代數(shù)學(xué)的新生PPT課件

1、.,1,第八章 代數(shù)學(xué)的新生,第一節(jié) 代數(shù)方程的可解性與群的發(fā)現(xiàn) 第二節(jié) 從四元數(shù)到超復(fù)數(shù) 第三節(jié) 布爾代數(shù) 第四節(jié) 代數(shù)數(shù)論,.,2,序言,1、18世紀(jì)的數(shù)學(xué)悲觀主義,從17世紀(jì)初開始，數(shù)學(xué)經(jīng)歷了近兩個(gè)世紀(jì)的開拓，在18世紀(jì)行將結(jié)束的時(shí)候，數(shù)學(xué)家們對自己從事的這門科學(xué)卻奇怪地存在著一種普遍的悲觀情緒。拉格朗日于1781年在寫給達(dá)朗貝爾的信中說：“在我看來似乎（數(shù)學(xué)的）礦井已經(jīng)挖掘很深了，除非發(fā)現(xiàn)新的礦脈，否則遲早勢必放棄它，科學(xué)院中幾何學(xué)（指數(shù)學(xué)）的處境將會有一天變成目前大學(xué)里阿拉伯語的處境一樣，那也不是不可能的?！睔W拉和達(dá)朗貝爾都同意拉格朗日的觀點(diǎn)。 法國法蘭西學(xué)院一份關(guān)于1789年以來數(shù)

2、學(xué)科學(xué)進(jìn)展的歷史及其現(xiàn)狀的報(bào)告更是預(yù)測在數(shù)學(xué)的“幾乎所有的分支里，人們都被不可克服的困難阻擋住了；把細(xì)枝末節(jié)完善化看來是剩下來惟一可做的事情了，所有這些困難好象是宣告我們的分析的力量實(shí)際上是已經(jīng)窮竭了?！?.,3,這種世紀(jì)末悲觀主義的由來，可能是因?yàn)?7、18世紀(jì)數(shù)學(xué)與天文力學(xué)的緊密結(jié)合，使部分?jǐn)?shù)學(xué)家把天文與力學(xué)看成是數(shù)學(xué)發(fā)展的幾乎惟一源泉，而一旦這種結(jié)合變得相對滯緩和暫時(shí)進(jìn)入低谷，就會使人感到迷失方向。18世紀(jì)末出現(xiàn)的數(shù)學(xué)悲觀主義具有深刻的認(rèn)識論背景。,2、數(shù)學(xué)發(fā)展的動力,從根本上說，數(shù)學(xué)的發(fā)展與人類的生產(chǎn)實(shí)踐和社會需求密切相關(guān)，對自然的探索是數(shù)學(xué)研究最豐富的源泉。但是，數(shù)學(xué)的發(fā)展對于現(xiàn)實(shí)世

3、界又表現(xiàn)出相對的獨(dú)立性。一種數(shù)學(xué)理論一經(jīng)建立，便可基于邏輯思維向前推進(jìn)，并由此導(dǎo)致新理論與新思想的產(chǎn)生。因此，內(nèi)在的邏輯需要也是數(shù)學(xué)進(jìn)步的重要動力之一。過于看重?cái)?shù)學(xué)進(jìn)展對現(xiàn)實(shí)需要的依賴，而忽視數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在動力，難免產(chǎn)生對數(shù)學(xué)發(fā)展前景的悲觀預(yù)見。,.,4,3、18世紀(jì)末數(shù)學(xué)悲觀內(nèi)部遺留的問題,實(shí)際上，就在18世紀(jì)后半葉，數(shù)學(xué)內(nèi)部悄悄積累的矛盾已經(jīng)開始醞釀新的變革。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們面臨著一系列數(shù)學(xué)自身產(chǎn)生的、長期懸而未決的問題，其中最突出的是： （1）高于四次的代數(shù)方程的根式求解問題； （2）歐幾里得幾何中平行公理的證明問題； （3）牛頓、萊布尼茨微積分算法的邏輯基礎(chǔ)問題。 在19世紀(jì)初，這些問題

4、已變得越發(fā)尖銳而不可回避。,生產(chǎn)實(shí)踐的需要 數(shù)學(xué)發(fā)展的動力 數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾 數(shù)學(xué)家的求知欲,.,5,第一節(jié) 代數(shù)方程的可解性與群的發(fā)現(xiàn),中世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家把代數(shù)學(xué)看成是解代數(shù)方程的學(xué)問。直到19世紀(jì)初，代數(shù)研究仍未超出這個(gè)范圍。不過這時(shí)數(shù)學(xué)家們的注意力集中在了五次和高于五次的代數(shù)方程上。 二次方程的解法古巴比倫人就已掌握。中世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家將二次方程的理論系統(tǒng)化。三、四次方程的求解在文藝復(fù)興時(shí)期獲得解決。接下來，讓人關(guān)心的自然是一般的五次或更高次的方程求解。,.,6,接下來，讓人關(guān)心的自然是一般的五次或更高次的方程求解。在解出三、四次方程后的整整兩個(gè)半世紀(jì)內(nèi)，很少有人懷疑五次代數(shù)方程根式解

