第五章-積分論

1、第五章 積分論教學(xué)目的： 1.掌握可測(cè)函數(shù)的L積分的一些基本性質(zhì),包括積分的線性性質(zhì),Levi單調(diào)收斂定理和Fatou定理.3.掌握積分的不等式性質(zhì)和積分的絕對(duì)連續(xù)性以及積分號(hào)下取極限的問(wèn)題,即控制收斂定理.應(yīng)注意分清定理的條件和結(jié)論.重點(diǎn)難點(diǎn)： 1.定義積分的過(guò)程分三個(gè)步驟,逐步定義非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù),非負(fù)可測(cè)函數(shù)和一般可測(cè)函數(shù)的積分.其中第一,二個(gè)步驟要驗(yàn)證定義的合理性.本節(jié)定義非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的積分.2.Levi單調(diào)收斂定理和Fatou定理.應(yīng)注意分清各個(gè)定理的條件和結(jié)論.3.一般測(cè)度空間上的積分,除了具有一些與經(jīng)典積分類(lèi)似的性質(zhì)外,還具有一些新的性質(zhì).應(yīng)注意比較.除了應(yīng)了解積分的基本性質(zhì)外,還應(yīng)

2、注意掌握一些基本的證明技巧.引 言有100張各種面值的紙幣,求總幣值.:,的值有10種(略去1,2,5分),. 在上取,.兩種方法:(i)從左到右累加(按人民幣的次序分類(lèi))(ii)按幣值分類(lèi)再相加對(duì)每一,把所有取的區(qū)間相加. 如:對(duì) Riemann不可積.而對(duì)Lebesgue:,即個(gè)1加上個(gè)0結(jié)果為0.所以.對(duì)于前述有限張人民幣,取有限個(gè)值,相當(dāng)于簡(jiǎn)單函數(shù).所以介紹Lebesgue積分,我們從最簡(jiǎn)單開(kāi)始.5.1非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的L積分設(shè)D是可測(cè)集,是有限個(gè)或可數(shù)個(gè)兩兩不相交的D的可測(cè)子集,使得,則稱(chēng)為D的一個(gè)分割.(與數(shù)學(xué)分析一樣,只不過(guò)此處不一定是區(qū)間,是一般集合)以 “是區(qū)間”為例.若不是,則

3、是推廣的“長(zhǎng)方形”,其面積也為設(shè)是可測(cè)集D上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù).此時(shí)可以表示為其中是D的一個(gè)分割,都是非負(fù)實(shí)數(shù),此時(shí)在D 上Lebesgue積分定義為:并且當(dāng)時(shí),稱(chēng)在D 上L可積.(此時(shí),未必D測(cè)度有限,因時(shí),可能)如:Dirichlet函數(shù)就是一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù).下介紹L積分的基本性質(zhì).定理5.1.1 設(shè)和是可測(cè)集D上的兩個(gè)非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù),而且 a.e.D,則它們?cè)贒上的積分相等.(如: 與就是a.e.相等)證明:設(shè) ,其中是D的一個(gè)分割,都是非負(fù)實(shí)數(shù); ,其中是D的一個(gè)分割,都是非負(fù)實(shí)數(shù).此時(shí)只要不是零測(cè)集(在其上為,在其上為),就有.這樣不管是否為零測(cè)集,都有于是 (,兩兩不交)類(lèi)似:可見(jiàn),L積分與

4、R積分的差別是L積分不計(jì)較零測(cè)集.定理5.1.2 設(shè)和都是可測(cè)集D上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù).(i)若 a.e.D 則;(ii),特別時(shí), ;(iii)若和是兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù),則(iv)若A和B是D的兩個(gè)不相交的可測(cè)子集,則證明:(i)與定理5.1.1證明類(lèi)似,只需注意當(dāng)不是零測(cè)集時(shí).(ii) 兩兩不交(iii)由于是D的一個(gè)分割,并且從而(iv) 以上為簡(jiǎn)單函數(shù)的L積分,若只在D非負(fù)可測(cè),由前面,有非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)列,則.有無(wú)問(wèn)題?若又有,則.二者等嗎?引理5.1.1 設(shè)和都是D上非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù),若滿(mǎn)足(i)對(duì)幾乎所有,單增;(ii) a.e.D 則 .證明:令 ,則是非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù),且在D上幾乎處處收斂于.情形

5、1.由Egoroff定理,對(duì)任何,有D的可測(cè)子集,使,而且在上,一致收斂于,從而有,使 即 由定理5.1.2從而 另一方面這樣而,也有限,任意,所以情形2.此時(shí)對(duì)每一,令,則.由已證,有(*)而 (因,)又,所以,于是(單增時(shí),測(cè)度和極限符號(hào)交換序)(*)式中令,得定理5.1.3 設(shè)和是可測(cè)集D上兩列非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù),而且對(duì)幾乎所有的,都單增收斂于相同的極限,則證明:任意固定,則對(duì)幾乎所有的,有 a.e.D由引理5.1.1令(與無(wú)關(guān)) 類(lèi)似所以5.2 非負(fù)可測(cè)函數(shù)的L積分現(xiàn)在我們來(lái)定義非負(fù)可測(cè)函數(shù)的Lebesgue積分.設(shè)是可測(cè)集D上的非負(fù)可測(cè)函數(shù).(由定理4.2.1)有D上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)列,使對(duì)

