高中數(shù)學(xué) 第一講 不等式和絕對值不等式 二 絕對值不等式 2 絕對值不等式的解法學(xué)案（含解析）新人教A版選修4-5

1、2絕對值不等式的解法1|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法只需將axb看成一個整體，即化成|x|a，|x|a(a0)型不等式求解|axb|c(c0)型不等式的解法：先化為caxbc，再由不等式的性質(zhì)求出原不等式的解集不等式|axb|c(c0)的解法：先化為axbc或axbc，再進(jìn)一步利用不等式性質(zhì)求出原不等式的解集2|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，理解絕對值的幾何意義，給絕對值不等式以準(zhǔn)確的幾何解釋是解題關(guān)鍵以絕對值的零點為分界點，將數(shù)軸分為幾個區(qū)間，利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)分類討論的思想確定各個絕對值符號內(nèi)多項

2、式的正、負(fù)性，進(jìn)而去掉絕對值符號是解題關(guān)鍵通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想，正確求出函數(shù)的零點并畫出函數(shù)圖象(有時需要考查函數(shù)的增減性)是解題關(guān)鍵|axb|c與|axb|c(c0)型的不等式的解法解下列不等式：(1)|5x2|8；(2)2|x2|4.利用|x|a及|x|0)型不等式的解法求解(1)|5x2|85x28或5x28x2或x，原不等式的解集為.(2)原不等式價于由得x22，或x22，x0或x4.由得4x24，2x6.原不等式的解集為x|2x0或4x6|axb|c和|axb|c型不等式的解法：當(dāng)c0時，|axb|caxbc或axbc，|axb|ccaxbc.當(dāng)c0

3、時，|axb|c的解集為R，|axb|c的解集為.當(dāng)c0時，|axb|c的解集為R，|axb|c的解集為.1解下列不等式：(1)|32x|x23x4；(3)|x23x4|x1.解：(1)|32x|9，|2x3|9.92x39.即62x12.3x6.原不等式的解集為x|3x0，|xx22|x2x2|x2x2.故原不等式等價于x2x2x23x4x3.原不等式的解集為x|x3(3)不等式可轉(zhuǎn)化為x23x4x1或x23x40或x22x35或x1或1x3，不等式的解集是(5，)(，1)(1,3)2已知常數(shù)a滿足1a1，解關(guān)于x的不等式：ax|x1|1.解：若x1，則axx11，即(a1)x0.因為1a1

4、，所以x0.又x1，所以1x0.若x1，則axx11，即(a1)x2.因為1a1，所以x.因為1a1，所以(1)0.所以x1.綜上所述，x0.故不等式的解集為.|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法解不等式|x3|x1|1.解該不等式，可采用三種方法：(1)利用絕對值的幾何意義；(2)利用各絕對值的零點分段討論；(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)圖象分析求解法一：在數(shù)軸上1,3，x對應(yīng)的點分別為A，C，P，而B點對應(yīng)的實數(shù)為，B點到C點的距離與到A點的距離之差為1.由絕對值的幾何意義知，當(dāng)點P在射線Bx上(不含B點)時不等式成立，故不等式的解集為.法二：原不等式或或的解集為，的解集為，的解集為

5、x|x3綜上所述，原不等式的解集為.法三：將原不等式轉(zhuǎn)化為|x3|x1|1時，有y0，即|x3|x1|10)型不等式的三種解法：分區(qū)間(分類)討論法、圖象法和幾何法分區(qū)間討論的方法具有普遍性，但較麻煩；幾何法和圖象法直觀，但只適用于數(shù)據(jù)較簡單的情況3解不等式|2x1|3x2|8.解：當(dāng)x時，|2x1|3x2|812x(3x2)85x9x，x；當(dāng)xm.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集為R；(3)若不等式解集為，分別求出m的取值范圍解答本題可以先根據(jù)絕對值|xa|的意義或絕對值不等式的性質(zhì)求出|x2|x3|的最大值和最小值，再分別寫出三種情況下m的取值范圍法一：因|x2|x3|的幾何意義為數(shù)

6、軸上任意一點P(x)與兩定點A(2)，B(3)距離的差即|x2|x3|PA|PB|.又(|PA|PB|)max1，(|PA|PB|)min1.即1|x2|x3|1.(1)若不等式有解，m只要比|x2|x3|的最大值小即可，即mm時，分別求出m的取值范圍解：|x2|x3|(x2)(x3)|1，即|x2|x3|1.(1)若不等式有解，m為任何實數(shù)均可，即mR；(2)若不等式解集為R，即m(，1)；(3)若不等式解集為，這樣的m不存在，即m.課時跟蹤檢測(五)1不等式|x1|3的解集是()Ax|x2 Bx|4x2Cx|x4或x2 Dx|4x3，則x13或x13，因此x2.2滿足不等式|x1|x2|5

