知識(shí)點(diǎn)一極限與連續(xù)

1、知識(shí)點(diǎn)一極限與連續(xù)求極限的常用方法 利用極限的定義數(shù)列極限的定義:;函數(shù)極限的定義（ )：.類似可定義其它形式下的函數(shù)極限. 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則熟悉數(shù)列極限和函數(shù)極限的單調(diào)有界準(zhǔn)則.利用夾逼準(zhǔn)則可以證明下面的極限.這一結(jié)論可以推廣為：和利用兩個(gè)重要極限 ，或. 、由重要極限及變量替換可以求下列極限： 其中,極限過(guò)程改為其它情形也有類似的結(jié)論.、 設(shè)，則利用重要極限有:其中. 利用無(wú)窮小的性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小替換求極限 、無(wú)窮小量乘以有界函數(shù)仍是無(wú)窮小量； 、熟悉常見(jiàn)的無(wú)窮小量:當(dāng)時(shí)，有; ；，等等 、求極限過(guò)程中，可以把積和商中的無(wú)窮小量用與之等價(jià)的無(wú)窮小量替換，加與減不能替換.、無(wú)窮小量

2、與無(wú)窮大量之間的關(guān)系:如果為無(wú)窮大,則為無(wú)窮小;反之，如果為無(wú)窮小,且,則為無(wú)窮大. 利用極限與左右極限的關(guān)系存在的充要條件是. 利用極限的和、差、積、商運(yùn)算法則應(yīng)當(dāng)注意的是:參與運(yùn)算的每個(gè)函數(shù)的極限都要存在,而且函數(shù)的個(gè)數(shù)只能是有限個(gè)，在作商的運(yùn)算時(shí)，還要求分母的極限不為零.利用stolz定理：設(shè)數(shù)列單調(diào)增加且,若或存在,則有,由此可以證明下面的平均值定理 利用函數(shù)的連續(xù)性函數(shù) 在 處連續(xù),則利用導(dǎo)數(shù)的定義 利用定積分的定義求和式的極限 利用洛必達(dá)法則求未定式的極限或利用帶有佩亞諾( )型余項(xiàng)的泰勒公式求極限（3)無(wú)窮大量與無(wú)窮小量 無(wú)窮大量是絕對(duì)值無(wú)限增大的一類變量,它不是什么絕對(duì)值很大的

3、固定數(shù);無(wú)窮小量以零為極限的一類變量,它也不是什么絕對(duì)值很小的固定數(shù). 無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小量；無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮大無(wú)窮小是以零為極限的變量，因此,和、差、乘積的極限運(yùn)算法則自然也適用于無(wú)窮小,但商的極限運(yùn)算法則不適用于無(wú)窮小，因?yàn)檫@時(shí)分母的極限為零，另外,無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積仍是無(wú)窮小. 兩個(gè)無(wú)窮小之商的極限，一般說(shuō)來(lái)隨著無(wú)窮小的不同而不同，從而產(chǎn)生了兩個(gè)無(wú)窮小之間的“高階”、“同階”、“等價(jià)”等概念,它們反映了兩個(gè)無(wú)窮小趨于零的快慢程度如果以a為極限,則是無(wú)窮小;反之亦然.3、連續(xù)函數(shù)()函數(shù)在處連續(xù)定義的三種不同表達(dá)形式是，使當(dāng)時(shí),這最后一種表達(dá)形式與的表達(dá)形式十分相似,差異在于極限定

4、義中的不等式；這里變成了變成了因?yàn)樵谔接戇B續(xù)性時(shí)，必須要求在處有定義，且極限值必須為.(2)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商在它們共同有定義的區(qū)間仍為連續(xù)函數(shù)(3）連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù).(4）單調(diào)連續(xù)函數(shù)有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)(5)一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù).(6）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有下列重要性質(zhì):必在上有界且取得最大值與最小值(有界、最大、最小值定理）必在上取得介于與之間的任何值(介值定理);必在上取得最大值與最小值之間的任何值；如果，則在開區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)使得、兩個(gè)性質(zhì)是介值定理的推論(7）間斷點(diǎn)的分類可去間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)存在跳躍間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)(左右極限至少一個(gè)為)第二類間斷

