數(shù)列前n項(xiàng)和的求法總結(jié)

1、數(shù)列前n項(xiàng)和的求法總結(jié)核心提示：求數(shù)列的前n項(xiàng)和要借助于通項(xiàng)公式，即先有通項(xiàng)公式，再在分析數(shù)列通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和。當(dāng)遇到具體問(wèn)題時(shí)，要注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，找到適合的方法解題。一 公式法（1） 等差數(shù)列前n項(xiàng)和： Sn=n(a1+an)2=na1+n(n+1)2d （2） 等比數(shù)列前n項(xiàng)和： q=1時(shí)， Sn=na1； q1時(shí)， Sn=a1（1-qn）1-q（3） 其他公式： Sn=1+2+3+n=12nn+1Sn=12+22+32+n2=16n(n+1)(2n+1)Sn=13+23+33+n3=12nn+12例題1：求數(shù)列 112，214，318

2、，n+12n， 的前n項(xiàng)和Sn解： 點(diǎn)撥：這道題只要經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單整理，就可以很明顯的看出：這個(gè)數(shù)列可以分解成兩個(gè)數(shù)列，一個(gè)等差數(shù)列，一個(gè)等比數(shù)列，再分別運(yùn)用公式求和，最后把兩個(gè)數(shù)列的和再求和。練習(xí)：二.倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫(xiě)與倒著寫(xiě)的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱(chēng)為倒序相加法。我們?cè)趯W(xué)知識(shí)時(shí)，不但要知其果，更要索其因，知識(shí)的得出過(guò)程是知識(shí)的源頭，也是研究同一類(lèi)知識(shí)的工具，例如：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，用的就是“倒序相加法”。例題1：設(shè)等差數(shù)列an，公差為d，求證：an的前n項(xiàng)和Sn=n(a1+an)/2解：Sn=a

3、1+a2+a3+.+an 倒序得：Sn=an+an-1+an-2+a1 +得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an+a1)又a1+an=a2+an-1=a3+an-2=an+a12Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2點(diǎn)撥：由推導(dǎo)過(guò)程可看出，倒序相加法得以應(yīng)用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=an+a1即與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和的這一等差數(shù)列的重要性質(zhì)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。練習(xí)：（1）三.裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法是將數(shù)列的一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使得前后項(xiàng)相抵消，留下有限項(xiàng)，從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。 例題3：求數(shù)列(nN*)的和解：

4、點(diǎn)撥：此題先通過(guò)求數(shù)列的通項(xiàng)找到可以裂項(xiàng)的規(guī)律，再把數(shù)列的每一項(xiàng)拆開(kāi)之后，中間部分的項(xiàng)相互抵消，再把剩下的項(xiàng)整理成最后的結(jié)果即可。四.錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若在數(shù)列anbn中，an成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯(cuò)位相減整理后即可以求出前n項(xiàng)和。例題4：求數(shù)列nan(nN*)的和解：設(shè) Sn = a + 2a2 + 3a3 + + nan若a = 1則：Sn = 1 + 2 + 3 + + n = 若a 1則：aSn = a2 + 2a3 + + (n-1)an + nan+1-得：(1-a)Sn = a

5、 + a2 + a3 + + an - nan+1 則：練習(xí)：（1）（2）（3）求：Sn=1+5x+9x2+4n-3xn-1.解：Sn=1+5x+9x2+4n-3xn-1 ， 兩邊同乘以x，得xSn=x+5x2+9x3+4n-3xn -得，（1-x）Sn=1+4x+x2+x3+xn-4n-3xn再用公式法里面的公式即可。五.迭加法迭加法主要應(yīng)用于數(shù)列an滿足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可把這個(gè)式子變成an+1-an=f(n)，代入各項(xiàng)，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過(guò)整理，可求出an ，從而求出Sn。例題5：已知數(shù)列6,9,14,21,30,其

6、中相鄰兩項(xiàng)之差成等差數(shù)列，求它的前n項(xiàng)和。解：a2 - a1 = 3, a3 - a2 = 5, a4 - a3 = 7 , an - an-1 = 2n-1把各項(xiàng)相加得：an - a1 = 3 + 5 + 7 + + (2n - 1) =an = n2 - 1 + a1 = n2 + 5Sn = 12 + 22 + + n2 + 5n =+ 5n點(diǎn)撥：本題應(yīng)用迭加法求出通項(xiàng)公式，并且求前n項(xiàng)和時(shí)應(yīng)用到了12 + 22 + + n2=因此問(wèn)題就容易解決了。六.分組求和法所謂分組求和法就是對(duì)一類(lèi)既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別

7、求和，再將其合并。例題6：求S = 12 - 22 + 32 - 42 + + (-1)n-1n2(nN*)解：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)：S = (12 - 22) + (32 - 42) + + (n - 1)2 - n2= - (1 + 2 + + n) = - 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)：S = (12 - 22) + (32 - 42) + + (n - 2)2 - (n - 1)2 + n2= - 1 + 2 + + (n - 1) + n2= -綜上所述：S = (-1)n+112n(n+1)點(diǎn)撥：分組求和法的實(shí)質(zhì)是：將不能直接求和的數(shù)列分解成若干個(gè)可以求和的數(shù)列,分別求和。練習(xí)：（1）（2）作業(yè)：（2016.07.20）1. 已知等差數(shù)列an，其前n項(xiàng)和為Sn，且a4=9，S5=35.（1） 求數(shù)列an得通項(xiàng)公式；（2） 若bn=2nan+n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n.（錯(cuò)位相減法）2. 設(shè)數(shù)列an滿足a1+3a2+32a3+3n-1an=n3，nN*.（1）求數(shù)列an得通項(xiàng)公式；