)振幅是10cm；振動(dòng)圖象上一個(gè)完整的正弦（余弦）圖形在時(shí)間軸上拉開的“長(zhǎng)度”表示 。由圖可知，OD、AE、BF的間隔都等于 =0.2s；頻率。（3）確定各時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度（回復(fù)力）的方向。加速度方向總與位移方向相 。只要從振動(dòng)圖象中認(rèn)清位移的方向即可。例如在圖中t1時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位移x1為正，則加速度a1為負(fù)，兩者方向相反；

10、t2時(shí)刻，位移x2為負(fù)，則a2便為正；判定速度的方向的方法有：位移時(shí)間圖象上的斜率代表速度。某時(shí)刻的振動(dòng)圖象的斜率大于0，速度方向與規(guī)定的正方向 ；斜率小于0，速度的方向與規(guī)定的正方向 ；將某一時(shí)刻的位移與相鄰的下一時(shí)刻的位移比較，如果位移 ，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)將遠(yuǎn)離平衡位置；反之將靠近平衡位置。例如圖中在t1時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)正遠(yuǎn)離平衡位置運(yùn)動(dòng)；在t3時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)正向著平衡位置運(yùn)動(dòng)。（4）比較不同時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度、動(dòng)能、勢(shì)能的大小。加速度與 的大小成正比。如圖中|x1|x2|，所以|a1|a2|；而質(zhì)點(diǎn)的位移越大，它所具有的勢(shì)能越 ，動(dòng)能、速度則越 。如圖中，在t1時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能EP1大于t2時(shí)刻的勢(shì)能E

11、P2，而動(dòng)能則Ek1Ek1，速度v1v1。小結(jié)：若某段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度指向平衡位置（可為正也可為負(fù)），則質(zhì)點(diǎn)的速度、動(dòng)能均變 ，回復(fù)力、加速度、勢(shì)能均變 ，反之則相反。凡圖象上與t軸距離 的點(diǎn)，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)具有相同的動(dòng)能和勢(shì)能。單擺 外力作用下的振動(dòng)知識(shí)點(diǎn)一：?jiǎn)螖[（一）單擺如圖所示，一條 的細(xì)線下端拴一小球，上端固定，如果細(xì)線的質(zhì)量與相比可以忽略，球的直徑與的長(zhǎng)度相比可以忽略，這樣的裝置叫單擺。單擺是實(shí)際擺的理想化模型。（二）在擺角較小的條件下，單擺的振動(dòng)是運(yùn)動(dòng)證明：將擺球由平衡位置O點(diǎn)拉開一段距離，然后由靜止釋放，擺球在擺線拉力T和重力G共同作用下，沿圓弧在其平衡位置O點(diǎn)左右往復(fù)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)它擺

12、到位置P時(shí)，擺線與豎直夾角為， 將重力沿圓周切線方向和法線方向（半徑方向）分解成兩個(gè)分力G1與G2，其中G1=mgsin，G2=mgcosG2與T在一條直線上，它們的合力是維持?jǐn)[球做圓周運(yùn)動(dòng)的力。它改變了擺球的運(yùn)動(dòng)，而不改變其速度的大小。而G1不論擺球在平衡位置O點(diǎn)左側(cè)還是右側(cè)，始終沿圓弧切線方向平衡位置O，正是在G1的作用下擺球才在平衡位置附近做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，所以G1是擺球振動(dòng)的力。即：F回= 。在擺角較小的條件下，在考慮了回復(fù)力F回的方向與位移x方向間的關(guān)系，回復(fù)力可表示為：F回=。對(duì)一個(gè)確定的單擺來(lái)說(shuō)，m、都是確定值，所以為常數(shù)，即滿足F回=kx。所以在擺角較小的條件下，使擺球振動(dòng)的回復(fù)力跟