5、法的存在性。但是尋求這種解法的努力卻都以失敗而告終。,發(fā)現(xiàn)者：阿貝爾 伽羅瓦 發(fā)展者：凱萊 若爾當(dāng) F克萊因 李,.,7,挪威數(shù)學(xué)家。1802年8月5日生于芬島一個(gè)牧師家庭，1829年4月6日卒于弗魯蘭。13歲入奧斯陸一所教會學(xué)校學(xué)習(xí)，年輕的數(shù)學(xué)教師霍爾姆博發(fā)現(xiàn)了阿貝爾的數(shù)學(xué)天才，對他給予指導(dǎo)。少年時(shí)，阿貝爾就已經(jīng)開始考慮一些數(shù)學(xué)問題。1821年在一些教授資助下，入奧斯陸大學(xué)。在學(xué)校里，他幾乎全是自學(xué)，同時(shí)花大量時(shí)間作研究。 1824年，他解決了用根式求解五次方程的不可能性問題。為了能有更多的讀者，他的論文以法文寫成，也送給了高斯，可是在外國數(shù)學(xué)家中沒有任何反響。1825年，他去拍林，結(jié)識了克

6、雷爾，并成為好友。他鼓勵克雷爾創(chuàng)辦了著名的數(shù)學(xué)刊物純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志。,1、阿貝爾,.,8,第1卷（1826）刊登了7篇阿貝爾的文章，其中有一般五次方程用根式不能求解的證明。以后各卷也有很多他的文章。1826年阿貝爾到巴黎，遇見了勒讓德和柯西等著名數(shù)學(xué)家。他寫了一篇關(guān)于橢圓積分的論文，提交給法國科學(xué)院，不幸未得到重視，他只好又回到拍林?？死谞枮樗\求教授職位，沒有成功。 1827年阿貝爾貧病交迫地回到了挪威，靠作家庭教師維生。直到阿貝爾去世前不久，人們才認(rèn)識到他的價(jià)值。,阿貝爾（18021829）,.,9,1828年，四名法國科學(xué)院院士上書給挪威國王，請他為阿貝爾提供合適的科學(xué)研究位置，勒讓德

7、也在科學(xué)院會議上對阿貝爾大加稱贊。次年4月6日，不到27歲的阿貝爾就病逝。柏林大學(xué)邀請他擔(dān)任教師的信件在他去世后的第二天才送出。此后榮譽(yù)和褒獎接踵而來，1830年他和雅可比共同獲得法國科學(xué)院大獎。 阿貝爾在數(shù)學(xué)方面的成就是多方面的。除了五次方程之外，他還研究了更廣的一類代數(shù)方程，后人發(fā)現(xiàn)這是具有交換的伽羅瓦群的方程。為了紀(jì)念他，后人稱交換群為阿貝爾群。阿貝爾還研究過無窮級數(shù)，得到了一些判別準(zhǔn)則以及關(guān)于冪級數(shù)求和的定理。這些工作使他成為分析學(xué)嚴(yán)格化的推動者。,.,10,阿貝爾和雅可比是公認(rèn)的橢圓函數(shù)論的奠基者。阿貝爾發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的加法定理、雙周期性、并引進(jìn)了橢圓積分的反演。他研究了形如R(x,

8、y)dx的積分（現(xiàn)稱阿爾貝積分），其中R(x,y)是x 和y 的有理函數(shù)，且存在二元多項(xiàng)式 f ，使 f ( x,y)=0。他還證明了關(guān)于上述積分之和的定理，現(xiàn)稱阿貝爾定理，它斷言:若干個(gè)這種積分之和可以用g個(gè)這種積分之和加上一些代數(shù)的與對數(shù)的項(xiàng)表示出來，其中g(shù)只依賴于f，就是f的虧格。 阿貝爾這一系列工作為橢圓函數(shù)論的研究開拓了道路，并深刻地影響著其他數(shù)學(xué)分支。埃爾米特曾說：阿貝爾留下的思想可供數(shù)學(xué)家們工作150年。,阿貝爾銅像,阿貝爾中學(xué)時(shí)代的筆記,.,11,2、伽羅瓦,盡管1824年阿貝爾完全證實(shí)了拉格朗日的命題：“不可能用根式解四次以上方程”，粉粹了人們對根式求解五次以上代數(shù)方程的奢望

