1984年高考理科數(shù)學(xué)試題

1、1984年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題（這份試題共八道大題，滿分120分，第九題附加題10分，不計(jì)入總分）一（本題滿分15分）本題共有5小題，每小題都給出代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的把正確結(jié)論的代號(hào)寫在題后的圓括號(hào)內(nèi)。每一個(gè)小題：選對(duì)的得3分；不選，選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過一個(gè)的（不論是否都寫在圓括號(hào)內(nèi)），一律得負(fù)1分。1數(shù)集X=(2n+1) ，n是整數(shù)與數(shù)集Y=(4k1) ，k是整數(shù)之間的關(guān)系是( ) AXY BXY CX=Y DXY2如果圓x2+y2+Dx+Ey+F=0與x軸相切于原點(diǎn)，那么 ( ) AF=0,D0,E0 BE=0,F=0,D0CD=0

2、,F=0,E0 DD=0,E=0,F0 3如果n是正整數(shù)，那么的值( )A一定是零 B一定是偶數(shù)C是整數(shù)但不一定是偶數(shù) D不一定是整數(shù)4arccos(-x)大于arccosx的充要條件是 ( )Ax(0,1 Bx(-1,0) Cx0,1 Dx0, 5如果是第二象限角，且滿足( )A是第一象限角 B是第三象限角C可能是第一象限角,也可能是第三象限角 D是第二象限角 二（本題滿分24分）本題共6小題，每一個(gè)小題滿分4分。只要求直接寫出結(jié)果。1已知圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為2與4的矩形，求圓柱的體積。2函數(shù)log0.5(x2+4x+4)在什么區(qū)間上是增函數(shù)?3求方程(sinx+cosx)2=的解集。4

3、求式子的展開式中的常數(shù)項(xiàng)。 5求的值。6要排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰，問有多少種不同的排法（只要求寫出式子，不必計(jì)算）。三（本題滿分12分）本題只要求畫出圖形。1設(shè)畫出函數(shù)y=H(x-1)的圖象。2畫出極坐標(biāo)方程的曲線。四（本題滿分12分）已知三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線。求證這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行。五（本題滿分14分）設(shè)c，d，x為實(shí)數(shù)，c0，x為未知數(shù)，討論方程在什么情況下有解，有解時(shí)求出它的解。六（本題滿分16分）(1)設(shè)p0，實(shí)系數(shù)一元二次方程z2-2pz+q=0有兩個(gè)虛數(shù)根z1，z2。再設(shè)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是Z1，Z2.求

4、以Z1，Z2為焦點(diǎn)且經(jīng)過原點(diǎn)的橢圓的長軸的長。(2)求經(jīng)過定點(diǎn)M(1,2)，以y軸為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓左頂點(diǎn)的軌跡方程。七（本題滿分15分）在ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且c=10， P為ABC的內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離的平方和的最大值與最小值。八（本題滿分12分）設(shè)a2，給定數(shù)列xn，其中x1=a，xn+1= (n=1,2,)求證：(1) xn2，且 (n=1,2,)；(2) 如果a3，那么xn2+(n=1,2,)；(3) 如果a3，那么n時(shí)，必有xn+10，得x-2，由t= x2+4x+4知，其對(duì)稱軸為x=-2故內(nèi)層函數(shù)在（-，-2）上是減函數(shù)，在（

5、-2，+）上是增函數(shù)因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)的底數(shù)0.51，故外層是減函數(shù)，欲求復(fù)合函數(shù)的增區(qū)間，只須求內(nèi)層的減區(qū)間，故函數(shù)y=log0.5(x2+4x+4)在（-，-2）上是增函數(shù)點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了對(duì)數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法以及定義域的求法3求方程(sinx+cosx)2=的解集。答：分析：利用平方關(guān)系和倍角公式對(duì)方程進(jìn)行整理，根據(jù)一個(gè)周期內(nèi)的正弦函數(shù)值求解，最后解集寫出幾何形式。解答：解：由題意知，1+sin2x=，sin2x=，解得 點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)方程的求解，即利用同角的基本關(guān)系、倍角公式、兩角和差公式等等，對(duì)方程進(jìn)行化簡，再由三角函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值和周

6、期求出解集4求式子的展開式中的常數(shù)項(xiàng)。 答：-20分析：解法一：利用分步乘法原理展開式中的常數(shù)項(xiàng)是三種情況的和，解法二：先將利用完全平方公式化成二項(xiàng)式，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求得第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為0得常數(shù)項(xiàng)解答：解法一： =得到常數(shù)項(xiàng)的情況有：三個(gè)括號(hào)中全取-2，得(-2)3；一個(gè)括號(hào)取|x|，一個(gè)括號(hào)取，一個(gè)括號(hào)取-2，得C31C21(-2)=-12，常數(shù)項(xiàng)為(-2)3+(-12)=-20解法二：=，設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則Tr+1=， 6-2r=0，r=3T4= C63 (-1)3=-20點(diǎn)評(píng)：本題考查解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題的重要工具有二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；還有分步乘法原理5求

