高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1.1 任意角學(xué)案（含解析）新人教A版必修4

1、11.1任意角角的分類提出問題問題1：當(dāng)鐘表慢了(或快了)，我們會將分針按某個方向轉(zhuǎn)動，把時間調(diào)整準確在調(diào)整的過程中，分針轉(zhuǎn)動的角度有什么不同？提示：旋轉(zhuǎn)方向不同問題2：在體操或跳水比賽中，運動員會做出“轉(zhuǎn)體兩周”“向前翻騰兩周半”等動作，做上述動作時，運動員分別轉(zhuǎn)體多少度？提示：順時針方向旋轉(zhuǎn)了720或逆時針方向旋轉(zhuǎn)了720，順時針方向旋轉(zhuǎn)了900.導(dǎo)入新知角的分類1按旋轉(zhuǎn)方向名稱定義圖形正角按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負角按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2.按角的終邊位置(1)角的終邊在第幾象限，則稱此角為第幾象限角；(2)角的終邊在坐標軸上，則此角不屬于任何一個象限

2、化解疑難1任意角的概念認識任意角的概念應(yīng)注意三個要素：頂點、始邊、終邊(1)用旋轉(zhuǎn)的觀點來定義角，就可以把角的概念推廣到任意角，包括任意大小的正角、負角和零角(2)對角的概念的認識關(guān)鍵是抓住“旋轉(zhuǎn)”二字要明確旋轉(zhuǎn)方向；要明確旋轉(zhuǎn)角度的大小；要明確射線未作任何旋轉(zhuǎn)時的位置2象限角的前提條件角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合.終邊相同的角提出問題在條件“角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合”下，研究下列角：30，390，330.問題1：這三個角的終邊位置相同嗎？提示：相同問題2：如何用含30的式子表示390和330？提示：390136030，330136030.問題3：

3、確定一條射線OB，以它為終邊的角是否唯一？提示：不唯一導(dǎo)入新知終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和化解疑難所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)可以用式子k360，kZ表示，在運用時需注意以下幾點(1)k是整數(shù)，這個條件不能漏掉(2)是任意角(3)k360，kZ與之間用“”連接，如k36030，kZ應(yīng)看成k360(30)，kZ.(4)終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差周角的整數(shù)倍；相等的角終邊一定相同象限角的判斷例1已知角的頂點與坐標原點重合，始邊落在x軸的非負半軸上，作出下列各角，并指出它們是第幾

4、象限角(1)75；(2)855；(3)510.解作出各角，其對應(yīng)的終邊如圖所示：(1)由圖可知：75是第四象限角(2)由圖可知：855是第二象限角(3)由圖可知：510是第三象限角類題通法象限角的判斷方法(1)根據(jù)圖形判定，在直角坐標系中作出角，角的終邊落在第幾象限，此角就是第幾象限角(2)根據(jù)終邊相同的角的概念把角轉(zhuǎn)化到0360范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)化后的角在第幾象限，此角就是第幾象限角活學(xué)活用在直角坐標系中，作出下列各角，在0360范圍內(nèi)，找出與其終邊相同的角，并判定它是第幾象限角(1)360；(2)720；(3)2 012；(4)120.解：如圖所示，分別作出各角，可以發(fā)現(xiàn)：(1)3600360，(

5、2)72002360，因此，在0360范圍內(nèi)，這兩個角均與0角終邊相同所以這兩個角不屬于任何一個象限(3)2 0122125360，所以在0360范圍內(nèi)，與2 012角終邊相同的角是212，所以2 012是第三象限角(4)120240360，所以在0360范圍內(nèi)，與120角終邊相同的角是240，所以120是第三象限角終邊相同的角的表示例2(1)寫出與1 910終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式720360的元素寫出來(2)分別寫出終邊在下列各圖所示的直線上的角的集合(3)寫出終邊落在圖中陰影部分(包括邊界)的角的集合解(1)與角1 910終邊相同的角的集合為.720360，7201 91

6、0k360360，3k6，故k4,5,6.k4時，1 9104360470.k5時，1 9105360110.k6時，1 9106360250.(2)在0360范圍內(nèi)，終邊在直線y0上的角有兩個，即0和180，因此，所有與0角終邊相同的角構(gòu)成集合S1|0k360，kZ，而所有與180角終邊相同的角構(gòu)成集合S2|180k360，kZ，于是，終邊在直線y0上的角的集合為SS1S2|k180，kZ由圖形易知，在0360范圍內(nèi)，終邊在直線yx上的角有兩個，即135和315，因此，終邊在直線yx上的角的集合為S|135k360，kZ|315k360，kZ|135k180，kZ終邊在直線yx上的角的集合為

7、|45k180，kZ，結(jié)合知所求角的集合為S|45k180，kZ|135k180，kZ|452k90，kZ|45(2k1)90，kZ|45k90，kZ(3)終邊落在OA位置上的角的集合為|9045k360，kZ|135k360，kZ，終邊落在OB位置上的角的集合為|30k360，kZ，故陰影部分角的集合可表示為|30k360135k360，kZ類題通法1常用的三個結(jié)論(1)終邊相同的角之間相差360的整數(shù)倍(2)終邊在同一直線上的角之間相差180的整數(shù)倍(3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90的整數(shù)倍2區(qū)域角是指終邊落在坐標系的某個區(qū)域的角，其寫法可分三步(1)先按逆時針方向找到區(qū)域的起