9、，而且沒有忘記給出一些特殊的能用根式求解的方程，其中的一類現(xiàn)在被稱為“阿貝爾方程”。在此過程中，阿貝爾已在實(shí)際上引進(jìn)了“域”這一重要的近世代數(shù)思想。 然而數(shù)學(xué)家們并不滿足，他們又開始追問：究竟什么樣的特殊方程能夠用根式來求解？在1829-1831年間完成的幾篇論文中，一位同樣年青的法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦對此做出了解答。,（18111832）,.,12,伽羅瓦的思想是將一個(gè)n次方程,的n個(gè)根（由代數(shù)基本定理可知）x1、 x2 、 、 xn作為一個(gè)整體來考察，并研究它們之間的排列或稱“置換”。,為了容易理解起見，我們以四次方程的四個(gè)根x1、 x2 、 x3 、 x4為例，在包含這些 xi 的任何表達(dá)式中

10、交換 x1和 x2 就是一個(gè)置換，表示成,另一個(gè)置換表示成,.,13,第一個(gè)置換后再實(shí)行第二個(gè)置換，等價(jià)于實(shí)行第三個(gè)置換,我們說頭兩個(gè)置換按上述順序作成的“乘積”就是第三個(gè)置換，即P1 P2 = P3 。 對于四次方程的情形，易知共有4！=24個(gè)可能的置換。這些置換的全體構(gòu)成一個(gè)集合，而其中任意兩個(gè)置換的乘積仍是原來集合中的一個(gè)置換，伽羅瓦稱之為“群”。這是歷史上最早的“群”的定義，不過它只是針對一個(gè)具體的群（置換群）所作的定義，還不是抽象群的一般定義。但伽羅瓦正是利用他提出的群的概念來解決方程根式可解性問題的。,.,14,進(jìn)一步考慮一個(gè)方程根的置換群中某些置換組成的“子群”。這個(gè)群，伽羅瓦稱

11、之為“方程的群”，也就是我們今天所說的“伽羅瓦群”。它的含義如下：考慮由方程系數(shù)的 有限次加、減、乘、除運(yùn)算可能得到的一切表達(dá)式的集合。這個(gè)集合，現(xiàn)在叫方程的“基本域”，并記為 F=Q（ a1，a2 ， ，an），Q為有理數(shù)域，a1,a2 ,an 是方程的系數(shù)，但伽羅瓦沒有用“域”這個(gè)名稱。 伽羅瓦群就是由方程的根的置換群中這樣一些置換構(gòu)成的子群，這些置換保持方程的根以 F 的元素為系數(shù)的全部代數(shù)關(guān)系不變。我們以四次方程為例來說明這個(gè)重要的概念。,.,15,設(shè)方程 ，其中 p、 q 是獨(dú)立的，令F 是 p ，q,形成的域（基本域），如,就是這樣一個(gè)表達(dá)式。,已知方程的四個(gè)根：,.,16,容易看

12、出這些根的系數(shù)在F中的下列兩個(gè)關(guān)系成立： x1 + x2 = 0， x3 + x4 = 0 ， 可以驗(yàn)證，在方程根的所有24個(gè)可能置換中，下面8個(gè)置換,.,17,都能使上述兩個(gè)關(guān)系在 F 中保持成立，并且這8個(gè)置換是24個(gè)置換中，使根之間在域F中的全部代數(shù)關(guān)系都保持不變的僅有的置換。這8個(gè)置換就是方程在域F中的群，即伽羅瓦群。 需要指出，保持根的代數(shù)關(guān)系不變，就意味著在此關(guān)系中根的地位是對稱的。因此，伽羅瓦群刻畫了方程的根的對稱性。伽羅瓦于是指出，方程的群（即伽羅瓦群）與它是否根式可解存在著本質(zhì)聯(lián)系，對方程的群的認(rèn)識，是解決全部根式可解問題的關(guān)鍵。伽羅瓦證明，當(dāng)且僅當(dāng)方程的群滿足一定的條件（即

13、方程的群是可解群）時(shí)，方程才是根式可解的，也就是他找到了方程根式可解的充分必要條件。 伽羅瓦攻克的難題雖然是三百年前的老問題，但他的思想?yún)s遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了他的時(shí)代。他的工作可以看成是近世代數(shù)的發(fā)端。這不只是因?yàn)樗鉀Q了方程根式可解性這樣一個(gè)難題，更重要的是群概念的引進(jìn)導(dǎo)致了代數(shù)學(xué)在對象、內(nèi)容和方法上的深刻變革。,.,18,伽羅瓦之后，數(shù)學(xué)家們逐漸認(rèn)識到“群”可以是一個(gè)更加普遍的概念，而不必僅限于置換群。 凱萊在1849-1854年間指出了矩陣在乘法下、四元數(shù)在加法下都構(gòu)成群，人們還發(fā)現(xiàn)高斯在數(shù)論中研究過的具有同一判別式的二次型類 f = ax2 + 2bxy + cy2 （a，b，c 為整數(shù)，x，y

