高中數(shù)學(xué) 第一章 坐標(biāo)系 三 2 直線的極坐標(biāo)方程教學(xué)案 新人教A版選修4-4

1、2直線的極坐標(biāo)方程1直線的極坐標(biāo)方程(1)若直線經(jīng)過點(diǎn)M(0，0)，且極軸到此直線的角為，則直線l的極坐標(biāo)方程為sin()0sin(0)(2)當(dāng)直線l過極點(diǎn)，即00時，l的方程為.(3)當(dāng)直線l過點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸時，l的方程為cos_a.(4)當(dāng)直線l過點(diǎn)M(b，)且平行于極軸時，l的方程為：sin_b.2圖形的對稱性(1)若()()，則相應(yīng)圖形關(guān)于極軸對稱(2)若()()，則圖形關(guān)于射線所在直線對稱(3)若()()，則圖形關(guān)于極點(diǎn)對稱求直線的極坐標(biāo)方程例1求從極點(diǎn)出發(fā)，傾斜角是的射線的極坐標(biāo)方程思路點(diǎn)撥將射線用集合表示出來，進(jìn)而用坐標(biāo)表示解設(shè)M(，)為射線上任意一點(diǎn)(如圖)，則射線

2、就是集合P將已知條件用坐標(biāo)表示，得(0) 這就是所求的射線的極坐標(biāo)方程方程中不含，說明射線上點(diǎn)的極坐標(biāo)中的，無論取任何正值，的對應(yīng)值都是.求直線的極坐標(biāo)方程，首先應(yīng)明確過點(diǎn)M(0，0)，且極軸到此直線的角為的直線極坐標(biāo)方程的求法另外，還要注意過極點(diǎn)、與極軸垂直和平行的三種特殊情況的直線的極坐標(biāo)方程1求過A且垂直于極軸的直線的方程解：如圖所示，在直線l上任意取點(diǎn)M(，)，A，|OH|2sin.在RtOMH中，|OH|OM|cos ，cos ，即cos ，過A且垂直于極軸的直線方程為cos .2設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，直線l過點(diǎn)A且與極軸所成的角為，求直線l的極坐標(biāo)方程解：設(shè)P(，)為直線上任意一點(diǎn)(如

3、圖)則，在OPA中，有，即sin1.直線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用例2在極坐標(biāo)系中，直線l的方程是sin1，求點(diǎn)P到直線l的距離思路點(diǎn)撥將極坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)問題解點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(，1)直線l：sin1可化為sin coscos sin1，即直線l的直角坐標(biāo)方程為xy20.點(diǎn)P(，1)到直線xy20的距離為d1.故點(diǎn)P到直線sin1的距離為1.對于研究極坐標(biāo)方程下的距離及位置關(guān)系等問題，通常是將它們化為直角坐標(biāo)方程，在直角坐標(biāo)系下研究3(廣東高考)在極坐標(biāo)系中，曲線C1和C2的方程分別為sin2cos 和sin 1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線C1

4、和C2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_解析：由sin2cos 2sin2cos y2x，又由sin 1y1，聯(lián)立故曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1)答案：(1,1)4已知直線的極坐標(biāo)方程為sin()，則點(diǎn)A到這條直線的距離是_解析：點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(，)直線sin，即sin coscos sin的直角坐標(biāo)方程為xy，即xy1.點(diǎn)A(，)到直線xy10的距離為d，故點(diǎn)A(2，)到直線sin的距離為.答案： 一、選擇題1在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)(1,0)并且與極軸垂直的直線方程是()Acos Bsin Ccos 1 Dsin 1解析：設(shè)P(，)是直線上任意一點(diǎn)，則顯然有cos 1，即為此直線的極坐標(biāo)方程答案：

5、C27cos 2sin 0表示()A直線 B圓C橢圓 D雙曲線解析：兩邊同乘以得：7cos 2sin 0.即7x2y0，表示直線答案：A3極坐標(biāo)方程cos (0)表示的曲線是()A余弦曲線 B兩條相交直線C一條射線 D兩條射線解析：cos ，2k(kZ)又0，cos 表示兩條射線答案：D4過點(diǎn)A(5,0)和直線垂直的直線的極坐標(biāo)方程是()Asin BcosCsin5 Dsin解析：因?yàn)橹本€即直線yx，所以過點(diǎn)A(5,0)和直線垂直的直線方程為yx5，其極坐標(biāo)方程為sin.答案：A二、填空題5把極坐標(biāo)方程cos()1化為直角坐標(biāo)方程是_解析：將極坐標(biāo)方程變?yōu)閏os sin 1，化為直角坐標(biāo)方程為

6、xy1，即xy20.答案：xy206若直線sin()與直線3xky1垂直，則常數(shù)k_.解析：直線極坐標(biāo)方程化為sin cos ，即為xy10，由題意知1，k3.答案：37在極坐標(biāo)系中，曲線C1：(cos sin )1與曲線C2：a(a0)的一個交點(diǎn)在極軸上，則a_.解析：曲線C1的直角坐標(biāo)方程為xy1，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y2a2，C1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，此點(diǎn)也在曲線C2上，代入解得a.答案：三、解答題8求過(2,3)點(diǎn)且斜率為2的直線的極坐標(biāo)方程解：由題意知，直線的直角坐標(biāo)方程為y32(x2)，即：2xy70.設(shè)M(，)為直線上任意一點(diǎn)，將xcos ，ysin 代入直角坐標(biāo)方程2xy70得：2cos sin 70，這就是所求的極坐標(biāo)方程9在極坐標(biāo)系中，已知圓O：cos sin 和直線l：sin.(0,02)(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)(0，)時，求直線l與圓O的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)解：(1)圓O：cos sin ，即2cos sin ，則圓O的直角坐標(biāo)方程為：x2y2xy0，直線l：sin，即sin cos 1，則直線l的直角坐標(biāo)方程為：xy10.(2)由(1)知圓O與直線l的直角坐標(biāo)方程，將兩方程聯(lián)立得解得即圓O與直線l在直角坐標(biāo)系下的公共點(diǎn)為(0,1)，將(0,1)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)為，即為所求10已知雙曲線的極坐標(biāo)