8、始和終止邊界；(2)由小到大分別標出起始、終止邊界對應(yīng)的一個角，寫出所有與，終邊相同的角；(3)用不等式表示區(qū)域內(nèi)的角，組成集合活學(xué)活用1將下列各角表示為k360(kZ,0360)的形式，并指出是第幾象限角(1)420；(2)495；(3)1 020.答案：(1)42060360第一象限角(2)4952252360第三象限角(3)1 0203002360第四象限角2已知角的終邊在如圖所示的陰影部分內(nèi)，試指出角的取值范圍答案：|30k180105k180，kZ確定n及所在的象限例3若是第二象限角，則2，分別是第幾象限角？解(1)是第二象限角，90k360180k360(kZ)，180k72023

9、60k720(kZ)，2是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上(2)是第二象限角，90k360180k360(kZ)，45k18090k180(kZ)當(dāng)k2n(nZ)時，45n36090n360(nZ)，即是第一象限角；當(dāng)k2n1(nZ)時，225n360270n360(nZ)，即是第三象限角故是第一或第三象限角類題通法1n所在象限的判斷方法確定n終邊所在的象限，先求出n的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可2.所在象限的判斷方法已知角所在象限，要確定角所在象限，有兩種方法：(1)用不等式表示出角的范圍，然后對n的取值分情況討論：被n整除；被n除余1；被n除余2；被n除余n1.從而得

10、出結(jié)論(2)作出各個象限的從原點出發(fā)的n等分射線，它們與坐標軸把周角分成4n個區(qū)域從x軸非負半軸起，按逆時針方向把這4n個區(qū)域依次循環(huán)標上1,2,3,4.標號為幾的區(qū)域，就是根據(jù)終邊所在的象限確定的終邊所落在的區(qū)域如此，所在的象限就可以由標號區(qū)域所在的象限直觀地看出活學(xué)活用已知角為第三象限角，試確定角2，分別是第幾象限角答案：2可能是第一象限角、第二象限角或終邊在y軸非負半軸上的角可能是第二象限角或第四象限角典例下列說法中正確的是()A三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角B第一象限角必是銳角C不相等的角終邊一定不相同D若k360(kZ)，則和終邊相同解析90角可以是三角形的內(nèi)角，但它不是第一、二象限

11、角；390角是第一象限角，但它不是銳角；390角和30角不相等，但終邊相同，故A、B、C均不正確對于D，由終邊相同的角的概念可知正確答案D易錯防范1若三角形是直角三角形，則有一個角為直角，且直角的終邊在y軸的非負半軸上，不屬于任何象限若忽視此點，則易錯選A.2銳角是第一象限角，但第一象限角不一定是銳角，如380角為第一象限角，但它不是銳角若混淆這兩個概念，則易誤選B.3當(dāng)角的范圍擴充后，相差k360(kZ)的角的終邊相同若忽視此點，易錯選C.4解決好此類問題應(yīng)注意以下三點：(1)弄清直角和象限角的區(qū)別，把握好概念的實質(zhì)內(nèi)容(2)弄清銳角和象限角的區(qū)別(3)對角的認識不能僅僅局限于0360.成功

12、破障下列說法：銳角都是第一象限角；第一象限角一定不是負角；第二象限角大于第一象限角；第二象限角是鈍角；小于180的角是鈍角、直角或銳角其中正確命題的序號為_答案：隨堂即時演練1把一條射線繞著端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)240所形成的角的大小是()A120B120C240 D240答案：D2與457角的終邊相同的角的集合是()A|457k360，kZB|97k360，kZC|263k360，kZD|263k360，kZ答案：C3下列說法中正確的序號有_65是第四象限角；225是第三象限角；475是第二象限角；315是第一象限角答案：4在0360范圍內(nèi)與1 050終邊相同的角是_，它是第_象限角答案：30

13、一5.試寫出終邊在直線yx上的角的集合S，并把S中適合不等式180180的元素寫出來答案：S|120k180，kZ適合不等式180180的元素為60，120課時達標檢測一、選擇題1435角的終邊所在的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限答案：D2終邊在第二象限的角的集合可以表示為()A|90180B|90k180180k180，kZC|270k180180k180，kZD|270k360180k360，kZ答案：D3若是第四象限角，則一定是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案：A4集合M|k90，kZ中各角的終邊都在()Ax軸非負半軸上By軸非負半軸上Cx軸或y軸上Dx軸非負半軸或y軸非負半軸上答案：C5角與角的終邊關(guān)于y軸對稱，則與的關(guān)系為()Ak360，kZBk360180，kZCk360180，kZDk360，kZ答案：B二、填空題6已知角3 000，則與角終邊相同的最小正角是_答案：2407如果將鐘表撥快10分鐘，則時針所轉(zhuǎn)成的角度是_度，分針所轉(zhuǎn)成的角度是_度答案：5608已知角2的終邊在x軸的上方，那么是第_象限角答案：一或三三、解答題9如果為小于360的正角，這個角的4倍角的終邊與這個角的終邊重合，求的值解：由題意得4k360，kZ，3k360，k120，又0360