14、 取整數(shù)值，D = b2 ac 取固定值） 對于型的合成運(yùn)算也構(gòu)成群。 1868-1869年間，若爾當(dāng)在物理學(xué)家布拉維斯關(guān)于運(yùn)動群的理論的啟發(fā)下開展了無限群（即有無限多個(gè)元素的群）的系統(tǒng)研究。 若爾當(dāng)?shù)墓ぷ饔绊懣巳R因關(guān)于幾何分類中的無限變換群的研究。 1874-1883年間，挪威數(shù)學(xué)家李（1842-1899 ）研究了無限連續(xù)變換群（李群）。,Cayley,Jordan,Klein,.,19,Lie,到19世紀(jì)80年代，關(guān)于各種不同類型的群的研究使數(shù)學(xué)家們有了足夠積累來形成抽象群概念：,（A） 封閉性： 對于運(yùn)算 * ， a ， b R，則a * b = c R ； （B） 結(jié)合性： 對于運(yùn)算

15、* ， a ，b ，c R， 則 （a * b ） * c = a * （ b * c ） ； （C） 存在單位元： I R，使 I * a = a * I = a ; （D） 存在逆元： a R，則 a -1 R，使 a * a -1 = a -1 * a = I 。,.,20,在抽象的群概念中，其元素本身的具體內(nèi)容已無關(guān)緊要，關(guān)鍵是聯(lián)系這些元素的運(yùn)算關(guān)系。這樣建立起來的一般群論也就成了描寫其他各種數(shù)學(xué)和物理現(xiàn)象的對稱性質(zhì)的普遍工具。在19世紀(jì)末，群論已被應(yīng)用于晶體結(jié)構(gòu)的研究，在現(xiàn)代物理中，群論更成為研究基本粒子、量子力學(xué)的有力武器。 代數(shù)學(xué)由于群的概念的引進(jìn)和發(fā)展而獲得新生，它不再僅僅是研

16、究代數(shù)方程，而更多地是研究各種抽象對象的運(yùn)算關(guān)系，從而為20世紀(jì)代數(shù)結(jié)構(gòu)觀念的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。,.,21,1、19世紀(jì)初復(fù)數(shù)的幾何表示 四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)是繼伽羅瓦提出群的概念后，19世紀(jì)代數(shù)學(xué)最重大的事件。四元數(shù)是推廣平面復(fù)數(shù)系結(jié)構(gòu)的產(chǎn)物。 18末19世紀(jì)初，韋塞爾、阿爾岡和高斯等人給出了復(fù)數(shù) a + bi （a，b為實(shí)數(shù)）的幾何表示，這樣復(fù)數(shù)才有了合法地位。在稍微熟悉了復(fù)數(shù)的幾何表示之后，數(shù)學(xué)家們認(rèn)識到復(fù)數(shù)能用來表示和研究平面上的向量。,第二節(jié) 從四元數(shù)到超復(fù)數(shù),.,22,y,2、空間向量及其運(yùn)算 向量概念在物理學(xué)上十分重要，力、速度或加速度這些有大小和方向的量都是向量，而人們很早就已知道向量的

17、合成服從平行四邊形法則。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)復(fù)數(shù)相加的結(jié)果正好對應(yīng)于平行四邊形法則相加的向量和。用復(fù)數(shù)來表示向量及其運(yùn)算有一個(gè)很大的優(yōu)點(diǎn)，那就是，人們從此不必幾何地作出向量運(yùn)算，就能通過代數(shù)的方法研究它們。這就像方程能用來表示和研究曲線而帶給人們方便一樣。然而事實(shí)卻使數(shù)學(xué)家們很快發(fā)覺，他們無法在三維情況下找到復(fù)數(shù)的一個(gè)類似物。,.,23,3、哈密頓對復(fù)數(shù)的推廣 在尋找復(fù)數(shù)三維推廣的數(shù)學(xué)家中，愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓也是其中一員。他在1837年曾把復(fù)數(shù)處理成實(shí)數(shù)的有序數(shù)偶，并希望通過推廣這種有序數(shù)偶的思想，來達(dá)到自己的目的。如此結(jié)過15年的努力，他終于發(fā)現(xiàn)自己所要找的新數(shù)組應(yīng)包含四個(gè)分量，而且必須放棄乘法

18、的交換性。他把這種新數(shù)組命名為四元數(shù)。,Hamilton,.,24,哈密頓的四元數(shù)形如 a + b i + c j + d k，其中a，b，c，d為實(shí)數(shù)，i，j，k滿足 i 2 = j 2 = k 2 = 1 ; ij =ji = k ， jk = kj =i ， ki =ik = j 兩個(gè)四元數(shù)相乘可以根據(jù)上面的規(guī)則仿照復(fù)數(shù)乘法那樣去做，例如，設(shè) p =1+2i + 3j + 4k ， q = 4+3i +2j + k， 則 pq =（1+2i + 3j + 4k ）（4+3i +2j + k ） = 12 + 6i + 24j + 12k qp =（4+3i +2j + k） （1+2i