7、的所有實數(shù)解的集合是()A(3,2) B(1,3) C(4,1) D.解析：選C|x1|x2|表示數(shù)軸上一點到2，1兩點的距離和，根據(jù)2，1之間的距離為1，可得到2，1距離和為5的點是4,1.因此|x1|x2|5解集是(4,1)3不等式1|2x1|2的解集為()A. B.C. D.解析：選D由1|2x1|2，得12x12或22x11，因此x0或1x.4若關(guān)于x的不等式|x1|xm|3的解集為R，則實數(shù)m的取值范圍是()A(，4)(2，) B(，4)(1，)C(4,2) D解析：選A由題意知，不等式|x1|xm|3恒成立，即函數(shù)f(x)|x1|xm|的最小值大于3，根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)可得|x

8、1|xm|(x1)(xm)|m1|，故只要滿足|m1|3即可，所以m13或m13，解得m2或m4，故實數(shù)m的取值范圍是(，4)(2，)5不等式|x2|x|的解集是_解析：不等式兩邊是非負(fù)實數(shù)，不等式兩邊可以平方，兩邊平方，得(x2)2x2，x24x4x2，即x1，原不等式的解集為x|x1答案：x|x16不等式|2x1|x1的解集是_解析：原不等式等價于|2x1|x1x12x1x10x2.答案：x|0x27已知函數(shù)f(x)|x1|x2|a22a|，若函數(shù)f(x)的圖象恒在x軸上方，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：因為|x1|x2|x1(x2)|3，所以f(x)的最小值為3|a22a|.由題意，得|a

9、22a|3，解得1a3.答案：(1,3)8解不等式：|x22x3|3x1|.解：原不等式(x22x3)2(3x1)20(x2x2)(x25x4)0x25x40(因為x2x2恒大于0)1x4.所以原不等式的解集是x|1x49解關(guān)于x的不等式|2x1|2m1(mR)解：若2m10，即m，則|2x1|0，即m，則(2m1)2x12m1，所以1mx時，原不等式的解集為x|1mx0，ab5，則的最大值為_解析：令t，則t2a1b32929a1b313ab13518，當(dāng)且僅當(dāng)a1b3時取等號，此時a，b.tmax3.答案：33(重慶高考)若函數(shù)f(x)|x1|2|xa|的最小值為5，則實數(shù)a_.解析：由于

10、f(x)|x1|2|xa|，當(dāng)a1時，f(x)作出f(x)的大致圖象如圖所示，由函數(shù)f(x)的圖象可知f(a)5，即a15，a4.同理，當(dāng)a1時，a15，a6.答案：6或44.(全國乙卷)已知函數(shù)f(x)|x1|2x3|.(1)畫出yf(x)的圖象；(2)求不等式|f(x)|1的解集解：(1)由題意得f(x)故yf(x)的圖象如圖所示(2)由f(x)的函數(shù)表達(dá)式及圖象可知，當(dāng)f(x)1時，可得x1或x3；當(dāng)f(x)1時，可得x或x5.故f(x)1的解集為x|1x3，f(x)1的解集為.5(江蘇高考)設(shè)a0，|x1|，|y2|，求證：|2xy4|a.證明：因為|x1|，|y2|，所以|2xy4|

11、2(x1)(y2)|2|x1|y2|2a.6(全國丙卷)已知函數(shù)f(x)|2xa|a.(1)當(dāng)a2時，求不等式f(x)6的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)|2x1|.當(dāng)xR時，f(x)g(x)3，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a2時，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集為x|1x3(2)當(dāng)xR時，f(x)g(x)|2xa|a|12x|3，即.又min，所以，解得a2.所以a的取值范圍是“acbd”是“ab且cd”的()A必要不充分條件 B充分不必要條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件易得ab且cd時必有acbd.若acbd時，則可能有ab且cd.A基本不等式的

12、應(yīng)用利用基本不等式求最值問題一般有兩種類型：和為定值時， 積有最大值；積為定值時，和有最小值，在具體應(yīng)用基本不等式解題時， 一定要注意適用的范圍和條件：“一正、二定、三相等”已知x，y，zR，x2y3z0，則的最小值為_由x2y3z0，得y，則3，當(dāng)且僅當(dāng)x3z時，等號成立3設(shè)a，b，c為正實數(shù)，求證：abc2.因為a，b，c為正實數(shù)，由平均不等式可得3.即，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立所以abcabc，而abc22.所以abc2，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立.含絕對值的不等式的解法1.公式法|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)；|f(x)|g(x)g(x)f(x)|g(x)|22.3零點分段法含有兩個以上絕對值符號的不等式，可先求出使每個含絕對值符號的代數(shù)式值等于零的未知數(shù)的值，將這些值依次在數(shù)軸上標(biāo)注出來，它們把數(shù)軸分成若干個區(qū)間，討論每一個絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式在每一個區(qū)間上的符號，轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式去解解下列關(guān)于x的不等式：(1)|x1|x3|；(2)|x2|2x5|2x.(1)法一：|x1|x3|，兩邊平方得(x1)2(x3)2，8x8.x1. 原不等式的解集為x|x1法二：分段討論：當(dāng)x1時，有x1x3，此時x；當(dāng)1x3，即x1，此時13時，有x1x3成立，x3.原不等式的解集為x|x1(2)分段討論：當(dāng)x2x，解得x2x，解得x2時，原不等式