水塔流量估計

1、水塔流量的估計一.問題的提出12.2m17.4m10.8m8.2m某居民區(qū)有一供居民用水的圓柱形水塔，一般可以通過測量其水位來估計其流量。但面臨的困難是，當(dāng)水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時，水泵自動啟動向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時停止供水，這段時間無法測量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一兩次，每次約2h(小時)。水塔是一個高為12.2m,直徑為17.4m是正圓柱。按照設(shè)計,水塔水位降至約8.2m時,水泵自動啟動,水位升到約為10.8m時水泵停止工作。 表1是某一天的水位測量記錄(符號“/”表示水泵啟動)，試估計任何時刻（包括水泵正供水時）從水塔流出的水流量及一天的總用水量。 表1：

2、水位測量記錄（時刻：h，水位：cm）時刻00.921.842.953.874.985.907.017.938.97水位9689489319852839822時刻9.9810.9210.9512.0312.9513.8814.9815.9016.8317.93水位/1994965941918892時刻19.0419.9620.8422.0122.9623.8824.9925.91水位866843822/1二、問題分析 流量是單位時間流出的水的體積，由于水塔是正圓柱形，橫截面積是常數(shù)，在水泵不工作的時段，流量很容易從水位對時間的變化率算出，問題是如何估計水泵供水時段的流量。 水泵供水時段的流量只能

3、靠供水時段前后的流量擬合得到，作為用于擬合的原始數(shù)據(jù)，我們希望水泵不工作的時段流量越準(zhǔn)確越好。 這些流量大體可由兩種方法計算: 一是直接對表1中的水位用數(shù)值微分算出各時段的流量，用它們擬合其它時刻或連續(xù)時間的流量。 二是先用表中數(shù)據(jù)擬合水位時間函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)即可得到連續(xù)時間的流量。一般說來數(shù)值微分的精度不高，何況測量記錄還是不等距的，數(shù)值微分的計算尤其麻煩。下面我們用第二種方法處理。 有了任何時刻的流量，就不難計算一天的總用水量。 其實(shí)，水泵不工作時段的用水量可以由測量記錄直接得到，如表1可知從t=0到t=8.97(h)水位下降了968 822=146(cm)，乘以水塔的截面積就是這一時段的用水

4、量。這個數(shù)值可以用來檢查擬合的結(jié)果。3、 模型假設(shè)1. 流量只取決于水位差，與水位本身無關(guān)。按照Torricelli (托里切利, 1608-1647, 意大利數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、氣壓計原理發(fā)現(xiàn)者)定律從小孔流出的流體的流速正比于水面高度的平方根，題目給出水塔的最低和最高水位分別是8.2m和10.8m(設(shè)出口的水位為零),因?yàn)?所以可忽略水位對速度的影響。 2. 根據(jù)最低和最高水位分別是8.2m和10.8m及表1的水位測量記錄,假設(shè)水泵第1次供水時段為到,第2次供水時段為到。其中前3個時刻取自實(shí)測數(shù)據(jù)（精確到0.1h）,最后1個時刻來自每次供水約兩小時的已知條件（從記錄看，每2次供水時段應(yīng)在有記

5、錄的22.96h之后不久結(jié)束）。3. 水泵工作時單位時間的供水量大致是常數(shù)，此常數(shù)大于單位時間的平均流量。4. 流量是對時間的連續(xù)函數(shù)。5. 流量與水泵是否工作無關(guān)。6. 由于水塔截面積是常數(shù), ,為簡單起見，計算中將流量定義為單位時間流出的水的高度，即水位對時間變化率的絕對值（水位是下降的），最后給出結(jié)果時再乘以S即可。即：水位是時間的連續(xù)函數(shù) 水位對時間的變化率(流量) 任何時刻的流量： 四、模型建立1.擬合水位時間函數(shù)從表1 測量記錄看，一天有兩個供水時段（以下稱第1供水時段和第2供水時段）和3個水泵不工作時段(以下稱第1用水時段到，第2用水時段到第3用水時段以后)。對第1、2用水時段的

