勾股定理案例

1、勾股定理教學(xué)案例一、教材分析本節(jié)課是九年制義務(wù)教育課程標準實驗教科書（蘇科版）八年級上冊第二章第一節(jié)“勾股定理”的第一課時，在本節(jié)課以前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)三角形的一些知識，如三角形的三邊不等關(guān)系，三角形全等的判定等。也學(xué)過不少利用圖形面積來探求數(shù)式運算規(guī)律的例子，如探求乘法公式、單項式乘多項式法則、多項式乘多項式法則等。勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的一種美妙關(guān)系，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來，在數(shù)學(xué)的發(fā)展和現(xiàn)實世界中有著廣泛的作用。本節(jié)是直角三角形相關(guān)知識的延續(xù)，同時也是學(xué)生認識無理數(shù)的基礎(chǔ)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識承前啟后的緊密相關(guān)性、連續(xù)性。此外，歷史上勾股定理的發(fā)現(xiàn)反映了人類杰出的智慧，其中蘊涵

2、著豐富的科學(xué)與人文價值。二、教學(xué)目標 1、讓學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)到形再由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化過程，經(jīng)歷探求三個正方形面積間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三邊數(shù)量關(guān)系的過程，經(jīng)由特殊到一般的探索過程。并從過程中讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展將未知轉(zhuǎn)化為已知，由特殊推測一般的合情推理能力。2、讓學(xué)生經(jīng)歷拼圖實驗、計算面積的過程，在過程中養(yǎng)成獨立思考、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣；讓各類型的學(xué)生在這些過程中發(fā)揮自己特長，通過解決問題增強自信心，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；通過老師的介紹，感受勾股定理的文化價值3、能說出勾股定理，并能用勾股定理解決簡單問題三、教學(xué)重點勾股定理的探索過程四、教學(xué)難點將邊不在格線上的圖形轉(zhuǎn)化為邊在格線上的圖形，以便于計算圖形

3、面積五、教學(xué)方法與教學(xué)手段采用探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)，提供適當(dāng)?shù)膯栴}情境給學(xué)生自主探究交流的空間，引導(dǎo)學(xué)生有目的地探索六、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣師：觀察下列圖片，它們都與什么圖形有關(guān)？CBA生：（齊答）直角三角形，正方形！師：這三幅圖分別是一張希臘為紀念一個重要數(shù)學(xué)定理而發(fā)行的郵票、華羅庚教授建議向外太空發(fā)射與外星人聯(lián)系的圖案、2002年國際數(shù)學(xué)家大會會標弦圖，它們都可以證明一個重要定理！大家想知道是哪個定理嗎？生：想！師：好！下面老師和大家一起來探索這個定理！設(shè)計意圖：通過欣賞圖片，了解歷史，介紹與勾股定理有關(guān)的背景知識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，自然引出本節(jié)課的課題。（二）用數(shù)學(xué)的眼光看問題（畢

4、達哥拉斯的發(fā)現(xiàn)）師：相傳兩千多年前，古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的賓客都在盡情歡樂，只有畢達哥拉斯卻看著朋友家的方磚地發(fā)起呆來。原來，朋友家的地是用一塊塊直角三角形形狀的磚鋪成的，黑白相間，非常美觀大方。師：同學(xué)們，請你也來觀察下圖中的地面，看看能發(fā)現(xiàn)些什么？生1：由等腰直角三角形、正方形師：原來啊，畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了地磚上的三個正方形存在某種關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了嗎？探究活動1（2）你能找出圖中三個正方形面積之間的關(guān)系嗎？生2：兩個紅顏色的正方形的面積之和等于藍顏色的正方形的面積。師：你能說說理由嗎？生2：如果一個小的等腰直角三角形的面積為1，那么兩個小正方形的面積

