數(shù)學(xué)極限的求法.doc

1、 數(shù)學(xué)極限的求法 常見:夾逼準(zhǔn)則, 無窮小量的性質(zhì),兩個重要極限，等價(jià)無窮小，洛必達(dá)法則, 中值定理, 定積分, 泰勒展開式。后四種不常見。另外求代數(shù)式極限可參見課本P48上。證明極限用定義證。1：利用等價(jià)無窮小代換求極限 當(dāng)x趨于0時等價(jià)，例如 當(dāng)上面每個函數(shù)中的自變量x換成時（），仍有上面的等價(jià)關(guān)系成立，例如：當(dāng)時， ； 。 例：求 解： 82：利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限 進(jìn)行恒等變形，例如分子分母約去趨于零但不等于零的因式；分子分母有理化消除未定式；通分化簡；化無窮多項(xiàng)的和（或積）為有限項(xiàng)。例；求極限(1) (2)(3)(4) 已知 求解：(1) = (2)（2）(3)-1 (4) 因

2、為 所以 3：利用兩個重要極限公式求極限 (1) (2) 例：求下列函數(shù)的極限4 (1) (2) （3） 解：(1) 1(2) 1 （3）.4.利用兩個準(zhǔn)則求極限。 (1)夾逼準(zhǔn)則：若一正整數(shù) N,當(dāng)nN時，有且則有 . 利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵在于從的表達(dá)式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數(shù)列和 ，使得。例1. ,求的極限解：因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng) 則 又因?yàn)椋?）單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵先要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)遞推公式求極限。 例：1 證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限。 證明：從這個數(shù)列構(gòu)造

3、來看 顯然是單調(diào)增加的。用歸納法可證。 又因?yàn)?所以得. 因?yàn)榍懊孀C明是單調(diào)增加的。 兩端除以 得 因?yàn)閯t, 從而 即 是有界的。根據(jù)定理有極限，而且極限唯一。 令 則 則. 因?yàn)?解方程得 所以 5：洛必達(dá)法則求極限： 洛必達(dá)法則只能對或型才可直接使用，其他待定型如必可以化成這兩種類型之一，然后再應(yīng)用洛必達(dá)法則 = A.可以通過，通分化為，后面兩個冪的形式通過取對數(shù)來變化。 例1：(1) 求 (2)求 解：(1) 由所以上述極限是待定型，則1(2) 它為型 由對數(shù)恒等式可得 = 如果不存在時，并不能斷定也不存在，只是這時不能用洛必達(dá)法則。例 解：該極限是“”型，但用洛比達(dá)法則后得到：，此極限

4、不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：原式= （分子、分母同時除以x） = 6：利用單側(cè)極限相等求極限 用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限存在，否則極限不存在。例：求 f(x)在x=0的左右極限 解：1 1 7：利用函數(shù)的連續(xù)性求極限用于直接將值帶入函數(shù)或求復(fù)合函數(shù)的極限。如果 u=g(x) 在點(diǎn)連續(xù) g()=,而y=f(u)在點(diǎn)連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)在點(diǎn)連續(xù)。即，極限號可以與符號f互換順序。 例：求 解：令 y,則 因?yàn)?在點(diǎn) 處連續(xù) 所以 18：利用無窮小量的性質(zhì)求極限： 可以處理一個有界函數(shù)和無窮小的乘積是無窮小類的問題。

5、 例：求 解： 因?yàn)?所以 09：換元法求極限： 當(dāng)一個函數(shù)的解析式比較復(fù)雜或不便于觀察時，可采用換元的方法加以變形，使之簡化易求。 例：3 求 解：令 則 1 例. 解（變量替換法）令，則當(dāng)時，于是, 原式.例.解（變量替換法）令，原式. 10：利用中值定理求極限： 1：微分中值定理：若函數(shù) f(x) 滿足() 在連續(xù) .()在(a,b)可導(dǎo)則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使，或 例2：求 解： 2：積分中值定理：設(shè)函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間 上連續(xù);g(x) 在上不變號且可積，則在上至少有一點(diǎn)使得 例：求 解： 11：利用泰勒展開式求極限 泰勒展開式：若 f(x)在x=0點(diǎn)有直到n+1 階連續(xù)導(dǎo)

6、數(shù),那么 (其中在0與1之間) 例： 解：泰勒展開式 于是- 所以12：利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)f(x)在附近有定義，則 如果存在，則此極限值就稱函數(shù) f(x)在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)，記為.即在這種方法的運(yùn)用過程中。首先要選好f(x)。然后把所求極限。表示成f(x)在定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。 例：求 解：取f(x)= .則 13：利用定積分求和式的極限 利用定積分求和式的極限時首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)f(x)。把所求極限的和式表示成f(x)在某區(qū)間 上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限。 例：求 解：由于 可取函數(shù) f(x)區(qū)間為上述和式恰好是 在 上n等分的積分和。 所以 14：利用級數(shù)收斂的必要條件求極限