數(shù)字謎之豎式謎(一)

1、A12標準奧數(shù)教程數(shù)字謎之豎式謎【知識點與基本方法】跟橫式數(shù)字謎一樣也是一種猜數(shù)的游戲。解豎式謎舊的根據(jù)有關(guān)的運算法則、數(shù)的性質(zhì)（和差積商的位數(shù)、數(shù)的整除性、奇偶性、尾數(shù)規(guī)律等）來進行正確地推理、判斷解答豎式數(shù)字謎是應(yīng)注意的問題：（1）空格中只能填寫0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，而且最高位不能為0；（2）進位要留意，不能漏掉（3）答案有時候不唯一（4）兩數(shù)字相加，最大進位為1，三個數(shù)字相加最大進位為2，（5）兩個數(shù)字相乘，最大進位為8（6）相同的字母（漢字或符號）代表相同的數(shù)字，不同的字母（漢字或符號）代表不同的數(shù)字加(7)一個問題，讀取整數(shù)型，并計算所有各位上數(shù)字的總和，直到該和降

2、至一位數(shù)。 例如：數(shù)字是1256 sum=1+2+5+6=14; sum=1+4=5;【例題精講】求100999一共900個三位數(shù)的各位數(shù)字之和也就是2700個數(shù)的和只需計算處各個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)便可0出現(xiàn)的次數(shù)這樣算0在個位上出現(xiàn)次數(shù)100990共90次0在十位上出現(xiàn)次數(shù)a00a09，a為19，共10*9=90次即數(shù)字0共出現(xiàn)了180次而數(shù)字19出現(xiàn)的次數(shù)相同為（2700-180）/9=280次所以所求數(shù)等于280*（1+2+9）=280*45=12600【例題精講】例1.下面的算式中，只有5個數(shù)字已寫出，請補充其他的數(shù)字 6 7+ 2 1 5分析：在5個方格中，要個填寫一個數(shù)字，是運算式成立

3、，先填哪一個？那就要我們找問題的突破口了從百位來看，和的千位數(shù)字只能是1.從市委相加來看，進位到百位，也只能進1，因此 2 的百位是九，和的百位是0.通過上面的分析就找到了問題的突破口了，15-7-6=2 11-2-1=8就得到算式的結(jié)果 6 7+ 2 1 5例3.圖中，有四個小紙片各蓋住了一個數(shù)字，問：被蓋住的四個數(shù)字綜合是多少？ + 1 4 9分析：先看個位，因為兩個數(shù)字相加，最大為9+9=18，所以兩個數(shù)的和不能是19.從而兩個被蓋住的個位數(shù)字之和等于9.由于個位數(shù)字相加不向十位進位，所以兩個被蓋住的十位數(shù)字的和14.因此被蓋主的四個數(shù)字的總和是14+9=23例4.在下面的方框中填上何時

4、得數(shù)字 7 6 1 8 3 1 0分析：由于積的各位舒適0，乘數(shù)的個位數(shù)是5，由此我們可以得到被乘得數(shù)與5相乘的1880，被乘數(shù)的百位數(shù)字是3，最后因為被乘數(shù)是376，積是310，所以乘數(shù)的十位數(shù)字是8解： 3 7 6 8 5 1 8 8 0 3 0 0 8 3 1 8 6 0例5.下面每個漢字個代表一個數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字，相同的漢字表示相同的數(shù)字，問：這些漢字個代表什么數(shù)字？ 北 京 北 京 市 + 愛 北 京 市 1 9 9 9分析：首先，我們立即得到“愛”表示=1，所以百位數(shù)字相加不進位，“北”小于5.又因為三個數(shù)字相加小于100+100+100=300所以“北”+“北”大于

5、6，從而“北”=4，知道“愛”和“北”個代表什么數(shù)字問題就很好解決了解：愛=1，北”=4 “京”=7 “市”=6例6.在圖6-1算式的每個空格中，各填入一個合適的數(shù)字，使豎式成立。 分析：首先根據(jù)十位上8+5得到4可知，個位有一個進位，所以，個位的空格中必定是9；再根據(jù)百位上兩個數(shù)相加，再加一個進位后得到9，并有進位可知，百位兩個空格中都是9；結(jié)果中的千位只能是1，于是得到：例7.如圖6-2，用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個數(shù)字各一次，可組成一個正確的加法豎式?，F(xiàn)已寫出3個數(shù)字，那么這個算式的結(jié)果是多少？ 分析：首先，結(jié)果中的千位為1；第二，百位上第一個數(shù)至少是7，最多是9；如

