教案微分中值定理

1、葿時(shí)間衿-月-日蒄星期-薄課袀題芆3.1微分中值定理蕆教學(xué)目的薄理解并會用羅爾定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。芁教學(xué)重點(diǎn)羈羅爾定理、拉格朗日定理的應(yīng)用。芅教學(xué)難點(diǎn)蚄羅爾定理、拉格朗日定理的應(yīng)用。蟻課型蒆基礎(chǔ)課肄備課組螄教法選擇肂講授膈教學(xué)過程肇教法運(yùn)用及板書要點(diǎn)襖一、羅爾定理腿1.羅爾定理袀幾何意義：對于在上每一點(diǎn)都有不垂直于軸的切線，且兩端點(diǎn)的連線與軸平行的不間斷的曲線來說，至少存在一點(diǎn)C，使得其切線平行于軸。袆C羃AB薀從圖中可以看出：符合條件的點(diǎn)出現(xiàn)在最大值和最小值點(diǎn)，由此得到啟發(fā)證明羅爾定理。為應(yīng)用方便，先介紹費(fèi)馬（Fermat）引理莈費(fèi)馬引理設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義?并且在處

2、可導(dǎo)?如果對任意?有(或)?那么?薅證明：不妨設(shè)時(shí)，（若，可以類似地肅此表2學(xué)時(shí)填寫一份，“教學(xué)過程”不足時(shí)可續(xù)頁羈證明）.于是對于,有,從而當(dāng)時(shí),肀;而當(dāng)時(shí),;莄根據(jù)函數(shù)在處可導(dǎo)及極限的保號性的得膃，所以,證畢.莂定義導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)(或穩(wěn)定點(diǎn)，臨界點(diǎn)).蒈羅爾定理如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)?（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)?（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即?那么在內(nèi)至少在一點(diǎn)?使得函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，即?莇證明：由于在上連續(xù)，因此必有最大值M和最小值，于是有兩種可能的情形：膃（1），此時(shí)在上必然取相同的數(shù)值M，即葿由此得因此，任取，有芀（2），由于，所以M和至少與一個(gè)不等于在

3、區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值.不妨設(shè)(若,可類似證明),則必定在有一點(diǎn)使.因此任取有,從而由費(fèi)馬引理有.證畢膆【例1】驗(yàn)證羅爾定理對在區(qū)間上的正確性芃解顯然在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且,又,取,有.袀說明：1若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,其結(jié)論可能不成立;蚇2使得定理成立的可能多于一個(gè)，也可能只有一個(gè).羄【例2】證明方程有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.莃證明：設(shè),則在上連續(xù)，且芀由介值定理存在使,即為方程的小于1的正實(shí)根.荿設(shè)另有使因?yàn)樵谥g滿足羅爾定理的條件,所以至少存在一個(gè)（在之間）使得.羇但,矛盾,所以為方程的唯一實(shí)根.2、3、 蒃拉格朗日（Lagrange）中值定理蟻在羅爾定理中，第三個(gè)條件為(ii

4、i)，然而對一般的函數(shù)，此條不滿足，現(xiàn)將該條件去掉，但仍保留前兩個(gè)條件，這樣，結(jié)論相應(yīng)地要改變，這就是拉格朗日中值定理：袇定理2：若函數(shù)滿足：螆薃-2肂-1蕿1薅2螞-0.75艿-0.5肇-0.25芄0.25螂0.5蝕0.75(i)在上連續(xù)；蝿(ii)在上可導(dǎo)；莇則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，螂使得。肁即膇若此時(shí)，還有，?？梢娏_爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個(gè)特殊情況，因而用羅爾中值定理來證明之。肆證明：上式又可寫為(1)袂作一個(gè)輔助函數(shù)：(2)蒂顯然，在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且衿，所以由羅爾中值定理，在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得裊。又羂或。袃注1：拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣；莆2：定理中的結(jié)論，可以

5、寫成，此式也稱為拉格朗日公式，其中可寫成：袈(3)肂若令(4)罿3：若，定理中的條件相應(yīng)地改為：在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則結(jié)論為：肈也可寫成蚆可見，不論哪個(gè)大，其拉格朗日公式總是一樣的。這時(shí)，為介于之間的一個(gè)數(shù)，(4)中的不論正負(fù)，只要滿足條件，(4)就成立。膂4：設(shè)在點(diǎn)處有一個(gè)增量，得到點(diǎn)，在以和為端點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有莀即這準(zhǔn)確地表達(dá)了和這兩個(gè)增量間的關(guān)系，故該定理又稱為微分中值定理。螀5：幾何意義：如果曲線在除端點(diǎn)外的每一點(diǎn)都有不平行于軸的切線，則曲線上至少存在一點(diǎn)，該點(diǎn)的切線平行于兩端點(diǎn)的連線。蒅由定理還可得到下列結(jié)論：節(jié)推論1：如果在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為0，則在上是一個(gè)常數(shù)。螁

6、證明：在中任取兩點(diǎn)，在連續(xù)，在可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得羋由假設(shè)可知在上，從而在上，膄，所以，芁可見，在上的每一點(diǎn)都有：（常數(shù)）?！纠?】【例2】 膂【例3】證明當(dāng)時(shí).羀證：設(shè)，顯然在0，x上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，故至少存在一點(diǎn)使芇由于，代入上式有莁即荿又由于所以蒈即羆注：（1）構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）正確確定區(qū)間左右端點(diǎn)，利用TH2可得.三、三、柯西中值定理定理3：若滿足：(1)在上連續(xù)；(2)在內(nèi)可導(dǎo)；(3)則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。證明：令，顯然，在上連續(xù)，且在內(nèi)可導(dǎo)，更進(jìn)一步還有，事實(shí)上，所以滿足羅爾定理的條件，故在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，又因?yàn)?，?：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，事實(shí)上，令，就得到拉格朗日中值定理；2：幾何意義：若用（）表示曲線，則其幾何意義同前一個(gè)。【例4