2006年考研數(shù)學(xué)一真題及答案

1、2006年考研數(shù)學(xué)一真題及答案2006年考研數(shù)學(xué)一真題一、 填空題(1小題,每小題4分,共4分。）(1) limx0xln(1+x)1-cosx= ?！敬鸢浮??！窘馕觥康葍r(jià)無窮小代換：當(dāng)x0時(shí)，ln1+xx,1-cosx12x2所以limx0xln(1+x)1-cosx=limx0x212x2=2綜上所述,本題正確答案是?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較(2) 微分方程y=y(1-x)x的通解為_。【答案】y=cxe-x(x0),c為任意常數(shù)?！窘馕觥吭降葍r(jià)于dyy=1-xxdxdyy=1-xxdx lny=lnx-lnex+lnc（兩邊積分)即y=cxe-x

2、(x0),c為任意常數(shù)綜上所述，本題正確答案是y=cxe-x(x0)?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)常微分方程一階線性微分方程(3) 設(shè)是錐面z=x2+y2(0z1)的下側(cè)，則 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy= ?！敬鸢浮??！窘馕觥吭O(shè)1：z=1(x2+y21),取上側(cè)，則 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy=+1 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy-1 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy而+1 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy=v 6dv =602d01rdrr1dz=21 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy=0所以 xdydz+2ydzdx+3z-1

3、dxdy=2綜上所述,本題正確答案是2?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算(4) 點(diǎn)(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0的距離d= ?！敬鸢浮?。【解析】點(diǎn)到平面的距離公式:d=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2其中(x0,y0,z0)為點(diǎn)的坐標(biāo),ax+by+cz+d=0為平面方程所以d=|32+41+50+0|32+42+52=2綜上所述,本題正確答案是2。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)向量代數(shù)和空間解析幾何點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離(5) 設(shè)矩陣a=21-12,e為二階單位矩陣,矩陣b滿足ba=b+2e，則b=_?！敬鸢浮??！窘馕觥縝a=b+2e ba-e=2e

4、 b(a-e)=2e ba-e=22=4因?yàn)閍-e=11-11=2，所以b=2。綜上所述，本題正確答案是2?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)行列式行列式的概念和基本性質(zhì)線性代數(shù)矩陣矩陣的線性運(yùn)算(6) 設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布,則pmaxx,y1=_?！敬鸢浮?9?！窘馕觥勘绢}考查均勻分布，兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性和他們的簡(jiǎn)單函數(shù)的分布。事件maxx,y1=x1,y1=x1y1, 又根據(jù)x,y相互獨(dú)立,均服從均勻分布,可以直接寫出px1=1313=19。綜上所述，本題正確答案是19?！究键c(diǎn)】概率論多維隨機(jī)變量的分布二維隨機(jī)變量的分布二、 選擇題(71小題，每小題分,共32分,下列每

5、題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的。)(7) 設(shè)函數(shù)y=f(x)具有二階導(dǎo)數(shù),且fx0,fx0，x為自變量x在點(diǎn)x0處的增量，y與dy分別為f(x)在點(diǎn)x0處對(duì)應(yīng)的增量與微分,若x0,則(a)0dyy (b)0ydy(c)ydy0 (）dyy0【答案】a?！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧坑珊瘮?shù)y=f(x)單調(diào)上升且凹,根據(jù)y和dy的幾何意義，得如下所示的圖由圖可得0dyfx0+fx0x,x0，于是fx0+x-fx0fx0x0,x0，即0dyy綜上所述，本題正確答案是a?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義(8) 設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù),則04d01f(rc

6、os,rsin)rdr等于（)022dxx1-x2f(x,y)dy （b） 022dx01-x2f(x,y)dy（c）022dyy1-y2f(x,y)dx （d）022dy01-y2f(x,y)dx【答案】?！窘馕觥咳鐖D所示，顯然是y型域，則原式=022dyy1-y2f(x,y)dx綜上所述,本題正確答案是c【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微積分學(xué)二重積分的概念、基本性質(zhì)和計(jì)算(9) 若級(jí)數(shù)n=1an收斂,則級(jí)數(shù)() n=1an收斂 (b) n=1(-1)nan收斂() n=1anan+1收斂 () n=1an+an+12收斂【答案】d?！窘馕觥坑蒼=1an收斂知n=1an+1收斂，所以級(jí)數(shù)n=1an