19、+ 3j + 4k ） = 12 + 16i + 4j + 22k,.,25,可見，但哈密頓證明了四元數(shù)乘法具有“結(jié)合性”，這是第一次使用這個(gè)術(shù)語。 四元數(shù)也是歷史上第一次構(gòu)造的不滿足乘法交換律的數(shù)系。四元數(shù)本身雖然沒有廣泛的應(yīng)用，但它對于代數(shù)學(xué)的發(fā)展來說是革命性的。哈密頓的作法啟示了數(shù)學(xué)家們，他們從此可以更加自由地構(gòu)造新的數(shù)系，通過減弱、放棄或替換普通代數(shù)中的不同定律和公理，就為眾多代數(shù)系的研究開辟了道路。,金雀花橋上的紀(jì)念石刻,.,26,在哈密頓之后，各種新的超復(fù)數(shù)像雨后春筍般涌現(xiàn)出來。 事實(shí)上，就在哈密頓建立四元數(shù)的同時(shí)，一位德國數(shù)學(xué)家格拉斯曼也在試圖對復(fù)數(shù)作出推廣，與哈密頓相比，格拉斯

20、曼的推廣更為大膽。他實(shí)際上涉及的是n維向量空間。他的“擴(kuò)張的量”就是一種有n個(gè)分量的超復(fù)數(shù)。,Grassmann,4、格拉斯曼,.,27,例如：當(dāng) n = 3 時(shí)，考慮兩個(gè)超復(fù)數(shù) = a1e1 + a2e2 + a3e3 ， = b1e1 + b2e2 + b3e3 其中，ai 和 bi 是實(shí)數(shù)，ei 是基元素，格拉斯曼定義它們的加減法為 = (a1 b1 )e1 +(a2 b2 )e2 + (a3 b3 )e3 ， 而對于乘法則定義了兩種，一種稱為內(nèi)積，另一種稱為外積。對于內(nèi)積，他假設(shè) ei ei = 1， ei ej = 0， i j ， 所以 = a1b1 + a2 b2 + a3 b3

21、 ，并且有 = 。,.,28,對于外積，他假設(shè)eiei = 0，eiej =- ej ei，i j，所以 =（a2 b3a3 b2）e2e3+（a3 b1a1 b3）e3e1 +（a1b2a2 b21）e1e2 ， 顯然 。 格拉斯曼還討論了超復(fù)數(shù)之間的混合積。在1855年的一篇文章中，格拉斯曼對超復(fù)數(shù)給出了16種不同類型的乘積。他對這些乘積作了幾何解釋，并給出了它們在力學(xué)、磁學(xué)和結(jié)晶學(xué)等方面的應(yīng)用。,.,29,將復(fù)數(shù)推廣到超復(fù)數(shù)的一個(gè)重要動力原本來源于物理中力學(xué)計(jì)算的需要。格拉斯曼的超復(fù)數(shù)在一定程度上滿足了這種需要，但他的工作在相當(dāng)長的一段時(shí)間里被人忽視了。四元數(shù)倒是很快吸引了人們的注意力，

22、但它卻不適合物理學(xué)家的需要。將四元數(shù)改造成物理學(xué)家所需要的工具的第一步，是由英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家麥克斯韋邁出的。,麥克斯韋,他將四元數(shù)結(jié)構(gòu)區(qū)分為數(shù)量部分和向量部分，并在此基礎(chǔ)上創(chuàng)造了大量的向量分析，不過他還是沒有把向量與四元數(shù)完全分開，仍然經(jīng)常把四元數(shù)作為基本的數(shù)學(xué)實(shí)體。,.,30,5、吉布斯與亥維賽,獨(dú)立于四元數(shù)的三維向量代數(shù)和向量分析，是在19世紀(jì)80年代初由美國數(shù)學(xué)物理學(xué)家吉布斯和英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家亥維賽創(chuàng)立的。他們兩人對這個(gè)課題的發(fā)展結(jié)果，除了記法外本質(zhì)上是一致的。根據(jù)他們提出的思想，一個(gè)向量只是四元數(shù)的向量部分，但獨(dú)立于任何四元數(shù)。因此，向量v=ai+bj+ck 其中i，j，k 是分別沿軸

23、x，y，z的單位向量，a，b，c是三個(gè)實(shí)數(shù)，稱為向量的分量。兩個(gè)向量的和仍是一個(gè)向量，它的分量就是相加的兩個(gè)向量相應(yīng)分量的和。,.,31,向量的乘法有兩種，一種是數(shù)量乘法，用“”表示，也稱為“點(diǎn)乘”，i，j，k滿足 ii = jj = kk = 1， ij = jI = ik = kI = jk = kj = 0,因此，把 v 和 v = ai + bj + ck 點(diǎn)乘就得到 v v = aa + bb + cc 這個(gè)乘積不再是向量而是一個(gè)數(shù)量，稱為數(shù)量積。所以。兩個(gè)向量的數(shù)量乘法與兩個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)或四元數(shù)的乘法都不同，它不滿足封閉性。,.,32,向量的另一種乘法是向量積，用“”表示，也稱為“叉

