指數(shù)函數(shù)講義經(jīng)典整理(含答案解析)

1、指數(shù)函數(shù)講義經(jīng)典整理（含答案）一、同步知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)1：指數(shù)函數(shù)函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是知識(shí)點(diǎn)2：指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)3：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖像的關(guān)系指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖像的相對(duì)位置與底數(shù)大小的關(guān)系 如圖所示，則，在軸右側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)也由小變大，在軸左側(cè)，圖像從上到下相應(yīng)的底數(shù)也由小變大即無(wú)論在軸左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時(shí)針?lè)较蜃兇笤诘谝幌笙迌?nèi)，“底大圖高”知識(shí)點(diǎn)4：指數(shù)式、指數(shù)函數(shù)的理解 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式或以互化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的運(yùn)算 根式的運(yùn)算、變形、求值、化簡(jiǎn)及等式證明在數(shù)學(xué)中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函數(shù)的基礎(chǔ)，應(yīng)引起

2、重視 在有關(guān)根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的變形、求值過(guò)程中，要注意運(yùn)用方程的觀點(diǎn)處理問(wèn)題，通過(guò)解方程或方程組來(lái)求值 在理解指數(shù)函數(shù)的概念時(shí)，應(yīng)抓住定義的“形式”，像 等函數(shù)均不符合形式，因此，它們都不是指數(shù)函數(shù) 畫指數(shù)函數(shù)的圖像，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：二、同步題型分析題型1：指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域例1：已知函數(shù)，且（1）求m的值；（2）判定f（x）的奇偶性；（3）判斷f（x）在（0，+）上的單調(diào)性，并給予證明考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明專題：計(jì)算題分析：（1）欲求m的值，只須根據(jù)f（4）=的值，當(dāng)x=4時(shí)代入f（x）解一個(gè)指數(shù)方程即可；（2）求出函數(shù)的定義域

3、x|x0，利用奇偶性的定義判斷f（x）與f（x）的關(guān)系，即可得到答案；（3）利用單調(diào)性的定義證明即可任取0x1x2，只要證明f（x1）f（x2），即可解答：解：（1）因?yàn)?，所以，所以m=1（2）因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)閤|x0，又，所以f（x）是奇函數(shù)（3）任取x1x20，則，因?yàn)閤1x20，所以，所以f（x1）f（x2），所以f（x）在（0，+）上為單調(diào)增函數(shù)點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷、函數(shù)奇偶性的判斷，與證明及指數(shù)方程的解法在判定函數(shù)奇偶性時(shí)，一定注意函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，屬于基礎(chǔ)題例2：已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的奇偶性；（2）證明：f（x）0考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義

4、域和值域；函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)專題：計(jì)算題分析：（1）由2x10解得義域?yàn)閤|x0，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f（x）=（）（x）=（）x=f（x），故該函數(shù)為偶函數(shù) （2）任取xx|x0，當(dāng)x0時(shí)，2x20=1且x0，故，從而當(dāng)x0時(shí)，x0，故f（x）0，由函數(shù)為偶函數(shù)，能證明f（x）0在定義域上恒成立解答：解：（1）該函數(shù)為偶函數(shù)由2x10解得x0即義域?yàn)閤|x0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（2分）f（x）=（）（x）=（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故該函數(shù)為偶函數(shù) （7分）（2）證明：任取xx|x0當(dāng)x0時(shí)，2x20=1且x0，2x10，故從而（11分）當(dāng)x0時(shí)，x0，f（x）0，（

5、12分）又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，f（x）=f（x）0，（13分）f（x）0在定義域上恒成立（14分）點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和證明f（x）0解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用例3：已知函數(shù)y=ax（a0且a1）在1，2上的最大值與最小值之和為20，記（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1x）的值；（3）求的值考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域?qū)ｎ}：綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：（1）由y=ax單調(diào)得a+a2=20，由此可求a；（2）寫出f（x），代入運(yùn)算可得；（3）借助（2）問(wèn)結(jié)論分n為奇數(shù)、偶數(shù)討論可求；解答：解：（1）函數(shù)y=ax（a0且a1）在1，2上的最大值與最

6、小值之和為20，且y=ax單調(diào)，a+a2=20，得a=4，或a=5（舍去）；（2）由（1）知，=1；（3）由（2）知f（x）+f（1x）=1，得n為奇數(shù)時(shí)，=1=；n為偶數(shù)時(shí)，=+f（）=；綜上，=點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、最值等知識(shí)，屬中檔題題型2：指數(shù)函數(shù)的圖像變換例1：已知函數(shù)y=|2x2|（1）作出其圖象；（2）由圖象指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）由圖象指出當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)有最值，并求出最值考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖像變換專題：綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：（1）函數(shù)y=|2x2|圖象是由y=2x的圖象向下平移2個(gè)單位，再將x軸下方的部分翻著到x軸上方得到（2）結(jié)合函數(shù)的圖象，可得函數(shù)的減