7、+an+12收斂。綜上所述,本題正確答案是d?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)的和的概念(10) 設(shè)f(x,y)與(x,y)均為可微函數(shù),且y(x,y)0。已知(x0,y0)是f(x,y)在約束條件x,y=0下的一個(gè)極值點(diǎn),下列選項(xiàng)正確的是（a)若fxx0,y0=0,則fyx0,y0=0(b）若fxx0,y0=0，則fyx0,y00(c)若fxx0,y00,則fyx0,y0=0（d)若fxx0,y00，則fyx0,y00【答案】d?！窘馕觥勘绢}主要考查了二元函數(shù)極值的必要條件和拉格朗日乘數(shù)法。作拉格朗日函數(shù)fx,y,=fx,y+x,y, 并記對(duì)應(yīng)x0,y0的參數(shù)的值為0, 則fxx0,y0,0

8、=0fyx0,y0,0=0, 即fxx0,y0+0xx0,y0=0fyx0,y0+0yx0,y0=0, 消去0得：fxx0,y0yx0,y0-fyx0,y0xx0,y0=0, 整理得:fxx0,y0=1yx0,y0fyx0,y0xx0,y0 (因?yàn)閥x,y0),若fxx0,y00, 則fyx0,y00。綜上所述,本題正確答案是d【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微積分學(xué)二元函數(shù)的極限(11) 設(shè)1,2,s均為n維列向量，a是mn矩陣，下列選項(xiàng)正確的是(a)若1,2,s線性相關(guān),則a1,a2,as線性相關(guān)（）若1,2,s線性相關(guān)，則a1,a2,as線性無關(guān)(c）若1,2,s線性無關(guān)，則a1,a2,as線性

9、相關(guān)（d）若1,2,s線性無關(guān)，則a1,a2,as線性無關(guān)【答案】a。【解析】【方法一】因?yàn)?,2,s線性相關(guān),故存在不全為零的數(shù)k1,k2,ks使得k11+k22+kss=0從而有a(k11+k22+kss)=a0=0即k1a1+k2a2+ksas=0, 由于k1,k2,ks不全為而是上式成立,說明a1,a2,as線性相關(guān)。【方法二】利用秩來求解,利用分塊矩陣有a1,a2,as=a(1,2,s)那么ra1,a2,asr(1,2,s)因?yàn)?,2,s線性相關(guān)，有r1,2,ss從而ra1,a2,as0,pab=1,則必有(a）pabp(a) ()pabp(b)(c)pab=p(a) (d)pab=

10、p(b)【答案】c?！窘馕觥坑蓀ab=p(ab)p(b)=1,得到pab=p(b)，又已知pab=pa+pb-pab=pa綜上所述，本題正確答案是?！究键c(diǎn)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)事件和概率條件概率，概率的基本公式(14) 設(shè)隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布n1,12,y服從正態(tài)分布n2,22, 且px-1py-21, 則必有(a）12(）12【答案】a?！窘馕觥坑捎趚與y的分布不同,不能直接判斷px-11和py-21的大小與參數(shù)的關(guān)系，將其標(biāo)準(zhǔn)化，就可以方便比較。px-11=px-1111, 隨機(jī)變量x-11n0,1, 且其概率密度函數(shù)為偶函數(shù),故 px-1111=2p0x-1111=211-(0)=21

11、1-1同理py-21=212-1。因?yàn)?x)是單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)px-1py-2212-1, 即1112, 所以1112, 即12。綜上所述,本題正確答案是a【考點(diǎn)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量及其分布正態(tài)分布及應(yīng)用三、 解答題（523小題，共94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)(15) （本題滿分10分)設(shè)區(qū)域d=(x,y)x2+y21,x0,計(jì)算二重積分i=d 1+xy1+x2+y2dxdy.【解析】本題需要用到二重積分的對(duì)稱性，又因?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)閳A域的一部分，所以化為極坐標(biāo)下的累次積分來求解。積分區(qū)域d如圖所示,因?yàn)閰^(qū)域d關(guān)于x軸對(duì)稱,函數(shù)fx,y=11+x2+y2是變量y的偶函數(shù),

12、函數(shù)gx,y=xy1+x2+y2是變量y的奇函數(shù)，則d 11+x2+y2dxdy=2d1 11+x2+y2dxdy=202d01rr2+1dr =ln22d xy1+x2+y2dxdy=0，y故d 1+xy1+x2+y2dxdy=d 11+x2+y2dxdy+d xy1+x2+y2dxdy=ln22。0d1x2+y2=1x1【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用(16) (本題滿分12分)設(shè)數(shù)列xn滿足0x1,xn+1=sinxn(n=1,2,).(i)證明limnxn存在,并求該極限；（ii)計(jì)算limnxn+1xn1xn2.【解析】本題數(shù)列是由遞推關(guān)系給出