5、和大正方形的面積都等于4設(shè)計意圖：通過講傳說故事來進一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在不知不覺中進入學(xué)習(xí)的最佳狀態(tài)，“問題是思維的起點”，通過層層設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知。（三）深入探究，交流歸納探究活動2ABCBAC問題1：設(shè)每個小正方形的面積為1，分別計算下列圖形中正方形A、B、C的面積，它們之間都有上述關(guān)系嗎？生3：在算出面積之后，肯定地說有SA+SB=Sc問題2：你能用等腰直角三角形的邊長表示正方形的面積嗎？由此猜想等腰直角三角形三邊有怎樣的關(guān)系？生4：我發(fā)現(xiàn)每個正方形的面積都等于直角三角形邊長的平方，若一個等腰直角三角形的兩條直角邊為a，斜邊為c，則有a2+a2=c2a2 +a2 =c2等

6、腰直角三角形教師板書：師：在等腰直角三角形中，這個結(jié)論是成立的，那么這個結(jié)論對于個更一般的三角形是否成立呢？生：（不加思索）成立！師：比等腰直角三角形更一般的三角形是什么三角形？生5：等腰三角形、直角三角形生6：還有普通三角形師：好！我們先來研究等腰三角形！以等腰三角形三邊為邊長向外作正方形，三個正方形之間滿足剛才的關(guān)系嗎？ABCABCD生7：在網(wǎng)格中作出等腰三角形，并向外作正方形，很明顯A、B、C三者之間沒有任何關(guān)系！因此等腰三角形的三邊沒有特殊關(guān)系！師：很好！生8：其實不在網(wǎng)格，也可以說明！等腰ADB和等腰ACB有公共的底邊AB，以AC、CB為邊長的正方形的面積之和與以AD、BD為邊長的正

7、方形的面積之和不相等。所以等腰三角形的三邊沒有特殊關(guān)系！（學(xué)生報以熱烈的掌聲）師：很好，實踐是檢驗真理的唯一標準，我們還可以借助多媒體來驗證?。ń處熝菔編缀萎嫲澹┙柚鷰缀萎嫲逯庇^演示，得出結(jié)論：一般的等腰三角形中三邊不具有特殊的關(guān)系！當(dāng)然普通三角形三邊也不具有特殊的關(guān)系！師：下面我們來研究直角三角形探究活動3做一做：問題3：請求圖中正方形A、B、C的面積，看看能得出什么結(jié)論？BAC師：在這里正方形A、B的面積很容易求出，正方形C的面積怎么求呢？生9：可以用這樣的方法：用大正方形的面積減去四個小直角三角形的面積，面積等于25。ACCBAB CC生10：可以將其分割成四個全等的直角三角形和一個小正

8、方形，面積等于25。生11：還可以將其分割拼成如圖所示的圖形，面積等于25。生12：還可以這樣拼！ACCB AB CC師：他們的做法都是正確的，一個用了“補”的方法，一個用了“割”的方法。在這個圖形中有SA+SB=SC問題4：下圖中的正方形之間也有這個結(jié)論嗎？生13：有！問題5：如果用a、b、c分別表示三個正方形的邊長，三者之間的面積關(guān)系如何表示？由三個正方形所搭成的直角三角形三邊存在怎樣的關(guān)系？生14：在直角三角形中，兩直角邊a、b與斜邊c有a2+b2=c2教師板書：a2 +b2 =c2直角三角形（直角邊長為“整數(shù)”）設(shè)計意圖：通過設(shè)計問題串，讓探索過程由淺入深，循序漸進。經(jīng)歷觀察、猜想、歸

9、納這一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，符合學(xué)生認知規(guī)律。探索面積證法的多樣性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)解決問題的靈活性，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和歸納概括能力。探究活動4問題6：假如直角三角形的邊長為“小數(shù)”呢？這個結(jié)論還成立嗎？在網(wǎng)格紙上畫出直角邊長分別為1.6個單位長度和2.4個單位長度的直角三角形，上面所猜想的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說說你的理由。生15：這個可能要借助計算機了?。ù蠹倚Γ┥?6：其實當(dāng)直角邊是“小數(shù)”的時候，可以轉(zhuǎn)換成“整數(shù)”，可以細化網(wǎng)格，使網(wǎng)格的一個單位是兩條直角邊的“公約數(shù)”！師：你能跟大家講講你是怎么想到的嗎？生16：因為兩條直角邊是整數(shù)3、4時，我量了它也不是實際長度，只不夠取了它們的比值而已！而網(wǎng)格

