數(shù)列經(jīng)典例題

1、.類型一：迭加法求數(shù)列通項(xiàng)公式1在數(shù)列中，求.解析：，當(dāng)時(shí)， ，將上面?zhèn)€式子相加得到：（），當(dāng)時(shí)，符合上式故.總結(jié)升華：1. 在數(shù)列中，若為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列；若不是一個(gè)常數(shù)，而是關(guān)于的式子，則數(shù)列不是等差數(shù)列.2.當(dāng)數(shù)列的遞推公式是形如的解析式，而的和是可求的，則可用多式累（迭）加法得.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列，求.【答案】【變式2】數(shù)列中，求通項(xiàng)公式.【答案】.類型二：迭乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式2設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，求它的通項(xiàng)公式.解析：由題意， ，又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，符合上式.總結(jié)升華：1. 在數(shù)列中，若為常數(shù)且，則數(shù)列是等比數(shù)列；若不是一個(gè)常數(shù)，而是關(guān)于的式子，則數(shù)列不是等比數(shù)列

2、.2若數(shù)列有形如的解析關(guān)系，而的積是可求的，則可用多式累（迭）乘法求得.舉一反三：【變式1】在數(shù)列中，求.【答案】【變式2】已知數(shù)列中，求通項(xiàng)公式.【答案】由得， ， ， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，符合上式類型三：倒數(shù)法求通項(xiàng)公式3數(shù)列中，,，求.思路點(diǎn)撥：對(duì)兩邊同除以得即可.解析：，兩邊同除以得，成等差數(shù)列，公差為d=5，首項(xiàng)，.總結(jié)升華：1兩邊同時(shí)除以可使等式左邊出現(xiàn)關(guān)于和的相同代數(shù)式的差，右邊為一常數(shù)，這樣把數(shù)列的每一項(xiàng)都取倒數(shù)，這又構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，而恰是等差數(shù)列.其通項(xiàng)易求，先求的通項(xiàng)，再求的通項(xiàng).2若數(shù)列有形如的關(guān)系，則可在等式兩邊同乘以，先求出，再求得.舉一反三：【變式1】數(shù)列中，求.【答案

3、】【變式2】數(shù)列中，,，求.【答案】.類型四：待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式4已知數(shù)列中，求.法一：設(shè)，解得即原式化為設(shè)，則數(shù)列為等比數(shù)列，且法二： 由得：設(shè)，則數(shù)列為等比數(shù)列法三：，總結(jié)升華：1一般地，對(duì)已知數(shù)列的項(xiàng)滿足，（為常數(shù)，）,則可設(shè)得，利用已知得即，從而將數(shù)列轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的通項(xiàng).第二種方法利用了遞推關(guān)系式作差，構(gòu)造新的等比數(shù)列.這兩種方法均是常用的方法.2若數(shù)列有形如（k、b為常數(shù)）的線性遞推關(guān)系，則可用待定系數(shù)法求得.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列中，求【答案】令，則，即，為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比，故.【變式2】已知數(shù)列滿足,而且，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】，設(shè)，則，即，數(shù)列是以為

4、首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，. .類型五：和的遞推關(guān)系的應(yīng)用5已知數(shù)列中，是它的前n項(xiàng)和，并且, .(1)設(shè),求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.解析：（1）因?yàn)?，所?以上兩式等號(hào)兩邊分別相減，得 即，變形得 因?yàn)?，所以 由此可知，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列. 由, 所以, 所以, 所以.（2） ，所以 將 代入得 由此可知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，它的首項(xiàng)， 故.（3），所以 當(dāng)n2時(shí)， 由于也適合此公式， 故所求的前n項(xiàng)和公式是.總結(jié)升華：該題是著眼于數(shù)列間的相互關(guān)系的問題，解題時(shí)，要注意利用題設(shè)的已知條件，通過合理轉(zhuǎn)換，將非等差、等比數(shù)