13、的,通常用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明極限存在，并求出極限,第二問轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限來求解。(i) 用歸納法證明xn單調(diào)減且有下界:由于sinxx,x0,則由0x1知，0x2=sinx1x1, 設(shè)0xn, 則0xn+1=sinxnxn0內(nèi)，函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意的t0都有ftx,ty=t-2f(x,y)證明：對(duì)d內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線l，都有l(wèi) yfx,ydx-xf(x,y)dy=0【解析】ftx,ty=t-2f(x,y)兩邊對(duì)t求導(dǎo)得 xfxtx,ty+yfytx,ty=-2t-3f(x,y)令t=1,則xfxx,y+yfyx,y=-2f(x,y)設(shè)px,y=yfx,y,qx,

14、y=-xf(x,y),則qx=-fx,y-xfxx,y,py=fx,y+yfyx,y py-qx=2fx,y+xfxx,y+yfyx,y=0即py=qx，所以對(duì)d內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線l，都有l(wèi) yfx,ydx-xf(x,y)dy=0【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件(20) (本題滿分9分）已知非齊次線性方程組x1+x2+x3+x4=-1,4x1+3x2+5x3-x4=-1,ax1+x2+3x3+bx4=1有三個(gè)線性無關(guān)的解。(i)證明方程組系數(shù)矩陣a的秩ra=2；（i)求a,b的值及方程組的通解。【解析】本題主要考查含參數(shù)的非齊次線性方程組的求解問題。(i

15、) 設(shè)1,2,3是非齊次線性方程組的三個(gè)線性無關(guān)的解,那么1-2,1-3, 是ax=0線性無關(guān)的解，所以n-ra2,即r(a)2,顯然矩陣a中有2階子式不為0, 又有ra2, 從而秩ra=2.(ii) 對(duì)增廣矩陣作初等行變換,有a=1111435-1a13b-1-1111110-11-501-a3-ab-a-13a+1 111101-15004-2ab+4a-5-1-34-2a.由題設(shè)和第一問知，ra=ra=2, 故有4-2a=0,b+4a-5=0解出a=2,b=-3, 此時(shí)a102-401-1500002-30那么=(2,-3,0,0)t是ax=b的解，且1=(-2,1,1,0)t,2=(4

16、,-5,0,1)t是ax=0的基礎(chǔ)解系,所以方程組的通解是+k11+k22(k1,k2為任意常數(shù))?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)線性方程組非齊次線性方程組的通解 線性代數(shù)矩陣矩陣的秩(21) (本題滿分9分）設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣a的各行元素之和均為3,向量1=(-1,2,-1)t,2=(0,-1,1)t是線性方程組ax=0的兩個(gè)解。(i)求a的特征值與特征向量;(i)求正交矩陣q和對(duì)角矩陣，使得qtaq=；【解析】本題中a未知，故用定義法求解。(i) 因?yàn)榫仃嘺的各行元素之和均為3, 即有a111=333=3111, 所以3是矩陣a的特征值，=(1,1,1)t是a屬于3的特征向量。又a1=0=02, 故1,2

17、是矩陣a屬于=0的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量。因此矩陣a的特征值是3,0,0.=3的特征向量為k(1,1,1)t, 其中k0為常數(shù);=0的特征向量為k1(-1,2,-1)t+k2(0,-1,1)t, 其中k1,k2是不全為0的常數(shù)。(ii) 因?yàn)?,2不正交，故需要schmidt正交化，1=1=(-1,2,-1)t,2=2-2,11,11=0-11-36-12-1=12-101,單位化1=16-12-1,2=12-101,3=13111.那么令q=1,2,3=-16-121326013-161213, 得 qtaq=0 0 3 【考點(diǎn)】線性代數(shù)矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量的概念、性

18、質(zhì)、計(jì)算(22) （本題滿分9分）設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為fxx=12 -1x0,14 0x2,0 其他 . 令y=x2,fx,y為二維隨機(jī)變量(x,y)的分布函數(shù)，求:(i) y的概率密度fyy;(ii) f(-12,4).【解析】(i) 設(shè)y的分布函數(shù)為fyy, 則fyy=pyy=px2y當(dāng)y0時(shí)，fyy=0, fyy=0;當(dāng)0y1時(shí),fyy=p-yxy=p-yx0+p0xy=12y+14y=34y, fyy=fyy=38y;當(dāng)0y4時(shí),fyy=p-1x0+p0xy=12+14y,fyy=fyy=18y;當(dāng)y4時(shí)，fyy=1, fyy=0,故y的概率密度為fyy=38y 0y1,18y 1y4,0 其他 . (ii) f-12,4=px-12,y4=px-12,x24 =px-12,-2x2, =p-2x-12=p-1x-12 =-1-1212dx=14【考點(diǎn)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)多維隨機(jī)變量的分布二維連續(xù)型