7、的值。答：0分析：分子、分母同時(shí)除以3n，原式可轉(zhuǎn)化為已知數(shù)列的極限。解答：解：原式=點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的極限和運(yùn)算，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化6要排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰，問有多少種不同的排法（只要求寫出式子，不必計(jì)算）。答：A66A74分析：首先分析兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰的排列法，可以猜想到用插空法求解，然后分別求出舞蹈節(jié)目的排法及歌唱節(jié)目的排法，相乘即可得到答案。解答：解：此題采用插空法，先排6個(gè)歌唱節(jié)目共有A66 種，因?yàn)槿魏蝺蓚€(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰，可再把4個(gè)舞蹈節(jié)目插到7個(gè)空位上就不會(huì)相鄰了，共有A74種排法，所以共有種A66A74排法

8、。點(diǎn)評(píng)：此題主要考查排列組合及其簡單的計(jì)數(shù)問題，對(duì)于不相鄰這種類型題目的求解，要想到可以用插空法求解，這種解題思路非常重要，要很好的理解記憶。三（本題滿分12分）本題只要求畫出圖形。1設(shè)畫出函數(shù)y=H(x-1)的圖象。yxO11分析：考查函數(shù)圖象的變化，y=H(x-1)的圖象是由y=H(x)的圖象向右平移一個(gè)圖象得到的故可以先畫出H(x)的圖象然后再向右平移1個(gè)單位得到H(x-1)的圖象。解答：解：點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)圖象的平移問題記y=f(x)，則y=f(x+1)，y=f(x-1)，y=f(x)+1，y=f(x)-1的圖象，是由y=f(x)圖象分別向左，向右，向上，向下平移1個(gè)單位得到的。2畫出極

9、坐標(biāo)方程的曲線。分析：先將方程化簡一下，然后根據(jù)極坐標(biāo)方程的幾何意義進(jìn)行畫圖即可xO12解答：解：方程可化為：=2或=(0)=2表示圓心在極點(diǎn)，半徑為2的圓，=表示極角為的射線，畫出圖象即可點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了簡單曲線的極坐標(biāo)方程，以及作圖能力的考查，屬于基礎(chǔ)題四（本題滿分12分）已知三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線。求證這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行。分析：證明時(shí)要分三條交線交于一點(diǎn)，和三條交線互相平行兩種情況；(1)證三線交于一點(diǎn)時(shí)，先由兩線交于一點(diǎn)，再證這一點(diǎn)也在第三條直線上；圖1Pbbca(2)證三線平行時(shí)，先由兩線平行，再證第三條直線與這兩條平行線中的任一條直線平行即可。解答：證明：設(shè)三個(gè)

10、平面為，且=c，=b，=a；=c，=b，c，b； c與b交于一點(diǎn)，或互相平行。(1) 如圖1，若cb=P。由Pc，且c，有P；又由Pb，b，有P； P=a；所以，直線a，b，c交于一點(diǎn)（即P點(diǎn)）。圖2cbba(2)如圖，若c/b，則由b，且c，c/；又由c，且=a，c/a；所以a，b，c互相平行點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中的直線平行，或相交的證明，特別是幾何符號(hào)語言的應(yīng)用，是有難度的問題。五（本題滿分14分）設(shè)c，d，x為實(shí)數(shù)，c0，x為未知數(shù)，討論方程在什么情況下有解，有解時(shí)求出它的解。分析：先將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1找到方程有根的等價(jià)條件后可解題解答

11、：解：原方程有解的充要條件是：由條件(4)知所以cx2+d=1，再由c0，可得，又由及x0，知，即條件(2)包含在條件(1)及(4)中，再由條件(3)及知x1，因此，原條件可簡化為以下的等價(jià)條件組：由條件(6)知這個(gè)不等式僅在以下兩種情形下成立：c0，d1或c0，d1，再由條件(5)可知c1-d.從而，當(dāng)c0，d1且c1-d時(shí)，或者當(dāng)c0，d1且c1-d時(shí)，原方程有解，它的解是.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化和方程根的判定屬中檔題六（本題滿分16分）(1)設(shè)p0，實(shí)系數(shù)一元二次方程z2-2pz+q=0有兩個(gè)虛數(shù)根z1，z2。再設(shè)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是Z1，Z2.求以Z1，Z2為