5、列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，求得問題的解決利用等差（比）數(shù)列的概念，將已知關(guān)系式進(jìn)行變形，變形成能做出判斷的等差或等比數(shù)列，這是數(shù)列問題中的常見策略.舉一反三：【變式1】設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的公比為，作數(shù)列，使，求的通項(xiàng)公式.【答案】（1）， ， 又 ， 是一個(gè)首項(xiàng)為1公比為的等比數(shù)列； （2） 是一個(gè)首項(xiàng)為1公比為的等差比數(shù)列 【變式2】若, ()，求.【答案】當(dāng)n2時(shí)，將代入, , 整理得 兩邊同除以得 （常數(shù)） 是以為首項(xiàng)，公差d=2的等差數(shù)列， ， .【變式3】等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和，若.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】為等差數(shù)列，公差設(shè)為, ,

6、, , 若，則, . ， , , , -得 類型六：數(shù)列的應(yīng)用題6.在一直線上共插13面小旗，相鄰兩面間距離為10m，在第一面小旗處有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，應(yīng)集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？思路點(diǎn)撥： 本題求走的總路程最短，是一個(gè)數(shù)列求和問題，而如何求和是關(guān)鍵，應(yīng)先畫一草圖，研究他從第一面旗到另一面旗處走的路程，然后求和.解析：設(shè)將旗集中到第x面小旗處，則 從第一面旗到第面旗處，共走路程為了， 回到第二面處再到第面處是， 回到第三面處再到第面處是， ， 從第面處到第面處取旗再回到第面處的路程為， 從第面處到第面處取旗再回到第面處，

7、路程為202， 總的路程為： ，時(shí),有最小值 答：將旗集中到第7面小旗處，所走路程最短.總結(jié)升華：本題屬等差數(shù)列應(yīng)用問題，應(yīng)用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，在求和后，利用二次函數(shù)求最短路程.舉一反三：【變式1】某企業(yè)2007年12月份的產(chǎn)值是這年1月份產(chǎn)值的倍，則該企業(yè)2007年年度產(chǎn)值的月平均增長率為（ ）A B C D【答案】D；解析：從2月份到12月份共有11個(gè)月份比基數(shù)（1月份）有產(chǎn)值增長，設(shè)為， 則【變式2】某人2006年1月31日存入若干萬元人民幣，年利率為，到2007年1月31日取款時(shí)被銀行扣除利息稅（稅率為）共計(jì)元，則該人存款的本金為（）A1.5萬元 B2萬元 C3萬元 D2.5萬元【答

8、案】B；解析：本金利息利率，利息利息稅稅率利息（元），本金（元）【變式3】根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開始的個(gè)月內(nèi)累積的需求量（萬件）近似地滿足.按比例預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過萬件的月份是()A5月、6月 B6月、7月 C7月、8月 D9月、10月【答案】C； 解析：第個(gè)月份的需求量超過萬件，則解不等式，得，即.【變式4】某種汽車購買時(shí)的費(fèi)用為10萬元，每年應(yīng)交保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)合計(jì)9千元，汽車的維修費(fèi)平均為第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差數(shù)列遞增，問這種汽車使用多少年后報(bào)廢最合算？（即年平均費(fèi)用最少）【答案】設(shè)汽車使用年限為年，為使用該汽車平均費(fèi)用.

9、當(dāng)且僅當(dāng)，即（年）時(shí)等到號(hào)成立. 因此該汽車使用10年報(bào)廢最合算.【變式5】某市2006年底有住房面積1200萬平方米，計(jì)劃從2007年起，每年拆除20萬平方米的舊住房.假定該市每年新建住房面積是上年年底住房面積的5%.（1）分別求2007年底和2008年底的住房面積；（2）求2026年底的住房面積.（計(jì)算結(jié)果以萬平方米為單位，且精確到0.01）【答案】（1）2007年底的住房面積為1200(1+5%)20=1240（萬平方米）， 2008年底的住房面積為1200(1+5%)220(1+5%)20=1282（萬平方米）， 2007年底的住房面積為1240萬平方米； 2008年底的住房面積為1282萬平方米.（2）2007年底的住房面積為1200(1+5%)20萬平方米， 2008年底的住房面積為1200(1+5%)220(1+5%)20萬平方米， 2009年底的住房面積為1200(1+5%)320(1+5%)220(1