例談數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

1、.例談數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式都可以看成是關(guān)于n的函數(shù)，特別是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看成是關(guān)于n的一次函數(shù)（公差d時(shí)），而其求和公式可以看成是關(guān)于n的二次函數(shù).數(shù)列的單調(diào)性的判斷可以借助于函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，數(shù)列中各項(xiàng)大小的比較，可以借助函數(shù)圖象的直觀性來比較.因此，許多數(shù)列問題可以用函數(shù)的知識進(jìn)行分析，加以解決.1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看成自變量為n的一次函數(shù)（公差d時(shí)）例1已知等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，是否存在常數(shù)k，使得成立.分析：將看成是n的一次函數(shù)，設(shè)出函數(shù)解析式并代入進(jìn)行求解.解：設(shè)存在常數(shù)k，使得成立，令（p、q為常數(shù)），則.又,，代入式

2、變?yōu)?，由，?或.將p=0代入、不成立.將kp=代入，得，代入，得，即，從而得出存在常數(shù)k，使得成立.評注：存在型探索性問題，是指判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對象（數(shù)值、圖形、函數(shù)等）不確定的問題.這類問題常常出現(xiàn)“是否存在”、“是否有”等形式的疑問句，以示結(jié)論有待于確定.解答此類問題的思路是：通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對象存在（或結(jié)論成立）或暫且認(rèn)可其中一部分的結(jié)論，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論的證明.2構(gòu)造一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)圖象性質(zhì)解題例等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為30，前2n項(xiàng)和為100，則它的前3n項(xiàng)和為（）.（）30（B）170（C）210（

3、D）260分析：運(yùn)用等差數(shù)列求和公式，先對進(jìn)行變形，則可以看成是關(guān)于n的一次函數(shù)，再利用點(diǎn)共線的性質(zhì)求解. 解：由，可得，由此可知數(shù)列成等差數(shù)列，三點(diǎn)共線.，.評注：可以看成是關(guān)于n的一次函數(shù)，其圖象是直線上的離散點(diǎn)，本題是利用點(diǎn)共線的條件建立方程求解的.運(yùn)用該法還可以推得在等差數(shù)列中若，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式也可以看成是關(guān)于n的一次函數(shù)，利用該性質(zhì)可推知等差數(shù)列中若，則.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和可看成是關(guān)于n的二次函數(shù)例3已知等差數(shù)列，首項(xiàng)，且，問此數(shù)列前幾項(xiàng)的和最大？最大值是多少？分析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和為特殊的二次函數(shù)，所以可采用配方法求其最值.解：設(shè)等差數(shù)列公差為d，前n項(xiàng)和為，即，當(dāng)n=6或n=7時(shí)，為最大.評注：關(guān)于等差數(shù)列前n項(xiàng)和最大（?。﹩栴}，可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，再結(jié)合二次函數(shù)的最值問題加以分析，但應(yīng)特別注意，當(dāng)對稱軸不是正自然數(shù)時(shí)，應(yīng)將與對稱軸最接近的兩個(gè)自然數(shù)代入函數(shù)關(guān)系式，再求值比較，以便確定n取何值時(shí)，最大（最?。?4利用函數(shù)單調(diào)性知識解（證）數(shù)列中的單調(diào)性問題例4已知函數(shù)，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證數(shù)列是遞減數(shù)列.分析：本題已知函數(shù)關(guān)系式，并給出了的關(guān)系式，將其看作關(guān)于的方程解出即可.數(shù)列是特殊的函數(shù)，借助函數(shù)的增減性的方法來證明數(shù)列的增減性.（1）解：，即.，（）解得 又，；（2）證明：由又.數(shù)列是遞減數(shù)列.評注：本