6、為7，那么，結(jié)果中的百位為0，并十位要有進位；由此第一個數(shù)的十位可以填6，第二個數(shù)的個位填9；如為9，顯然不行。所以，結(jié)果只能是：【課后練習題】6.在如圖6-3所示的算式中，3個加數(shù)的各位數(shù)字均是某兩個相鄰數(shù)字中的一個，那么這個算式的計算結(jié)果可能是多少？ 7.在圖6-6所示的算式中，每個方框代表一個數(shù)字。問：這6個方框中的數(shù)字的總和是多少？ 8.將1到9這9個數(shù)碼分別填入圖6-8的9個空格中，要求先填1，再在與1相鄰(即左、右或上、下)的格中填2，再在與2相鄰的空格中填3，依次類推，最后填9，使得加法算式成立。 二 加法與減法中數(shù)字和的變化在數(shù)字和的問題上，有許多有趣的、富于思考的問題。首先，

7、計算兩個數(shù)相加，數(shù)字和會怎樣變化，我們分開不進位加和進位加這兩種情況進行討論。先看546453與546435兩題，這兩題每題兩個加數(shù)的各位上的數(shù)字的和是546453=546435=27，而546453=999，加的過程沒有進位，所得的和999各位上的數(shù)字的和999=27；546435=981，兩個加數(shù)的數(shù)字和是27，加的過程個位上滿10向十位進1，有一次進位，所得的和981各位上的數(shù)字和981=18，比沒有進位時，和的數(shù)字和少9；再計算546534，兩個加數(shù)各位上的數(shù)字的和也是27，546534=1080，加的過程中，個位和百位分別都滿10，各向前一位進1，有兩次進位，所得的和1080各位上的

8、數(shù)字的和1080=9，比沒有進位時少了18，即少了2個9。由此我們可以得到這樣的規(guī)律：計算加法，沒有進位時，加得的和的數(shù)字和等于加數(shù)的數(shù)字和；有進位時，每進位一次，加得的和的數(shù)字和就減少1個9。同樣，我們也可以歸納出減法中數(shù)字和的變化規(guī)律：計算減法，沒有退位時，減得的差的數(shù)字和等于被減數(shù)的數(shù)字和減去減數(shù)的數(shù)字和的差；有退位時，每退位一次，減得的差的數(shù)字和就增加1個9。下面，我們用上面的規(guī)律來解答幾個問題。例1：有A、B兩個整數(shù)，A的各位數(shù)字的和是35，B的各位數(shù)字的和是29，如果A和B相加時有三次進位，那么把AB所得的和的各位數(shù)字相加，和是多少？解：如果相加時沒有進位，AB所得的和的各位數(shù)字相

9、加的和，等于A和B兩個加數(shù)數(shù)字和相加的和。3529=64，相加時，每進位一次，得數(shù)的數(shù)字和減少1個9，現(xiàn)有三次進位，得數(shù)的數(shù)字和減少3個9，所以AB所得的和的各位數(shù)字相加，和是6427=37。答：AB的和的數(shù)字和是37。例2：整數(shù)A減整數(shù)B有兩次退位，減得的差的數(shù)字和是13，已知A的各位數(shù)字的和是8，B的各位數(shù)字和是多少？解：A的各位數(shù)字的和是8，A減B的差的數(shù)字和卻是13，這有可能嗎？如果連同退位使差的數(shù)字和增加這一因素考慮在內(nèi)，這個結(jié)果是很正常的。A減B有兩次退位，使減得的差比不退位時增加29=18，也可以看作是13由被減數(shù)A的數(shù)字和8增加了18減去B的數(shù)字和得到的。所以B的各位數(shù)字的和是

10、81813=13。答：B的各位數(shù)字的和是13。例3：整數(shù)A的各位數(shù)字的和是24，整數(shù)B的各位數(shù)字的和是22，而AB的和的各位數(shù)字的和是10，在加的過程中有多少次進位？解：如果AB在計算中沒有進位，所得的和的各位數(shù)字的和是2422=46，現(xiàn)在AB的和的各位數(shù)字的和是10，比不進位時減少了4610=36，36里面包含9的個數(shù)是369=4，所以加的過程中有4次進位。答：在加的過程中有4次進位。例4：甲數(shù)和乙數(shù)的數(shù)字和都能被7整除，甲數(shù)加乙數(shù)，得數(shù)的數(shù)字和是3，甲數(shù)減乙數(shù)，差最小是幾？解：甲數(shù)和乙數(shù)的數(shù)字和都能被7整除，相加時如果沒有進位，所得的和的數(shù)字和也能被7整除，現(xiàn)已知甲數(shù)加乙數(shù)得數(shù)的數(shù)字和是3