7、區(qū)間和增區(qū)間（3）數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)x=1時(shí)，ymiin=0解答：解：（1）函數(shù)y=|2x2|圖象是由y=2x的圖象向下平移2個(gè)單位，再將x軸下方的部分翻著到x軸上方得到，如圖所示：（2）結(jié)合函數(shù)的圖象，可得函數(shù)的減區(qū)間為（，1，增區(qū)間為（1，+）（3）數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)x=1時(shí)，ymiin=0點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題題型3：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性例1：已知函數(shù)f（x）=a2x+b3x，其中常數(shù)a，b滿足ab0（1）若ab0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若a=3b，求f（x+1）f（x）時(shí)的x的取值范圍考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；函數(shù)單調(diào)性的

8、判斷與證明；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：（1）分a0，b0和a0，b0兩種情況討論，運(yùn)用單調(diào)性的定義可作出判斷；（2）當(dāng)a=3b時(shí)，f（x）=3b2x+b3x=b（3x32x），分b0，b0兩種情況進(jìn)行討論，整理可得指數(shù)不等式解出即可；解答：解：（1）當(dāng)a0，b0時(shí)，任意x1，x2R，且x1x2，則f（x1）f（x2）=a（）+b（），a0，b0，a（）0，b（）0，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；當(dāng)a0，b0時(shí)，同理，可判斷函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；（2）當(dāng)a=3b時(shí)，f（x）=3b2x+b3x=b（3x32x），則f（x+1）

9、f（x）即化為b（3x+132x+1）b（3x32x），若b0，則有3x+132x+13x32x，整理得，解得x1；若b0，則有3x+132x+13x32x，整理得，解得x1；故b0時(shí)，x的范圍是x1；當(dāng)b0時(shí)，x的范圍是x1點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分類討論思想，屬基礎(chǔ)題例2：已知定義在（1，1）上的奇函數(shù)f（x）在x（1，0）時(shí)，f（x）=2x+2x（1）試求f（x）的表達(dá)式；（2）用定義證明f（x）在（1，0）上是減函數(shù)；（3）若對(duì)于x（0，1）上的每一個(gè)值，不等式t2xf（x）4x1恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題；奇偶性與單調(diào)性的綜合專

10、題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：（1）由f（x）是定義在（1，1）上的奇函數(shù)可得f（0）=0，x（0，1）時(shí)，f（x）=f（x）=（2x+2x）；從而寫出f（x）的表達(dá)式；（2）取值，作差，化簡(jiǎn)，判號(hào)，下結(jié)論五步；（3）對(duì)于x（0，1）上的每一個(gè)值，不等式t2xf（x）4x1恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)于x（0，1）上的每一個(gè)值，不等式t恒成立，從而可得解答：解：（1）f（x）是定義在（1，1）上的奇函數(shù)，f（0）=0，設(shè)（0，1），則x（1，0），則f（x）=f（x）=（2x+2x），故f（x）=；（2）任取x1，x2（1，0），且x1x2，則f（x1）f（x2）=+（+）=，x1x20，0，01，故f

11、（x1）f（x2）0，故f（x）在（1，0）上是減函數(shù)；（3）由題意，t2xf（x）4x1可化為t2x（2x+2x）4x1，化簡(jiǎn)可得，t，令g（x）=1+，x（0，1），g（x）1+=0，故對(duì)于x（0，1）上的每一個(gè)值，不等式t2xf（x）4x1恒成立可化為t0點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題的處理方法，屬于難題例3：已知函數(shù)f（x）=|2x11|，（xR）（1）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+）上為增函數(shù)，并指出函數(shù)f（x）在區(qū)間（，1）上的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=t有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A（m，t），B（n，t），其中mn，求m+n的取值范圍考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合

12、題專題：計(jì)算題；證明題分析：（1）函數(shù)單調(diào)性的證明，通常依據(jù)定義，步驟為：取值，作差，變形，定號(hào)，下結(jié)論，由于與指數(shù)函數(shù)有關(guān)，求解時(shí)要利用到指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；（2）由（1）可知，函數(shù)的值域?yàn)椋?，1），要使函數(shù)f（x）的圖象與直線y=t有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故有t（0，1）又函數(shù)f（x）的圖象與直線y=t有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以A（m，t），B（n，t）分別位于直線x=1的兩側(cè)，由mn，得m1n，故可以求出m+n，進(jìn)而由t（0，1），可求m+n的取值范圍解答：解：（1）證明：任取x1（1，+），x2（1，+），且x1x2，=，x1x2，f（x1）f（x2）所以f（x）在區(qū)間（1，+）上為增函數(shù)（5分