6、每一個(gè),此時(shí)在D上的Lebesgue積分定義為若,則稱(chēng)在D上L可積.(由此得L積分唯一)注意:由定理5.1.3,上述的積分值與的選取無(wú)關(guān).定理5.2.1 設(shè)和都是可測(cè)集D上的非負(fù)可測(cè)函數(shù).(i)若和是兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù),則(ii)若A和B是D的兩個(gè)不相交的可測(cè)子集,則(iii)若 a.e.于D, 則.證明用定義及定理5.1.2.如(i),由已知有非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)列,所以非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)列,于是(ii)(iii)類(lèi)似.問(wèn)題:1.現(xiàn)在,都非負(fù)可測(cè), ,則？此Levi單調(diào)收斂定理.(此處非負(fù)可測(cè),不是非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù))2.非負(fù)可測(cè),則與關(guān)系？此Fatou定理.前面,是D上非負(fù)可測(cè)函數(shù),則有簡(jiǎn)單函數(shù)列,使對(duì)每一,此時(shí).

7、的值與無(wú)關(guān),這樣才有意義,否則不唯一.定理5.2.2 (Levi單調(diào)收斂定理)設(shè),都是可測(cè)集D上的非負(fù)可測(cè)函數(shù),而且對(duì)所有的,則.(注意: 不是簡(jiǎn)單函數(shù),證法有多種)證明:對(duì)每一,有非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)列,使 令,則是非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù),而且 (1) (2)從而 (3)在(2)和(3)中固定,令,分別有下面的(4)和(5) (4) (5)在(4)和(5)中再令,得(6),(7) 即(6),即(7)由非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)及的定義再由(7)得此定理是整個(gè)積分的基礎(chǔ),重要!與數(shù)學(xué)分析不一樣.Riemann積分無(wú)類(lèi)似的定義或性質(zhì),對(duì)(R) ,是否,都在上R可積,非負(fù).此外,就有?結(jié)論對(duì).但在數(shù)學(xué)分析中證不出來(lái).而在實(shí)變函數(shù)

8、中可以如下證:由Levi單調(diào)收斂定理,有.又由R積分和L積分是兩種不同算法,R可積L可積且二者值相等,因此L換成R也有上述等式.(以后將證)推論(逐項(xiàng)積分)設(shè)是可測(cè)集D上一列非負(fù)可測(cè)函數(shù),則證明:對(duì)每一,由定理5.2.1.(i)現(xiàn)在, ,滿(mǎn)足Levi單調(diào)收斂定理,因此下面一個(gè)重要性質(zhì),對(duì)定理5.2.2,去掉,把去掉,即定理5.2.3(Fatou)設(shè)()都是可測(cè)集D上的非負(fù)可測(cè)函數(shù),則.問(wèn):下極限怎樣用上、下確界表示?答: (由于) (此種說(shuō)法更好!表示與前面有限項(xiàng)無(wú)關(guān))證明:對(duì)每一,令 則對(duì)每一,是非負(fù)可測(cè)函數(shù)(由定理4.1.4),由Levi單調(diào)收斂定理又顯然(因是從開(kāi)始的下確界) 所以 而

9、于是問(wèn):R可積的函數(shù)非負(fù), 在上.是否R可積?(注意:R積分必須定義在有界閉區(qū)間上;R積分要求被積函數(shù)有界.)答:否.例如:設(shè)是上有理數(shù)全體,令 則(因越大,取1的越多).這時(shí)R可積,但不R可積. R積分致命之處即在于此!問(wèn):為什么是R可積的?因?qū)θ我獾?有有限個(gè)間斷點(diǎn).注:令.則 ()說(shuō)明Fatou定理中不等式不能改為等式. 例題5.2.1.在上非負(fù)連續(xù),則 (以后講更一般的)以,為例.要證證明:把等分,分點(diǎn)(因閉區(qū)間上連續(xù)從而可以達(dá)到最小值)其中 此時(shí), .其次,對(duì)每一,在定義如下非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù) 則為非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù).又對(duì)每一,所以.(見(jiàn)幻燈片R積分和L積分相等)問(wèn)：又問(wèn):在上是否L可積?若L可

