空間向量與立體幾何知識點(diǎn)歸納總結(jié)

1、空間向量與立體幾何知識點(diǎn)歸納總結(jié)一知識要點(diǎn)。1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不變性2. 空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）。 ;運(yùn)算律：加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行于，記作。（2）共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量、（），/存在實(shí)數(shù)，使。（3）三點(diǎn)共線：A、B

2、、C三點(diǎn)共線 （4）與共線的單位向量為4. 共面向量 （1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的條件是存在實(shí)數(shù)使。（3）四點(diǎn)共面：若A、B、C、P四點(diǎn)共面 5. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。若三向量不共面，我們把叫做空間的一個(gè)基底，叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)，使。6. 空間向量的直角坐標(biāo)系： （1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)

3、系中，對空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)。注：點(diǎn)A（x,y,z）關(guān)于x軸的的對稱點(diǎn)為(x,-y,-z),關(guān)于xoy平面的對稱點(diǎn)為(x,y,-z).即點(diǎn)關(guān)于什么軸/平面對稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。在y軸上的點(diǎn)設(shè)為(0,y,0),在平面yOz中的點(diǎn)設(shè)為(0,y,z)（2）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長為，這個(gè)基底叫單位正交基底，用表示。空間中任一向量=（x,y,z）（3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：若，則， ， 。若，則。一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起

4、點(diǎn)的坐標(biāo)。定比分點(diǎn)公式：若，則點(diǎn)P坐標(biāo)為。推導(dǎo)：設(shè)P（x,y,z）則,顯然，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，三角形重心P坐標(biāo)為ABC的五心：內(nèi)心P：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)。（單位向量）外心P：外接圓的圓心，中垂線的交點(diǎn)。垂心P：高的交點(diǎn)：（移項(xiàng)，內(nèi)積為0，則垂直）重心P：中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)（中位線比）中心：正三角形的所有心的合一。（4）模長公式：若，則，（5）夾角公式：。ABC中A為銳角A為鈍角，鈍角（6）兩點(diǎn)間的距離公式：若，則，或 7. 空間向量的數(shù)量積。（1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：。（2）

5、向量的模：設(shè)，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：。（3）向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即。（4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：。（5）空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：。（交換律）。（分配律）。不滿足乘法結(jié)合率：二空間向量與立體幾何1線線平行兩線的方向向量平行1-1線面平行線的方向向量與面的法向量垂直1-2面面平行兩面的法向量平行2線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直2-1線面垂直線與面的法向量平行2-2面面垂直兩面的法向量垂直3線線夾角（共面與異面）兩線的方向向量的夾角或夾角的補(bǔ)角，3-1線面夾角：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量與面的法向量的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其

6、補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾角.3-2面面夾角（二面角）：若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角. 4點(diǎn)面距離 ：求點(diǎn)到平面的距離： 在平面上去一點(diǎn)，得向量;； 計(jì)算平面的法向量;.4-1線面距離（線面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離4-2面面距離（面面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離【典型例題】1基本運(yùn)算與基本知識（）例1. 已知平行六面體ABCD，化簡下列向量表達(dá)式，標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。； ； ； 。例2. 對空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，問滿足向量式： （其中）的四點(diǎn)是否共面？ 例3 已知空間三點(diǎn)A（0，2，3），B（2，1，6），C（1，1，5）。

7、求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；若向量分別與向量垂直，且|，求向量的坐標(biāo)。2基底法（如何找，轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算）3坐標(biāo)法（如何建立空間直角坐標(biāo)系，找坐標(biāo)）4幾何法例4. 如圖，在空間四邊形中，求與的夾角的余弦值。說明：由圖形知向量的夾角易出錯(cuò)，如易錯(cuò)寫成，切記！例5. 長方體中，為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，又，求長方體的高。 【模擬試題】1. 已知空間四邊形，連結(jié)，設(shè)分別是的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量：（1）； （2）； （3）。2. 已知平行四邊形ABCD，從平面外一點(diǎn)引向量。（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）平面平面。3. 如圖正方體中，求與所成角的余弦。 5. 已知平行六面體中，求的長。參考答案1. 解：如圖， （1）；（2）。；（3）。2. 解：（1）證明：四邊形是平行四