13、位移大小成，而方向與位移的方向，故單擺的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。（三）幾種常見(jiàn)的單擺模型ROa知識(shí)點(diǎn)二：探究單擺的周期與擺長(zhǎng)的關(guān)系（一）探究思路探究影響單擺周期的因素可以從單擺的裝置入手，單擺的裝置包括細(xì)繩和小球。因此影響單擺周期的因素可能有：細(xì)繩的長(zhǎng)度、小球的質(zhì)量、擺角等。在這里只探究單擺的周期與擺長(zhǎng)的關(guān)系。（二）操作技巧（1）實(shí)驗(yàn)所用的單擺應(yīng)符合理論要求，即擺線要 且彈性要 ，擺球用密度和質(zhì)量較 的小球，以減小空氣阻力影響，并且要在擺角較 的情況下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。（2）要使單擺在豎直平面內(nèi)振動(dòng)，不能使其形成 擺或擺球轉(zhuǎn)動(dòng)，方法是擺球拉到一定位置后由 釋放。（3）單擺的上端不要卷在夾子上，而要用夾子加緊，

14、以免單擺擺動(dòng)時(shí)擺線滑動(dòng)或者擺長(zhǎng)改變。（4）測(cè)量擺長(zhǎng)時(shí)，不能漏掉擺球的 。（5）測(cè)單擺周期時(shí)，應(yīng)從擺球通過(guò) 位置開始計(jì)時(shí)，在數(shù)到“零”的同時(shí)按下秒表開始計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)。計(jì)時(shí)從平衡位置開始是因?yàn)榇颂帞[球的速度最大，人在判定它經(jīng)過(guò)此位置的時(shí)刻，產(chǎn)生的計(jì)時(shí)誤差較小。要測(cè)量30次到50次全振動(dòng)的時(shí)間，然后取 值計(jì)算出一次全振動(dòng)的時(shí)間，即為單擺的振動(dòng)周期。（三）數(shù)據(jù)的處理先通過(guò)數(shù)據(jù)分析，對(duì)周期和擺長(zhǎng)的定量關(guān)系做出猜測(cè)，例如可能是、，或者 、然后按照猜測(cè)來(lái)確定縱坐標(biāo)軸和橫坐標(biāo)軸。例如，我們通過(guò)簡(jiǎn)單的估算，認(rèn)為很可能是，那么可以用縱坐標(biāo)表示T，橫坐標(biāo)表示，作出圖象。如果這樣作出的圖象確實(shí)是一條直線，說(shuō)明的確有的關(guān)系

15、，否則再做其他嘗試。（四）實(shí)驗(yàn)結(jié)論單擺的周期與擺長(zhǎng)的平方根成正比。知識(shí)點(diǎn)三：?jiǎn)螖[的周期（一）單擺的周期公式實(shí)驗(yàn)證明單擺的周期與振幅A關(guān)，與質(zhì)量m關(guān)，隨擺長(zhǎng)的增大而增大，隨重力加速度g的增大而減小。荷蘭物理學(xué)家惠更斯總結(jié)出單擺周期公式： （二）單擺的等時(shí)性在小振幅擺動(dòng)時(shí)，單擺的振動(dòng)周期與無(wú)關(guān)的性質(zhì)稱為單擺的等時(shí)性利用單擺振動(dòng)周期與振幅無(wú)關(guān)的等時(shí)性，可制成計(jì)時(shí)儀器，如擺鐘等。由單擺周期公式知道，調(diào)節(jié)即可調(diào)節(jié)鐘表的快慢。（三）等效擺長(zhǎng)與等效重力加速度在有些振動(dòng)系統(tǒng)中不一定是繩長(zhǎng)，g也不一定為9.8m/s2，因此出現(xiàn)了等效擺長(zhǎng)和等效重力加速度的問(wèn)題。（1）等效擺長(zhǎng)如圖所示，三根等長(zhǎng)的繩共同系住一密度均

