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文檔簡介
.一伴隨矩陣的定義及符號 伴隨矩陣是在求非奇異矩陣的逆矩陣時(shí)提出來的,1.代數(shù)余子式的定義為了定義伴隨矩陣,需要先定義一個(gè)矩陣某一元素的代數(shù)余子式:在行列式 中劃去元素所在的第i行與第j列,剩下的個(gè)元素按原來的排法構(gòu)成一個(gè)n-1級的行列式,稱為元素的余子式,記為,稱為元素的代數(shù)余子式。2.伴隨矩陣的定義設(shè)是矩陣 中元素的代數(shù)余子式,矩陣稱為A的伴隨矩陣。二伴隨矩陣的性質(zhì)1.伴隨矩陣的基本公式: 由行列式按一行(列)展開的公式立即得出: 其中。 這是伴隨矩陣的一個(gè)基本公式,我們可以從該等式出發(fā)推導(dǎo)出一些有關(guān)方陣的伴隨矩陣的性質(zhì),使我們對伴隨矩陣有一個(gè)更加全面的認(rèn)識和理解。2.在公式基礎(chǔ)上推導(dǎo)出的其他性質(zhì)(1)A可逆當(dāng)且僅當(dāng)可逆。 證明:若A可逆,則0.由知故兩邊取行列式得即故,從而可逆(2),其中A是nn矩陣證明:由,知 .當(dāng)A=0時(shí),有A*=0及A=0,故A*=An-1=0 當(dāng)A0時(shí),知AA*=0由引理得秩(A)+秩(A*)n且秩(A)1,則秩(A*)n綜上A*=An-1=0 .
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