6、測量數(shù)據(jù)分別作多項(xiàng)式擬合，得到水位函數(shù) 和。為使擬合曲線比較光滑，多項(xiàng)式次數(shù)不要太高，一般用36次。由于第3時段只有3個測量記錄，無法對這一時段的水位作出比較好的擬合，可采用外推的辦法解決。 2. 確定流量時間函數(shù) 對于第1、2用水時段，只需將水位函數(shù) 求導(dǎo)數(shù)即可，對于兩個供水時段的流量，則用供水時段前后（水泵不工作時段）的流量擬合得到，并且將擬合得到的第2供水時段流量外推，將第3用水時段流量包含在第2供水時段內(nèi)，需要擬合四個流量函數(shù)。3. 一天總用水量的估計總用水量等于兩個水泵不工作時段和兩個供水時段用水量之和，它們都可以由流量對時間的積分得到。五、模型求解根據(jù)表一，可以對各時段的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬

7、合。建立時間和水位向量的函數(shù)關(guān)系。為使擬合曲線比較光滑，多項(xiàng)式次數(shù)不要太高，一般用36次。先用3次函數(shù)進(jìn)行擬合第一時段0,9的水位、流量。設(shè)t、h為已輸入的時刻和水位測量記錄(水泵啟動的4個時刻不輸入): h=968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 0 0 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 0 0 1059 1035 1018; t=0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88

8、14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91; x1=t(1:10);x2=x1.2;x3=x1.3; n=10;m=3; x=ones(n,1),x1,x2,x3; b,bint,r,rint,stats=regress(h(1:10),x,0.05)b = 967.7356 -22.1079 1.3586 -0.0785bint = 966.5367 968.9345 -23.3536 -20.8622 1.0241 1.6932 -0.1030 -0.0541r = 0.2644 -0.48

9、51 -0.1676 0.6754 0.0260 -0.6328 0.5374 -0.4676 0.3089 -0.0590rint = -0.3216 0.8505 -1.5934 0.6232 -1.3634 1.0282 -0.2883 1.6392 -1.2427 1.2947 -1.7032 0.4376 -0.5339 1.6088 -1.5560 0.6207 -0.8696 1.4874 -0.6534 0.5353stats = 1.0e+004 * 0.0001 2.3222 0.0000 0.0000 rcoplot(r,rint)殘差分析可以看到，擬合比較符合，擬合效果

10、較好。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)，選取3次較合適。故以下選用三次函數(shù)進(jìn)行擬合。1、擬合第1用水時段各時刻的流量，可由如下程序代碼得到： c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3); %用3次多項(xiàng)式擬合第1用水時段水位h1=h1(t)，c1輸出 3次多項(xiàng)式的系數(shù) a1=polyder(c1); %a1輸出多項(xiàng)式（系數(shù)為c1）導(dǎo)數(shù)的系數(shù)， h1=-polyval(a1,t(1:10); %給出水位變化率h1=h1(t)在 t(1)-t(10)上的離散值，即流量 t1 = 0:0.1:9; %將第一用水時段0 , 9細(xì)分 h11= -polyval(a1,tp1); %h11輸出多項(xiàng)式a1在t11點(diǎn)的

11、函數(shù)值(取負(fù)后邊為正值)，即t11 時刻的流量(水位下降的速率)。用程序進(jìn)行計算，求得在0，9內(nèi)各時刻的流量值(水位變化率)如下表：00.921.842.953.874.985.907.017.938.9722.1119.8117.9116.1415.1214.4214.2814.6415.3816.69第一用水段流量（水位變化率）曲線圖2. 擬合第2用水時段11,20.8的水位、流量c2=polyfit(t(13:23),h(13:23),3); %用3次多項(xiàng)式擬合第2用水時段水位水位h2=h2(t) ， c2輸出3次多項(xiàng)式的系數(shù)a2 = polyder(c2); %a2輸出多項(xiàng)式（系數(shù)為c

12、2）導(dǎo)數(shù)的系數(shù),h2=-polyval(a2,t(13:23); %給出水位變化率h2=h2(t)t2 = 11:0.1:20.8; %將第二用水時段11 , 20.8細(xì)分h22 = -polyval(a2,t2); %x2輸出多項(xiàng)式（a2）在tp2點(diǎn)的函數(shù)值(取負(fù)后邊為正 值)，即tp2 時刻的流量(水位下降的速率)。進(jìn)行計算，求得在11,20.8內(nèi)各時刻的流量值(水位變化率)如下表：10.9512.0312.9513.8814.9815.9016.8317.9319.0419.9620.8422.1119.8117.9116.1415.1214.4214.2814.6415.3816.69