12、焦點(diǎn)且經(jīng)過原點(diǎn)的橢圓的長軸的長。(2)求經(jīng)過定點(diǎn)M(1,2)，以y軸為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓左頂點(diǎn)的軌跡方程。分析： (1)小題，由兩個(gè)虛數(shù)根z1，z2是共軛復(fù)數(shù)，可得橢圓的短軸長：2b=|z1+z2|，焦距為2c=|z1-z2|，然后求出長軸長。(2)小題，先確定橢圓的位置，設(shè)左定點(diǎn)的坐標(biāo)為A(x,y)，然后根據(jù)離心率的含義得到左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)橢圓的第二定義確定方程。解答：(1)解法一：因?yàn)閜,q為實(shí)數(shù)， p0， z1，z2為虛數(shù)，所以=(-2p)2-4qp20.由z1，z2為共軛虛數(shù)，知Z1，Z2關(guān)于x軸對(duì)稱,所以橢圓短軸在x軸上。又由橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，可知原點(diǎn)為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)。根據(jù)橢圓的

13、性質(zhì)，復(fù)數(shù)加、減法幾何意義及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得橢圓的短軸長：2b=|z1+z2|=|2p|=2|p|，焦距：2c=|z1-z2|，長軸長：2a解法二: 因?yàn)閜,q為實(shí)數(shù)， p0， z1，z2為虛數(shù)，所以=(-2p)2-4qp20。根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程的求根公式,得可知知Z1，Z2關(guān)于x軸對(duì)稱，所以橢圓短軸在x軸上。又由橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，可知原點(diǎn)為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)。根據(jù)橢圓的性質(zhì)，復(fù)數(shù)的幾何意義，可得橢圓短軸長：2b=|z1+z2|=|2p|=2|p|，焦距：2c=|z1-z2|，長軸長：2a注：也可利用橢圓長半軸的長等于短軸上的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,直接得出長軸長：2a=2|z1|

14、(2)解：因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)M(1,2)，且以y軸為準(zhǔn)線，所以橢圓在y軸右側(cè)，長軸平行于x軸。解：設(shè)橢圓左頂點(diǎn)為A(x,y)，左焦點(diǎn)為F(x1,y1).由第二定義知 =，即 |MF|=. (x1-1)2+( y1-2)2 = 又 =， 解得 代入得 (x-1)2+( y-2)2 =， 整理得 為所求的軌跡方程. 點(diǎn)評(píng)：(1)小題考查復(fù)數(shù)的基本概念，橢圓的基本性質(zhì)，是小型綜合題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力 (2)小題主要考查橢圓方程的第二定義，平面上到定點(diǎn)F距離與到定直線間距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的集合七（本題滿分15分）在ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且c=10， P為ABC的內(nèi)切圓

15、上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離的平方和的最大值與最小值。分析：利用正弦定理轉(zhuǎn)化為 ，從而求得A+B=90，判斷出三角形為直角三角形，進(jìn)而可利用勾股定理求得a和b，利用直角三角形的性質(zhì)求得其內(nèi)切圓的半徑，如圖建立直角坐標(biāo)系，則內(nèi)切圓的方程可得，設(shè)出P的坐標(biāo)，表示出，S=|PA|2+|PB|2+|PC|2，利用x的范圍確定S的范圍，則最大和最小值可得。解答：解：由，運(yùn)用正弦定理，有，sinAcosA=sinBcosB sin2A=sin2B. 因?yàn)锳B，所以2A+2B =180，即A+B=90. 由此可知ABC是直角三角形，由c=10，可得a=6，b=8. 從而ABC的內(nèi)切圓半徑為r=2y

16、xCAB如圖建立坐標(biāo)系，則A(8,0)，B(0,6)，C(0,0) ，內(nèi)切圓方程為：(x-2)2+( y-2)2=4，設(shè)圓上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則S=|PA|2+|PB|2+|PC|2=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2=3x2+3y2-16x-12y+100=3(x-2)2+( y-2)2-4x+76=34-4x+76=88-4x因?yàn)镻點(diǎn)在內(nèi)切圓上，所以0x4， S最大值=88-0=88， S最小值=88-16=72.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)求最值的問題，直角三角形內(nèi)切圓的問題，圓的性質(zhì)問題?？疾榱藢W(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用。八（本題滿分12分）設(shè)a2，給定數(shù)列xn，其

17、中x1=a，xn+1= (n=1,2,)求證：(1) xn2，且 (n=1,2,)；(2) 如果a3，那么xn2+(n=1,2,)；(3) 如果a3，那么n時(shí)，必有xn+12；再證xn+1xn，(2)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，(3)先證明若xk2 ， x2-2=0， x2 2.且 x2-x1 =0， 2x2 x1，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即2xk+10， xk+2 2.且xk+2- xk+1=0，2 xk+2 xk+1，當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.由知2xn+12，且 (n=1,2,).(2) 由條件x1=a3知不等式當(dāng)n=1時(shí)成立，假設(shè)不等式當(dāng)n=k(k1)時(shí)成立，即xk2+，當(dāng)n=k