10、積,求積分值.答: 非負(fù)可測(cè), .由Levi單調(diào)收斂定理 (即)其中而在非負(fù)連續(xù),由上面例, 所以即.把無(wú)窮區(qū)間人為地掐斷,這是最典型的Levi定理的應(yīng)用.5.3 一般可測(cè)函數(shù)的Lebesgue積分設(shè)是可測(cè)集D上的可測(cè)函數(shù).對(duì)每一,令 它們分別稱(chēng)為函數(shù)的正部和負(fù)部,都是非負(fù)可測(cè)函數(shù). 現(xiàn)若和至少有一個(gè)在D上可積(即有其一,有限),此時(shí)在D上的L積分定義為此外,當(dāng)有限時(shí)(即,都有限,或說(shuō),都可積),稱(chēng)在D上可積,并記.(表示的是:D上可積函數(shù)全體)定理5.3.1 設(shè)是可測(cè)集D上的可測(cè)函數(shù).(i)為使.而且當(dāng)條件滿(mǎn)足時(shí),.(ii)若,則在D上幾乎處處有限.(iii)若也是D上的可測(cè)函數(shù),而且 a.

11、e.D,則當(dāng)和中有一個(gè)在D上可積時(shí),另一個(gè)也在D上可積,而且它們的積分值相等.注:本定理中的(i)是L積分和R積分的一個(gè)重要差別.如改一下: ,則不R可積,但R可積.證明: (i)由定義知,可積等價(jià)于和都可積,又等價(jià)于可積.而所以.(ii)若,則.從而對(duì)每一 令得又, 所以 同理 即在D上幾乎處處有限.(iii)此時(shí) a.e.D a.e.D 都非負(fù)可積由定義及定理5.2.1,結(jié)論成立.定理告訴我們,一個(gè)函數(shù)是否可積,與它在一個(gè)零測(cè)集上的值是沒(méi)有關(guān)系的,其積分值的大小也與之無(wú)關(guān).因此以后對(duì)一個(gè)可積函數(shù)來(lái)說(shuō),可以認(rèn)為它處處有限.推論1 若,是的可測(cè)子集,則.(證明:因,由定理5.3.1, ,從而,

12、所以.)推論2 若在測(cè)度有限的可測(cè)集D上有界,則.特別若是是上的有界可測(cè)函數(shù),則.證明:看,設(shè).因,所以在D上可積.此時(shí)所以.定理5.3.2 設(shè).則(i) 并且=.(ii)若是實(shí)數(shù),則并且.(iii)若A和B是D的兩個(gè)不相交的可測(cè)子集,則.(iv)對(duì)任何,有D上取有理數(shù)值的簡(jiǎn)單函數(shù)使.證明: (i)由 知.又 所以(轉(zhuǎn)化為非負(fù)可測(cè)函數(shù)的性質(zhì))兩邊取積分(每項(xiàng)都是有限的數(shù)),再移項(xiàng)得()即 =所以=.(ii)因?yàn)?所以時(shí) ,時(shí) ,所以時(shí) 時(shí)同樣可得.(iii)分正、負(fù)部,利用積分定義和定理5.2.1立即可得.(iv)先設(shè)非負(fù),取 (定理4.2.1中的)則是非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)且.于是:而 即 所以取適當(dāng)

13、的作為,(iv)得證.對(duì)一般的,需考慮和.定理5.3.3(控制收斂定理)設(shè)和都是可測(cè)集D上的可測(cè)函數(shù).若滿(mǎn)足(i) a.e.D(ii)存在,使對(duì)每一, a.e.D則和()都在D上可積,并且(此類(lèi)似Levi單調(diào)收斂定理,但此處不單調(diào),有正有負(fù))R積分無(wú)此性質(zhì),如.問(wèn).不妨設(shè) 則而證明思路:關(guān)鍵上 a.e.D 可得.由知有限.從而和都可積.最后一步: ,由Fatou定理即 (而一串?dāng)?shù)列,有:,即上下極限關(guān)系)這樣, 從而即例5.3.1.設(shè),求證:證明:記.由于,所以由控制收斂定理,對(duì)每一個(gè),作為的函數(shù)在上L可積.即 任取記又 (中值定理)所以由控制收斂定理即 .定理5.3.4(積分的可數(shù)可加性)設(shè),是D的一個(gè)分割.則證明:不妨設(shè)(若不然可分別考慮正、負(fù)部).對(duì)每一 則非負(fù)并且對(duì)每一 (因越大,進(jìn)到的點(diǎn)越多,變成)由Levi單調(diào)收斂定理即 例5.3.2.,求.(或證: )解:此時(shí)是的一個(gè)分割.所以復(fù)習(xí)R積分:我們知道,在上R可積 則對(duì),有從而,若,只要足夠小,則.即,有,只要,就有.與位置無(wú)關(guān),只與二者距離有關(guān).現(xiàn)將R積分變?yōu)長(zhǎng)積分,則無(wú)需.此即定理5.3.5(積分的絕對(duì)連續(xù)性)設(shè),則對(duì)任何,存在,使得對(duì)D的任何可測(cè)子集A,只要,就有.分析:L積分性質(zhì):L可積函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)差不多.考察 (因) (只需取)(1