13、67.81第二用水段流量（水位變化率）曲線圖3. 擬合第1供水時段9，11的流量 在第1供水時段（t = 911）之前（即第1用水時段）和之后（第2用水時段）各取幾點(diǎn)，其流量已經(jīng)得到，用它們擬合第1供水時段的流量。為使流量函數(shù)在t =9 和t =11連續(xù)我們簡單地只取4個點(diǎn)，擬合3次多項(xiàng)式（即曲線必過這4個點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)如下： x1 = -polyval(a1,8 9) %取第1時段在t=8,9的流量 x2=-polyval(a2,11 12) %取第2時段在t=11,12的流量 x12 = x1 x2; %將四個點(diǎn)合并 c12 = polyfit(8 9 11 12, x12, 3); %擬合3

14、次多項(xiàng)式 t12 =9:0.1:11; %將第一供水時段11 , 20.8細(xì)分 xx12 = polyval(c12,t12); %xx12輸出第一供水時段各時刻的流量進(jìn)行計算，求得在9,11內(nèi)各時刻的流量值(水位變化率)如下表：9.9810.9225.3932.45 第一供水段流量（水位變化率）曲線圖4. 擬合第2供水時段20.8,24的流量 在第2供水時段之前取t =20,20.8兩點(diǎn)的水流量，在該時刻之后（第3用水段）僅有3個水位記錄，我們用差分得到流量，然后用這4個數(shù)值擬合第2供水時段的流量如下： dt3 = diff(t(26:28); %最后3個時刻之后的兩兩之差dh3 = dif

15、f(h (26:28); %最后3個水位的兩兩之差dht3 = -dh3./dt3; % t(22)和t(23)的流量（差商代替微商）t3 = 20 20.8 t(26) t(27)； %取第二供水時段前后各兩點(diǎn)x3=-polyval(a2,t3(1:2),dht3; %求得t3各時刻的流量c3 = polyfit(t3,x3,3); % 擬合3次多項(xiàng)式t3 = 20.8:0.1:24； %將第二供水時段和第三用水時段細(xì)分xx3=polyval(c3,t3); % xx3輸出第2供水時段及第三用水時刻的流量用程序進(jìn)行計算，求得在20.8,24內(nèi)各時刻的流量值(水位變化率)如下表：22.0122

16、.9623.8824.9925.9125.54723.93721.62218.47816.08第二供水段流量（水位變化率）曲線圖4. 一天總用水量的估計 第1、2用水時段和第1、2供水時段流量的積分之和，就是一天總用水量。雖然諸時段的流量已表示為多項(xiàng)式函數(shù)，積分可以解析的算出，這里仍用數(shù)值積分計算。(1) . 第一用水時段的用水量 其中積分值 h1 通過梯形公式計算：(2). 第二用水時段的用水量(3) . 第一供水時段的用水量(4) . 第二供水和第三用水時段的用水量m1 = 0.1*trapz(h1); % 第1用水時段用水量(按高度計), 0.1為積分步長m2 = 0.1*trapz(h

17、2); %第2用水時段用水量m12 = 0.1*trapz(xx12); %第1供水時段用水量m3 = 0.1*)trapz(xx3); %第2供水時段用水量V= (m1+m2+m12+m3)*237.8*0.01; %一天總用水量,高度是cm，換算成m。通過程序可以計算出各時段的用水量及一天的總用水量如下：用水量第1用水時段第2用水時段第1供水十點(diǎn)第2供水時段一天總用水量噸347.62613.63119.85178.141259.2其中四個時段都用三次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，如果第一用水時段、第一、二供水時段用三次多項(xiàng)式，第二用水時段用四次多項(xiàng)式擬合，得另一計算結(jié)果： 用水量第1用水時段第2用水時段

18、第1供水十點(diǎn)第2供水時段一天總用水量噸347.62613.76115.33187.021263.7 下圖為一天用水流量的曲線圖：5. 流量及總用水量的檢驗(yàn)計算出的各時刻的流量可用水位記錄的數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)。用水量V1用第1用水時段水位測量記錄中下降高度h1=968-822=146cm來計算并檢驗(yàn)，在第一用水時段水的實(shí)際用量為： V1=S* h1=237.8*146*0.01=347.19(噸)類似地，第二用水時段用去的水的高度h2=1082-822=260cm,實(shí)際用水量為： V3=S* h2=237.8*260*0.01=618.28(噸)而計算值為： V1=347.62(噸) ， V2=613.76(噸) 比較接近。 供水時段流量的一種檢驗(yàn)方法如下：供水時段的用水量加上水位上升值260是該時段泵入的水量，除以時段長度得到水泵的功率（單位時間泵入的水量），而兩個供水時段水泵的功率應(yīng)大致相等。第1、2時段水泵的公率可以計算如下：p1 = (