18、+1時(shí)，由條件及xk2知及歸納假設(shè)可得xk+1=當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.由知，不等式xn2+對(duì)所有的正整數(shù)n成立。(3)先證明若xkx2xnxn+13，因此，由上面證明的結(jié)論及x1=a3可得3xn+1=，則n，這與假設(shè)矛盾，所以n時(shí)，必有xn+13.點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個(gè)與自然數(shù)集N*相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若奠基，驗(yàn)證P(n)在n=1時(shí)成立；遞推，證明在歸納假設(shè)在P(k)成立下推出P(k+1)成立，則P(n)對(duì)一切自然數(shù)n都成立。根據(jù)條件適時(shí)應(yīng)用反證法。九（附加題，本題滿分10分，不計(jì)入總分）llO1AMPO1AMCP如圖，已知圓心為O，半徑為1的

19、圓與直線l相切于點(diǎn)A，一動(dòng)點(diǎn)P自切點(diǎn)A沿直線l向右移動(dòng)時(shí)，取弧AC的長為AP，直線PC與直線AO交于點(diǎn)M又知當(dāng)AP=時(shí)，點(diǎn)P的速度為v，求這時(shí)點(diǎn)M的速度。 解：作CDAM，并設(shè)AP=x，AM=y，COD=，由題設(shè)弧AC的長為AP=x，半徑OC= 1，可知=x，x(0,) ，APMDCMllO1AMPDO1AMCP 解得 當(dāng)x=時(shí)，,代入上式解得點(diǎn)M的速度為點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)概念、微分法和利用導(dǎo)數(shù)概念的物理意義解決實(shí)際問題的能力。由于時(shí)間緊，沒人做，形同虛設(shè)。數(shù)學(xué)高考評(píng)論：回顧近幾十年的高考試題，1984年、1999年、2003年試題難，1984年試題最難.1984年，是中國高考改革有創(chuàng)意的一年

20、。就在這一年，數(shù)學(xué)命題組提出了高考“出活題，考基礎(chǔ)，考能力”的命題指導(dǎo)思想。1984年的數(shù)學(xué)試卷，創(chuàng)造了大批新題，即所謂活題。廣大考生第一次見到這樣的新題或活題，感到非常之難。當(dāng)年，北京市的分?jǐn)?shù)，人均只有17分，創(chuàng)下了新中國成立以來，數(shù)學(xué)高考難度之“最”。晚上送孩子回校，路上她挖苦老爸當(dāng)年數(shù)學(xué)才考50多分，回家百度史上最難高考試卷，才發(fā)現(xiàn)還在保持難度記錄，時(shí)隔28年后第一次回看當(dāng)年不堪回首那份試題，有感而發(fā)，勾起不少回憶。直到今天，百度史上最難高考試卷1984理科數(shù)學(xué)躍入眼中直到今天，才知道那一年全國平均分是26分直到今天，才知道那一年北京平均分是17分直到今天，才知道那一年安徽平均分是28分

21、直到今天，哥才知道經(jīng)歷過史上最難直到今天，哥才知道那年券子是以后奧數(shù)的范本那一年，沒人告訴哥，什么是奧數(shù).那一年，哥數(shù)學(xué)才考了56分（滿分120），從此不堪回首那一年，雖然哥總分高出重點(diǎn)本科10%，但一直懷疑沒數(shù)學(xué)天分后記，這是考完后唯一不想再見到的試卷，當(dāng)28年后無意查到竟是最難的高考試卷(沒有之一，是空前絕后），當(dāng)知道平均分只有26分時(shí)，終于有了重看的勇氣。 以后，學(xué)弟學(xué)妹再說史上最難，先把全國高考前167萬人的數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)平均，低過21.7%得分率再說史上最難。中國高考史上最難的一張數(shù)學(xué)試卷：1984年高考數(shù)學(xué)試題(理科) ，試卷第六大題第2小題、第七大題和第八大題常被以后競賽命題者作為范題參考！第一題：選對(duì)的得3分;不選，選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過一個(gè)的（不論是否都寫在圓括號(hào)內(nèi)），一律得負(fù)1分。正題120分，附加題10分（不計(jì)入總分，高校錄取時(shí)參考）。備注：1984年理科：數(shù)、語120，理化英政100，生物50，滿分690，數(shù)理化各10分附加分。本人516+13，數(shù)56+3廣東錄取本科線：433，重點(diǎn)線：460安徽?。?0分以下的占80,而70分(只相當(dāng)于100分制的及格分)以上的不超過7。我也是84年高考。數(shù)學(xué)很難，是全國卷，但各省錄取線不一樣，江蘇481二本，我數(shù)學(xué)76分，全校第一