24、乘”，在這種情形中，i，j，k 滿足 i i = j j = k k =0 ， i j = k ， j i = k ， j k = i ， k j = i ， k i = j ， i k = j ， 因此，把 v 和 v叉乘就得到 v v=（bcbc）i +（caac）j +（abba）k 它也可寫成行列式的形式 :,.,33,Gibbs,兩個(gè)向量的向量積是一個(gè)向量，它的方向垂直于和所決定的平面，且指向通過較小的角度轉(zhuǎn)到時(shí)右手螺旋所指的方向。 有趣的是，魏爾斯特拉斯在1861年證明：有有限個(gè)基元素的實(shí)系數(shù)或復(fù)系數(shù)線性結(jié)合代數(shù)，如果要服從乘積定律和乘法交換律，就只有實(shí)數(shù)代數(shù)和復(fù)數(shù)代數(shù)。這使人們了

25、解到為什么尋求“三維復(fù)數(shù)”的努力是徒勞的。,.,34,第三節(jié) 布爾代數(shù),1、布爾及布爾代數(shù) 2、杰文斯 皮爾斯 施羅德 弗雷格 皮亞諾 懷特海 羅素,19世紀(jì)中后葉，代數(shù)學(xué)還開拓了另一個(gè)完全不同的領(lǐng)域，即布爾代數(shù)。 早在17世紀(jì)，萊布尼茲就試圖建立一種推理代數(shù)，通過演算完成一切正確的推理過程。但是萊布尼茲并沒有完成這項(xiàng)工作。,.,35,1、布爾及布爾代數(shù),萊布尼茲提出的邏輯數(shù)學(xué)化的思想在兩個(gè)世紀(jì)后才獲得實(shí)質(zhì)性進(jìn)展。英國數(shù)學(xué)家布爾的邏輯代數(shù)即現(xiàn)今所稱的“布爾代數(shù)”基本上完成了邏輯的演算工作。 布爾的邏輯代數(shù)建立于“謂詞量化”的基礎(chǔ)上。傳統(tǒng)的亞里士多德邏輯所討論的命題是一種具有“主-謂”形式的命題

26、，在其三段論的各種基本形式中，只有主詞是被量化的。,Boole,De Morgan,.,36,19世紀(jì)上半葉，一些邏輯學(xué)家在對邏輯形式做出新的分析后，發(fā)現(xiàn)實(shí)際判斷不但要考慮主詞的量，而且也要考慮謂詞的量。將謂詞量化的努力使人們想到可以用等式來處理命題，從而為布爾的邏輯代數(shù)作了技術(shù)上的準(zhǔn)備。 1835年，20歲的布爾開辦了一所私人授課學(xué)校。為了給學(xué)生們開設(shè)必要的數(shù)學(xué)課程，他興趣濃厚地讀起了當(dāng)時(shí)一些介紹數(shù)學(xué)知識的教科書。不久，他就感到驚訝，這些東西就是數(shù)學(xué)嗎？實(shí)在令人難以置信。于是，這位只學(xué)過初級數(shù)學(xué)的青年自學(xué)了艱深的天體力學(xué)和很抽象的分析力學(xué)。由于他對代數(shù)關(guān)系的對稱和美有很強(qiáng)的感覺，在孤獨(dú)的研究

27、中，他首先發(fā)現(xiàn)了不變量，并把這一成果寫成論文發(fā)表。,.,37,這篇高質(zhì)量的論文發(fā)表后，布爾仍然留在小學(xué)教書，他開始和許多第一流的英國數(shù)學(xué)家交往或通信，其中有數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家德摩根。摩根在19世紀(jì)前半葉卷入了一場著名的爭論，布爾知道摩根是對的，于是在1848年出版了一本薄薄的小冊子來為朋友辯護(hù)。這本書是他6年后更偉大的東西的預(yù)告，它一問世，立即激起了摩根的贊揚(yáng)，肯定他開辟了新的、棘手的研究科目。布爾此時(shí)已經(jīng)在研究邏輯代數(shù)，即布爾代數(shù)。他把邏輯簡化成極為容易和簡單的一種代數(shù)。 在這種代數(shù)中，適當(dāng)?shù)牟牧仙系摹巴评怼?，成了公式的初等運(yùn)算的事情，這些公式比過去在中學(xué)代數(shù)第二年級課程中所運(yùn)用的大多數(shù)公式要