5、點(diǎn)(非第一類間斷點(diǎn))振蕩間斷點(diǎn)(極限振蕩不存在)典型例題：例 1 求極限.解把換成，可得又因?yàn)?所以.因此.例證明：數(shù)列收斂，并求其極限。證明：設(shè)該數(shù)列通項(xiàng)為，則，令,則f（2)=2,由拉格朗日中值定理得：存在介于x，之間,使得，,由題意得，即，則由且,由夾逼定理得即，同理可得,練習(xí)：1、 利用極限四則運(yùn)算法則 討論它的連續(xù)性 不連續(xù)2、 利用兩個(gè)重要極限求極限、 1、當(dāng)常數(shù) , 3、 3、利用洛必達(dá)法則求未定式極限、 2、 3、 4、 4、利用等價(jià)無(wú)窮小1、 、 45、利用左右極限的關(guān)系求極限1、 2、（00數(shù)一5) 13、 6、利用函數(shù)的極限求極限1、 2、 07、利用夾逼法則求極限1、

6、求極限 2、設(shè) 求和 答案： 、 其中 在 上連續(xù) 、利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限1、，求 2、在處可導(dǎo),，求 3、 、利用定積分求和式的極限、 2、 3、 10、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限1、 求極限 11、利用泰勒公式求極限、 2、 練習(xí)提高:、(0數(shù)學(xué)一 9） (提示：用等價(jià)無(wú)窮小代換或洛必達(dá)法則 ) ；2、(06數(shù)一) （提示:用等價(jià)無(wú)窮小代換） 23、（06數(shù)一數(shù)二 12）數(shù)列滿足，（1）證明極限存在,并求之；（2）求 (提示:1、利用單調(diào)有界公理，2、利用重要極限）1、0，2、4、（0數(shù)一4） （提示：先寫成指數(shù)形式） 5、(0數(shù)一12) （提示：討論左右極限） 16、（0數(shù)三 4） 07、（

7、06數(shù)三) 8、(05數(shù)三1） (提示：用洛必達(dá)法則) 9、(5數(shù)三）,則a b 10、(04數(shù)三） 1、設(shè),證明數(shù)列的極限存在，并求極限。 （提示:用單調(diào)有界公理， )12、求極限，求極限,并指出其間斷點(diǎn)的類型。 （ ,可去間斷點(diǎn),為第二間斷點(diǎn))13、 114、 5(8數(shù)三4)設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù),則 . 116、（08數(shù)三0)求極限.解： 17、(05數(shù)三4）極限= 28、（05數(shù)三9） 求 題型一 無(wú)窮小及其階1、(0數(shù)1，3）（1）當(dāng)時(shí),與等價(jià)無(wú)窮小, （a)（）(c)(d) （a )、當(dāng)時(shí),函數(shù)與比較是 （ )的無(wú)窮小(a)等價(jià) （b)同階非等價(jià) （）高階（d)低階 （b）3、設(shè)為任意正數(shù)

8、,當(dāng)時(shí)，將按從低階到高階的順序排列。 答案：4、當(dāng)時(shí),與是等價(jià)無(wú)窮小，則_ 5、(7數(shù)一4)當(dāng)時(shí),與等價(jià)的無(wú)窮小量是 應(yīng)選（b).（a) (b) . (c） () . 【 】6、(04數(shù)一4)把時(shí)的無(wú)窮小量，使排在后面的是前一個(gè)的高階無(wú)窮小，則正確的排列次序是(a) . （b) . (c) . (d） b 題型三討論函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)的類型1、 求函數(shù) 在內(nèi)的間斷點(diǎn)，并判斷類型、2、 (09數(shù)二，數(shù)三）函數(shù)的可去間斷的個(gè)數(shù),則 （ )(）1()(c)3（）無(wú)窮多個(gè) 【答案】（c3、, 討論的連續(xù)性并指出間斷點(diǎn)的類型 答案: 是第一間斷點(diǎn)4、(8數(shù)三4） 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則是的(a)跳躍間斷點(diǎn) （)可