11、，不能被7整除，因此，甲數(shù)加乙數(shù)必定有若干次進位，3至少加上2個9，得到329=21，能被7整除，而21=714，即甲數(shù)和乙數(shù)的數(shù)字和一個是7，一個是14，并且甲數(shù)加乙數(shù)有兩位進位。當甲數(shù)是61，乙數(shù)是59時，甲數(shù)減乙數(shù)的差為6159=2，這是最小的差。答：差最小是2。例5：11000這1000個自然數(shù)所有數(shù)字的和是多少？解：11000這1000個自然數(shù)所有數(shù)字的和比11000這1000個數(shù)的和小得多，這是因為把11000這1000個數(shù)相加時，有多次進位，每進位1次，比不進位時數(shù)字和都減少9，把加得的和按數(shù)字和計算的進位次數(shù)減去9的個數(shù)，才得到所有數(shù)字的和，但這樣計算太繁了。為了簡便地計算這1

12、000個數(shù)所有數(shù)字的和，可以把這1000個數(shù)按以下的方法分組，使每一組相加時都不進位，然后算出每組和的數(shù)字和，再求出各組數(shù)字和的總和，就是1000個數(shù)所有數(shù)字的和。 1 2 3 4 4991000 999 998 997 996 995 5001000 999 999 999 999 999 999 各組數(shù)的和 1 27 27 27 27 27 999 各個和的數(shù)字和這樣算得1000個數(shù)所有數(shù)字的和是127500=13501。答：所有數(shù)字的和是13501。*例6：兩個四位數(shù)相加，第一個四位數(shù)的每個數(shù)字都不小于5，第二個四位數(shù)僅僅是第一個四位數(shù)的數(shù)字調(diào)換了位置。某同學(xué)做出的答案是16246。試問

13、該同學(xué)的答數(shù)正確嗎？如果正確，寫出這兩個四位數(shù)，如果不正確，請說明理由。解：在對這一題思考時，如果試圖按題中的條件找出四位數(shù)拼出加法算式，要找出很多的四位數(shù)，進行許多的嘗試，而且不能進行嚴密的推理，因此這不是可取的方法。比較好的做法是，先按規(guī)律說明是否可能按題目的條件做出這個答數(shù)，有可能時，才拼算式，如果不可能，這個答數(shù)就是錯的。由于第一個四位數(shù)的每個數(shù)字都不小于5，不管把這四個數(shù)字怎樣調(diào)換組成第二個四位數(shù)，第二個四位數(shù)的每個數(shù)字也都不小于5，兩個數(shù)相加，四個數(shù)位上都要進位，共有四次進位，而兩個四位數(shù)數(shù)字的和是第一個四位數(shù)數(shù)字和的2倍，是偶數(shù)，四次進位使和的數(shù)字和比原來八個數(shù)字的和減少4個9，

14、所得的和的數(shù)字和仍然是偶數(shù)，而該同學(xué)的答數(shù)16246的數(shù)字的和16246=19，是個奇數(shù)，所以這個答數(shù)是錯的。應(yīng)用練習 二1有A、B兩個整數(shù)，A的各位上的數(shù)字的和是31，B的各位上的數(shù)字的和是19，A和B相加，得數(shù)的各位上的數(shù)字的和是32，相加時有幾次進位？2A的各位上的數(shù)字的和是4，A減去一個兩位數(shù)，差的各位上的數(shù)字的和是24，減數(shù)最大是幾？3甲數(shù)和乙數(shù)的數(shù)字和都是17的倍數(shù)，甲數(shù)減乙數(shù)，差的數(shù)字和是10，甲數(shù)最小是幾？4甲數(shù)和乙數(shù)的和是753，兩個數(shù)的數(shù)字和都是11的倍數(shù)，兩個數(shù)中較大的一個最大是幾？5110000這10000個自然數(shù)所有數(shù)字的和是多少？6一個三位數(shù)，它的各位上的數(shù)字的和能被8整除，這個三位數(shù)加1得到的數(shù)各位上的數(shù)字的和也能被8整除，在所有滿足條件的三位數(shù)中，最大的一個是幾？*7的差是一個自然數(shù)的平方，這個自然數(shù)的各位數(shù)字的和是幾？*8的積的各位數(shù)字的和是幾？課后練習 二1甲數(shù)各位數(shù)字之和是28，乙數(shù)各位數(shù)字之和是18，甲、乙兩數(shù)相加時有三次進位，那么甲、乙兩數(shù)之和的