28、簡單得多。這樣，就使邏輯本身受數(shù)學(xué)的支配。為了使自己的研究工作趨于完善，布爾在此后6年的漫長時(shí)間里，又付出了不同尋常的努力。,.,38,1854年，他發(fā)表了思維規(guī)律這部杰作，當(dāng)時(shí)他已39歲，布爾代數(shù)問世了，數(shù)學(xué)史上樹起了一座新的里程碑。幾乎像所有的新生事物一樣，布爾代數(shù)發(fā)明后沒有受到人們的重視。歐洲大陸著名的數(shù)學(xué)家蔑視地稱它為沒有數(shù)學(xué)意義的哲學(xué)上稀奇古怪的東西，他們懷疑英倫島國的數(shù)學(xué)家能在數(shù)學(xué)上做出獨(dú)特貢獻(xiàn)。布爾在他的杰作出版后不久就去世了。 20世紀(jì)初，羅素在數(shù)學(xué)原理中認(rèn)為，純數(shù)學(xué)是布爾在一部他稱之為思維規(guī)律的著作中發(fā)現(xiàn)的。此說一出，立刻引起世人對布爾代數(shù)的注意。今天，布爾發(fā)明的邏輯代數(shù)已經(jīng)

29、發(fā)展成為純數(shù)學(xué)的一個(gè)主要分支。,.,39,布爾代數(shù)的基本公式,.,40,在布爾之后，一些邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家又對他的邏輯演算作了改進(jìn)和發(fā)展。杰文斯改進(jìn)了相加的類必須不相交的限制；皮爾斯則區(qū)分了命題和命題函數(shù)，并引入了兩個(gè)變量的命題函數(shù)； 在施羅德的三大卷邏輯代數(shù)講義（1890-1905）中，布爾代數(shù)更是發(fā)展到了頂峰。,.,41,1879年，德國數(shù)學(xué)家弗雷格開創(chuàng)了數(shù)理邏輯研究的另一種傳統(tǒng)，即數(shù)學(xué)基礎(chǔ)傳統(tǒng)。他的目標(biāo)不是把數(shù)學(xué)應(yīng)用于邏輯以實(shí)現(xiàn)邏輯規(guī)律和邏輯推理的數(shù)學(xué)化，而是利用精密化的邏輯為數(shù)學(xué)建立一個(gè)可靠的基礎(chǔ)。,.,42,以后，通過佩亞諾、懷特海和羅素等人的工作，就將數(shù)理邏輯研究中的邏輯代數(shù)傳統(tǒng)和數(shù)

30、學(xué)基礎(chǔ)傳統(tǒng)匯合在一起。,.,43,1、高斯的算術(shù)研究,第四節(jié) 代數(shù)數(shù)論,在19世紀(jì)以前，數(shù)論只是一系列孤立的結(jié)果，但自從高斯在1801年發(fā)表了他的算術(shù)研究后，數(shù)論作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支得到了系統(tǒng)的發(fā)展。 算術(shù)研究中有三個(gè)主要思想：同余理論，復(fù)整數(shù)理論和型的理論。其中復(fù)整數(shù)理論正是代數(shù)數(shù)論的開端，而這個(gè)理論又是從高斯對同余理論的研究中派生出來的。如果a，b，m是整數(shù)，并且ab能被m 整除，那么這時(shí)就說 a 和 b 關(guān)于模 m是同余的，高斯將這一事實(shí)記為ab(modm)，它也稱為同余式。對于模相同的同余式，可以像等式那樣來處理。例如，從a b(modm)和 a b(mod m)，可以得出 a

31、a b b (mod m) 。,Gauss,.,44,高斯特別研究了二次剩余。而關(guān)于二次剩余和二次非剩余，有一個(gè)著名的定理與之相聯(lián)系，高斯稱之為二次互反律： 設(shè)p 和 q 是兩個(gè)相異的奇素?cái)?shù)，如果乘積 是偶數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)x2 p (mod q)有解時(shí)， x2 q(mod p)有解；如果上述乘積是奇數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng) x2 p (mod q)無解時(shí)， x2 q(mod p)有解 。 利用勒讓德后來引入的一個(gè)記號 (q / p)：,如果 x2 q（mod p）有解,如果 x2 q（mod p）無解,可以把二次互反律表達(dá)成優(yōu)美的形式：,.,45,它最先由歐拉所發(fā)現(xiàn)，但缺少證明。高斯非常欣賞這個(gè)定律，把它

32、譽(yù)為“算術(shù)中的寶石”，算術(shù)研究中就有該定律的一個(gè)完全證明。 高斯在證明了二次互反律之后，試圖將它推廣到三次或四次互反律，但他發(fā)現(xiàn)為使三次和四次剩余的理論簡單、優(yōu)美，就必須超出通常的整數(shù)范圍，引進(jìn)復(fù)整數(shù)，即實(shí)部和虛部皆為整數(shù)的復(fù)數(shù)。對于復(fù)整數(shù)可以像處理普通整數(shù)那樣討論它的數(shù)論性質(zhì)。從而開辟了數(shù)論的一個(gè)新天地。,Legendre,.,46,易證四個(gè)因子都是素整數(shù)，唯一分解定理不成立。,2、庫默爾與理想數(shù),在高斯之后對代數(shù)數(shù)論作出重要貢獻(xiàn)的是德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺?。他引進(jìn)了一種新的代數(shù)數(shù)，從而推廣了高斯的復(fù)整數(shù)理論。庫默爾原本打算基于這種代數(shù)數(shù)來證明費(fèi)馬大定理。然而不久，他的設(shè)想便因狄利克雷對這種代數(shù)數(shù)唯