16、勻的小球m，球直徑為d。與天花板的夾角。若擺球在紙面內(nèi)做小角度的左右擺動(dòng)，則擺動(dòng)圓弧的圓心在處，故等效擺長(zhǎng) ，周期 ；若擺球做垂直紙面的小角度擺動(dòng)，則擺動(dòng)圓弧的圓心在O處，故等效擺長(zhǎng)為 ，周期 。（2）等效重力加速度公式中的g由單擺所在的空間位置決定。由知，g隨地球表面不同位置、不同高度而變化，在不同星球上也不相同，因此應(yīng)求出單擺所在處的 代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2。g還由單擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定。單擺處在向上加速發(fā)射的航天飛機(jī)內(nèi)，設(shè)加速度為a，此時(shí)擺球處于超重狀態(tài)，沿圓弧切線方向的回復(fù)力變大，擺球質(zhì)量不變，則重力加速度的等效值 。若單擺若在軌道上運(yùn)行的航天飛機(jī)內(nèi)，擺球完全失重，回

17、復(fù)力為零，則等效值 ，所以周期為無(wú)窮大，即單擺不擺動(dòng)了。當(dāng)單擺有水平加速度a時(shí)（如加速運(yùn)動(dòng)的車廂內(nèi)），等效重力加速 ，平衡位置已經(jīng)改變。g還由單擺所處的物理環(huán)境決定。如帶電小球做成的單擺在豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，回復(fù)力應(yīng)是 力和 力的合力在圓弧切線方向的分力，所以也有等效值的問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)四：用單擺測(cè)當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?（一）實(shí)驗(yàn)?zāi)康睦脝螖[測(cè)定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋ǘ?shí)驗(yàn)器材鐵架臺(tái)（帶鐵夾）一個(gè)，中心有孔的金屬小球一個(gè)，長(zhǎng)約1m的細(xì)線一條，毫米刻度尺一根，游標(biāo)卡尺（選用），秒表一塊（三）實(shí)驗(yàn)原理單擺在偏角很小時(shí)的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)周期跟偏角的大小和擺球的質(zhì)量無(wú)關(guān)，這時(shí)單擺的周期公式是，變換這個(gè)公式

18、可得 。因此只要測(cè)出單擺的和 ，即可求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭的值。（四）實(shí)驗(yàn)步驟（1）在細(xì)線的一端打一個(gè)比小球上的孔徑稍大些的結(jié)，將細(xì)線穿過(guò)球上的小孔，制成一個(gè)單擺。（2）將鐵夾固定在鐵架臺(tái)的上端，鐵架臺(tái)放在實(shí)驗(yàn)桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，把做好的單擺固定在鐵夾上，使擺線自由下垂。（3）測(cè)量單擺的擺長(zhǎng)：用游標(biāo)卡尺測(cè)出擺球直徑2r，再用米尺測(cè)出從懸點(diǎn)至小球上端的懸線長(zhǎng)，則擺長(zhǎng) 。（4）把單擺從平衡位置拉開一個(gè)小角度，使單擺在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，用秒表測(cè)量單擺完成全振動(dòng)30至50次所用的時(shí)間t，求出完成一次所用的平均時(shí)間，這就是單擺的周期T。（5）重復(fù)上述步驟，將每次對(duì)應(yīng)的擺長(zhǎng)、周期T填于表中，按公式 算出每次g值，然后求出結(jié)果。擺長(zhǎng)（m）振動(dòng)次數(shù)n（s）N次歷時(shí)t（s）周期T（s）（m/s2）g（m/s2）平均值（m/s2）123（五）注意事項(xiàng)（1）選擇材料時(shí)擺線應(yīng)選擇 而不易 的線，長(zhǎng)度一般不應(yīng)短于1m；小球應(yīng)選用密度較 的金屬球，直徑應(yīng)較 ，最好不超過(guò)2cm；（2）單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵夾的桿上，應(yīng)夾緊在鐵夾中，以免擺動(dòng)時(shí)發(fā)生擺線下滑、擺長(zhǎng)改變的現(xiàn)象；（3）擺動(dòng)時(shí)控制擺線偏離豎直方向不超過(guò)10；