13、）函數(shù)f（x）在區(qū)間（，1）上為減函數(shù)（6分）（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（1，+）上為增函數(shù)，相應(yīng)的函數(shù)值為（0，+），在區(qū)間（，1）上為減函數(shù)，相應(yīng)的函數(shù)值為（0，1），由題意函數(shù)f（x）的圖象與直線y=t有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故有t（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分別位于直線x=1的兩側(cè)，由mn，得m1n，故2m110，2n110，又A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程t=|2x11|，故得t=12m1，t=2n11，即m=log2（22t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（22t）+log2（2+2t）=log2（44t2），當(dāng)0t1時(shí)，044t24，log2

14、（44t2）2因此，m+n的取值范圍為（，2）（17分）點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)綜合問(wèn)題，主要考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查函數(shù)圖形的性質(zhì)，有較強(qiáng)的綜合性依據(jù)定義，證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟通常為：取值，作差，變形，定號(hào)，下結(jié)論三、課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)檢測(cè)題1：已知函數(shù)f（x）=（其中e=2.71828是一個(gè)無(wú)理數(shù)）（1）求函數(shù)f（x）的定義域；（2）判斷奇偶性并證明之；（3）判斷單調(diào)性并證明之考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷專題：計(jì)算題；證明題分析：（1）把分子整理變化成和分母相同的一部分，進(jìn)行分子常數(shù)化，則變量只在分母上出現(xiàn)，根據(jù)分母是一個(gè)指數(shù)形式，恒

15、大于零，得到函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)（2）根據(jù)上一問(wèn)值函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從f（x）入手整理，把負(fù)指數(shù)變化為正指數(shù)，就得到結(jié)果，判斷函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)（3）根據(jù)判斷函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)出兩個(gè)任意的自變量，把兩個(gè)自變量的函數(shù)值做差，化成分子和分母都是因式乘積的形式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷差和零的關(guān)系解答：解：f（x）=1（1）e2x+1恒大于零，xR（2）函數(shù)是奇函數(shù)f（x）=又由上一問(wèn)知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（x）為奇函數(shù)（3）是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)設(shè)x1，x2R 且x1x2則f（x1）f（x2）=1=x1x2，f（x1）f（x2）0即f（x1）f（x2）f（x）在R是單調(diào)增函數(shù)點(diǎn)評(píng)：本

16、題考查函數(shù)的定義域，考查函數(shù)的奇偶性的判斷及證明考查函數(shù)單調(diào)性的判斷及證明，考查解決問(wèn)題的能力，是一個(gè)綜合題目檢測(cè)題2：已知函數(shù)f（x）=2ax+2（a為常數(shù)）（1）求函數(shù)f（x）的定義域（2）若a=1，x（1，2，求函數(shù)f（x）的值域（3）若f（x）為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)專題：常規(guī)題型；轉(zhuǎn)化思想分析：（1）利用指數(shù)函數(shù)的定義域來(lái)考慮（2）利用函數(shù)f（x）在（1，2上的單調(diào)性求函數(shù)的值域（3）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)u=ax+2必須為減函數(shù)解答：解：（1）函數(shù)y=2ax+2對(duì)任意實(shí)數(shù)都有意義，所以定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R（2）

17、因?yàn)閍=1，所以f（x）=2x+2易知此時(shí)f（x）為增函數(shù)又因?yàn)?x2，所以f（1）f（x）f（2），即8f（x）16所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，16（3）因?yàn)閒（x）為減函數(shù)，而y=2u是增函數(shù)，所以函數(shù)u=ax+2必須為減函數(shù)所以得a0點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想檢測(cè)題3：設(shè)f（x）的定義域是（，0）（0，+），且f（x）對(duì)任意不為零的實(shí)數(shù)x都滿足f（x）=f（x）已知當(dāng)x0時(shí)（1）求當(dāng)x0時(shí)，f（x）的解析式 （2）解不等式考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)專題：常規(guī)題型分析：（1）求當(dāng)x0時(shí)，f（x）的解析式，在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，就在哪個(gè)區(qū)間上取值x，再轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解析式，由f（x）=f（x）解出f（x）即可（2）解不等式f（x），分x0和