33、一分解性的否定而被否定。因?yàn)閷τ谝话愕拇鷶?shù)整數(shù)，唯一分解定理并不成立。例如考慮形如 的代數(shù)整數(shù)，這里a ，b是整數(shù)。我們有,.,47,Kummer,為了重建唯一分解定理，使得普通數(shù)論的一些結(jié)果在推廣到代數(shù)數(shù)論時(shí)仍能成立，為了使普通數(shù)論的一些結(jié)果在推廣到代數(shù)數(shù)論時(shí)仍能成立，庫默爾在1844-1847年間又創(chuàng)立了理想數(shù)理論。如針對上面的例子，在引入理想數(shù),6 就可以唯一地表示成四個(gè)因子的乘積：6 =212 。后來德國數(shù)學(xué)家戴德金又把庫默爾的工作系統(tǒng)化并推廣到一般的代數(shù)數(shù)域，從而創(chuàng)立了現(xiàn)代代數(shù)數(shù)的理論。 戴德金將代數(shù)數(shù)的概念一般化后，開始重建代數(shù)數(shù)域中的唯一因子分析定理，他引進(jìn)了代數(shù)數(shù)類來代替理想數(shù)

34、，為了紀(jì)念庫默爾的理想數(shù)，他把它們稱為理想。,.,48,理想數(shù)是代數(shù)數(shù)域中整數(shù)環(huán)的除子半群中的元素。理想數(shù)的概念是由德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺柼岢龅摹?19世紀(jì)中葉，很多數(shù)學(xué)家還不清楚在代數(shù)整數(shù)環(huán)中是否和整數(shù)環(huán)一樣有素因子唯一分解定理，就連大數(shù)學(xué)家柯西也認(rèn)為唯一分解是對的。庫默爾就此問題與狄利克雷展開討論，在1844年他認(rèn)識到分解是不唯一的。于是，在18451847年庫默爾提出了理想數(shù)的概念。 如果從理想數(shù)的觀點(diǎn)看，整數(shù)環(huán)的分解是唯一的。庫默爾的理想數(shù)就是現(xiàn)今理想的雛形。在庫默爾理想數(shù)理論的基礎(chǔ)上，戴德金和克羅內(nèi)克創(chuàng)立了一般理想理論。戴德金將每個(gè)理想數(shù)與環(huán)中的理想一一對應(yīng)起來，這個(gè)理想被他定義為環(huán)中由0

35、及能被這個(gè)理想數(shù)整除的所有元素組成的子集。 若al，an是理想 I 的生成元，則對應(yīng)于I的理想數(shù)是理想數(shù)（a1），（an）的最大公因子。 后來，理想的概念推廣到任意環(huán)上，那些理想概念與除子概念相一致的環(huán)，現(xiàn)稱之為戴德金環(huán)。,.,49,3、戴德金的理想論,Dedekind,當(dāng)時(shí)哥廷根剛剛建立起數(shù)學(xué)和物理學(xué)討論班，在那里他跟斯特恩學(xué)到數(shù)論基礎(chǔ)知識，跟韋伯學(xué)習(xí)物理。1851年黎曼也參加討論班，他們很快結(jié)下了深厚的友誼。戴德金還學(xué)習(xí)了物理和天文，并聽過高斯的最小二乘法和高等測量學(xué)。他只上了四個(gè)學(xué)期就在高斯指導(dǎo)下準(zhǔn)備博士論文，題目是關(guān)于歐拉積分的理論。對此，高斯寫了如下評語：“戴德金先生準(zhǔn)備的論文是關(guān)于

36、積分學(xué)的一項(xiàng)研究，它決不是一般的。作者不僅顯示出對有關(guān)領(lǐng)域具有充分的知識而且這種獨(dú)創(chuàng)性也預(yù)示出他未來的成就。作為批準(zhǔn)考試的試驗(yàn)論文，我對這篇論文完全滿意?！?戴德金（1831-1916），德國數(shù)學(xué)家。1848年戴德金進(jìn)入了卡羅琳學(xué)院，這也是高斯的母校。在那里他學(xué)到了解析幾何，代數(shù)分析，微積分以及力學(xué)和自然科學(xué)。1850年復(fù)活節(jié)，他進(jìn)入哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí)。,.,50,1855年高斯去世后，狄里赫利來到哥廷根。戴德金聽到狄里赫利的數(shù)論，位勢理論，定積分和偏微分方程等內(nèi)容，獲益匪淺。他很快與狄里赫利有了密切的交往，并進(jìn)入了狄里赫利和他的朋友們的社交活動。1855年冬到1856年，戴德金聽黎曼講授了阿貝爾函數(shù)和橢圓函數(shù)的課程。他