10、的單位長度是它們實際長度的“約數(shù)”。生17：對！剛才3、4、5是一個直角三角形的三邊，那它們長度的2倍也應(yīng)該能畫出直角三角形！師：你們說的太好了！這可以我們后面要探索的問題！下面我用幾何畫板來演示給大家看看！剛才這個結(jié)論對任意的直角三角形都是成立的?。ㄍ蟿狱cB，改變直角三角形ABC的各邊長度，觀察三個正方形的面積的關(guān)系）設(shè)計意圖：通過上述兩種探究活動，學(xué)生已初步探究出直角邊為整數(shù)的直角三角形三邊關(guān)系。設(shè)計讓學(xué)生動手畫直角邊是小數(shù)的情形，將探究活動進一步深化，從而擴展到更一般的情況。使學(xué)生體會數(shù)學(xué)探究由特殊到一般，再到更一般過程。利用幾何畫板的高效性、動態(tài)性反映這一過程，讓學(xué)生體會到更多的特殊情

11、形，從而為歸納提供基礎(chǔ)，這樣歸納的結(jié)論更具有一般性，學(xué)生的印象也更深刻。acb板書：勾股定理（畢達哥拉斯定理）直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。a2+b2=c2a2+b2=c2（四）追溯歷史，激發(fā)情感 師：我國是最早了角勾股定理的國家之一，早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中。 商 高 周髀算經(jīng) 畢達哥拉斯設(shè)計意圖：介紹有關(guān)勾股定理的歷史，使學(xué)生對中國乃至世界的數(shù)學(xué)史產(chǎn)生濃厚的興趣，為下一節(jié)的驗證打好基礎(chǔ)。（五）實踐應(yīng)用，拓展提高1求下列圖中表示邊的未知數(shù)

12、x、y、z的值。81144xyz6255761441692求出下列直角三角形中未知邊的長度。8x171620x125x3有一個水池，水面是一邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？設(shè)計意圖：由于學(xué)生對知識的理解程度有所差異，因此，習(xí)題的設(shè)置體現(xiàn)層次性。通過對勾股定理的基本應(yīng)用，讓學(xué)生知道1、已知直角三角形三邊中的任意兩邊，可以求第三邊。2、已知直角三角形三邊中的一邊及另兩邊的關(guān)系，可以求另兩邊。（六）回顧小結(jié)，整體感知通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲與感悟！設(shè)計意圖：學(xué)

13、生通過對學(xué)習(xí)過程的小結(jié)，領(lǐng)會其中的數(shù)學(xué)思想方法；通過梳理所學(xué)內(nèi)容，形成完整知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)歸納概括能力。（七）布置作業(yè)，鞏固加深（1）課本第47頁第2題。（2）在網(wǎng)頁中你可以找到有關(guān)勾股定理的豐富的內(nèi)容，勾股定理的證明方法已經(jīng)有幾百種，請你結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)探索或從網(wǎng)上搜索證明勾股定理的其它方法。設(shè)計意圖：針對學(xué)生認知的差異設(shè)計了有層次的作業(yè)題，既使學(xué)生鞏固知識，形成技能，又使學(xué)有余力的學(xué)生獲得最佳發(fā)展。教學(xué)反思：1本節(jié)課根據(jù)學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)采用“觀察猜想實驗歸納驗證應(yīng)用”的教學(xué)方法，這一流程體現(xiàn)了知識發(fā)生、形成和發(fā)展的過程，讓學(xué)生體會到觀察、猜想、歸納、驗證的思想和數(shù)形結(jié)合的思想。從學(xué)生的原有認知出發(fā)，揭示這節(jié)課產(chǎn)生的根源，符合學(xué)生的認知心理。滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。為學(xué)生提供參與數(shù)學(xué)活動的時間和空間，發(fā)揮學(xué)生的主體作用；培養(yǎng)學(xué)生的類比遷移能力及探索問題的能力，使學(xué)生在相互討論、啟發(fā)中得到提高。2本節(jié)課始終體現(xiàn)“以學(xué)生為本”的教育理念，試圖讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納、猜想、驗證的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，體驗數(shù)學(xué)家們探求新知的樂趣。在此過程中，探索定理采用面積法，引導(dǎo)學(xué)生利用實驗由特殊到一般再到更